跨座式單軌剛柔耦合動力學等效計算研究

許舟洲，杜子學，辛 亮，楊 震

（重慶交通大學，重慶400074）

1 引言

車輛的輪軌耦合動力學是車輛安全性、舒適性、振動噪聲、車體疲勞壽命、軌道梁結構疲勞等問題的基礎，但是關于跨座式單軌的車橋耦合動力學研究并不多，僅有的一些成果準確度和深度都不太盡如人意[1-2]。跨座式單軌軌道剛度較小受力較大，更加適合做柔性化處理，文獻[3-4]研究了基于軌道梁柔性化的跨座式單軌剛柔耦合動力學；文獻[5-7]研究了軌道參數對單軌車輛和軌道梁振動的影響；文獻[8-11]研究了跨座式單軌車輛的動力學性能及耐久性；文獻[12-13]設計了利于曲線通過性的徑向耦合轉向架；文獻[14-15]研究輪胎參數對軌道梁振動響應的影響；文獻[16]計算了彈性梁條件下車橋的耦合動力響應；文獻[17]研究了車輪偏心對懸掛式單軌車輛垂向振動的影響；文獻[18]研究了考慮車橋相互作用的鋼梁在強震作用下的動力響應；文獻[19-20]研究了跨座式單軌軌道梁的結構及動態特性。

跨座式單軌車輛與軌道梁間的相互作用是動態的：對于軌道梁，車輛運行時的振動會使得軌道梁受動態力而振動；對于車輛，軌道梁的振動又會帶來車輛的動態受力。

剛柔耦合動力學能有效的提高計算精確度，但是在現有的硬件條件下進行帶有較大柔性體模型的多體動力學計算耗時很長，采用等效力方法，將軌道梁的受力變形用等效力代替，最終采用多剛體動力學和有限元相互迭代的辦法解決剛柔耦合動力學問題。

2 車軌耦合系統的等效力原理

物體AB通過彈簧連接，A受重力及B的作用力，垂向運動軌跡為h(t)；B受重力、A的作用力及地面作用力，垂向運動軌跡為g(t)，如圖1所示。

圖1 等效原理示意圖Fig.1 Schematic Diagram of Equivalent Principle

在只考慮垂向運動時，有式（1）：

式中：k—彈性體的剛度；

c—阻尼；

ma—物體A的質量；

a—物體的垂向加速度。

那么對于物體A有式（2）：

對于物體B有式（3）：

重慶3號線的雙軸跨座式單軌車輛有2個轉向架，轉向架和車體通過中心銷、空氣簧、橡膠堆及減震器連接；每個轉向架有6個水平輪、4個走行輪，如圖2所示。

圖2 跨座式單軌車輛拓撲結構圖Fig.2 Topological Structure Diagram of Straddle Type Monorail Vehicle

則其前轉向架動力學方程如式（4）：

式中：K、C—彈性元件的剛度和阻尼；

z—走行輪；

d—水平輪；

hd—導向輪中心到轉向架中心的垂向距離；

hw—穩定輪中心到轉向架中心的垂向距離；

w—水平輪輪心到轉向架中心y方向的距離；同一轉向架上兩軸的距離為2a，同一軸上兩走行輪的輪心距為2b。

車體方程如式（5），式中：Mc、Ic—車體的質量和轉動慣量；X、Y、Z—直角坐標系的3個坐標；α—車體繞坐標軸的轉角；β—轉向架坐標軸的轉角，2l—同一車體前后轉向架之間的距離（定距）；下標c—標識車體，下標z-標識轉向架；下標1和下標2—每節車體的前后轉向架。

3 車輛模型

基于式（4）和式（5）建立了跨座式單軌車輛多剛體動力學模型，如圖3所示。路面采用帶指形板的直線軌道[21]，路面施加A級路面譜。

圖3 跨座式單軌車輛模型Fig.3 Straddle Type Monorail Vehicle Model

4 基于等效理論的跨座式單軌剛柔耦合動力學計算及分析

采用有限元，利用式（3）將軌道梁走行面輪軌接觸點的梁的變形轉化為軌道梁對車輛輪軸的動態力，將它施加在對應時刻的輪軸上；采用多剛體動力學，利用式（2）將輪軸的振動化為軌道梁受到的車輛輪軸對它的動態力，將它施加于有限元計算中對應的軌道梁接觸點；鑒于以上都是靜態的，筆者將有限元與動力學計算結果進行多次迭代，當相鄰兩次迭代的計算結果最大誤差不大于10%的時候，認為其計算已經足夠精確。

建立了軌道梁的有限元模型，施加準靜態力計算了跨座式單軌車輛輪軸力下梁的變形，如圖4所示。將結果以表格形式，利用式（2）變換為輪軸上的垂向力，加于每一輪軸，通過動力學計算，得到每節輛車各個輪軸處的垂向加速度。

圖4 帶列車壓力的軌道梁準靜態分析結果Fig.4 Quasi Static Analysis Results of Track Beam with Train Pressure

將所得加速度通過式（3）轉換為車輛輪軸施加在軌道梁上的動態附加力，導入有限元，再將計算結果利用式（2）轉換為輪軸處的動態力，導入車輛的多剛體動力學模型，得出各輪軸的加速度，完成第二次迭代，通過同樣的辦法，完成第三次、第四次迭代。到第四次迭代的時候，對比第三次迭代的結果，其最大變形量不到3%，如圖5所示。

圖5 軌道梁走行面變形的多次迭代結果Fig.5 The Results of Multiple Iterations for the Deformation of Running Surface of Track Beam

其多剛體動力學計算后前轉向架前軸垂向加速度的FFT變換值，四次計算的一階振動主頻幾乎相同，如圖6所示。

圖6 車輛前轉向架前軸垂向加速度頻譜圖Fig.6 Spectrum Diagram of Vertical Acceleration of Front Axle of Vehicle’s Front Bogie

可以認為其值不受軌道梁振動的影響，但是每次計算的一階振動主頻處的響應幅值各不相同，軌道梁為準靜態變形時（第一次動力學計算時）車軸的垂向加速度頻譜響應較小（在一階振動主頻處響應幅值小于0.2m/s2），但是經過一次迭代以后（第二次動力學計算）垂向振動有了明顯提高（在一階振動主頻處幅值為0.356m/s2），而第三次與第四次計算的結果基本一致，在其一階振動主頻處第三次計算結果比第四次計算結果大不足1%，可以認為第四次迭代的結果已滿足預設的精度范圍。

綜合圖5以及圖6可以看出，經過四次迭代后的結果在能滿足預設精度的要求，筆者認為在當前的條件下，可以用它表示剛柔耦合動力學計算的結果。

5 試驗驗證

2017年10月27日臨晨1：00到5：00，在重慶市軌道3號線銅元局到龍頭寺段進行了實車試驗，如圖7所示。

圖7 實車試驗Fig.7 Real Vehicle Test

列車為超載工況，它是通過給車輛加載配重來模擬實現的，列車運行速度為43km/h（重慶軌道3號線的旅行車速），測量了轉向架前后軸及中心處的三向加速度。

由于路面不平度的隨機性，仿真計算和試驗數據在時域上沒辦法做深入的對比，故筆者在此比較了他們的頻譜特性圖，如圖8所示。

圖8 前轉向架垂向加速度頻域值Fig.8 Frequency Domain Value of Vertical Acceleration of Front Bogie

在車輛前轉向架的中心、前軸及后軸三處都有相似的頻譜曲線走勢。試驗測得轉向架中心垂向振動主頻為3.63Hz，轉向架前軸振動主頻為4.82Hz，轉向架后軸振動主頻為4.82Hz；而采用等效力方法計算的轉向架中心垂向振動主頻為3.63Hz，轉向架前軸振動主頻為4.76Hz，轉向架后軸振動主頻4.64Hz，即試驗與仿真有非常接近的振動主頻。

由圖8可以看出，實車試驗中，在垂向振動主頻位置，轉向架中心、轉向架前軸及轉向架后軸處的頻譜幅值（單位m/s2）分別為0.377、0.237、0.375；仿真計算中，垂向振動主頻位置，轉向架中心、轉向架前軸及轉向架后軸處的頻譜幅值（單位m/s2）分別為0.361、0.220、0.376。

試驗與計算的誤差分別為4.2%、7.2%、0.3%，認為采用等效力來處理軌道梁的柔性問題非常接近于實車試驗，筆者認為此方法可行。

6 結論

在已有的研究中心，跨座式單軌由于軌道梁的大尺寸，使得其剛柔耦合動力學計算較為困難，針對這一情況，以等效力及迭代為手段，研究了適合大尺寸柔性體的剛柔耦合動力學的等效方法，結論如下：

（1）利用物體間相互作用的力學原理，建立了基于等效力的剛柔耦合動力學模型；

（2）基于剛柔耦合的等效力原理，建立了跨座式單軌車輛-軌道的動力學模型，并分別建立了軌道梁的柔性模型和車輛的多剛體動力學模型；

（3）利用迭代方法進行了基于等效力的跨座式單軌剛柔耦合動力學計算，通過實車試驗驗證了方法的正確性，確定了等效力可以用來進行剛柔耦合甚至柔柔耦合的動力學計算，為后續的跨座式單軌動力學計算打下了基礎。