柔性臂動力學建模與規劃角加速度抑振研究

殷玉楓，武奎揚，張 錦，2

（1.太原科技大學機械工程學院，山西 太原 030024；2.山西交通職業技術學院，山西 太原 030031）

1 引言

柔性臂可以滿足高精度、高速度的要求，所以被更多地用在精密工業機器人與空間領域，這些機構通常是高度非線性且剛柔耦合的動力學系統。產生的大量彈性振動大大降低了定位精度與穩定性。如何建立準確的動力學模型并且有效抑制臂桿的彈性振動從而達到更高的控制精度成為了國內外研究者的難題。

建立柔性臂動力學方程時，文獻[2]發現，對均勻臂桿采用有限元法計算效率更高，但對于復雜程度較高的結構，常常難以求解動力學方程。文獻[3]發現集中質量法條理清晰但常常難以滿足高精度要求。柔性臂在高速旋轉情況下，旋轉所產生的附加彎矩會對臂桿單元的彎曲變形起到抑制作用發生動力剛化效應。動力學建模時，經常附加動力剛度項。拉格朗日方程形式簡便利于高速求解，目前將柔性臂看成簡支梁，根據拉格朗日方程建立動力學方程的方法較為常見[4]。

機械臂抑振主要從控制算法與規劃軌跡兩個方面進行研究[1]。傳統單一算法很難直接用在柔性機器人上，文獻[5]采用基于神經網絡的PD控制方法研究柔性機器人。文獻[8]采用力矩反饋控制方法對柔性機械臂進行抑振研究。文獻[10]把機械臂位移浮動值作為控制量并構造多項式軌跡來對雙連桿柔性桿進行優化。文獻[6]將正弦-梯形基函數作為柔性臂關節角加速度來進行抑振研究。

通過控制算法來抑制振動需要測量出柔性桿彈性振動的狀態變量，而軌跡規劃則不需要對路徑形狀進行描述，只需要對起點和終點的位姿進行規劃[9]。抑振的效果上來看，規劃角加速度是更加直接有效的方法。為此，科研人員考慮動力剛化效應，建立了末端含負載的動力學模型，以末端振動作為優化對象，用多項式插值結合正弦-梯形疊加基函數構造出了新的角加速度規劃函數，通過規劃機械臂角加速度來進行振動抑制研究。分別以五次多項式插值函數和優化角加速度規劃函數作為輸入進行數值仿真對比研究。

2 動力學模型建立

2.1 假設模態法

柔性臂的振動分為桿沿桿方向的縱向振動與垂直于桿方向的橫向振動和扭曲振動。當柔性桿件是細長桿或扁平長桿時，往往看成是歐拉伯努利梁，忽略剪切和扭曲給梁帶來的變形，只考慮彎曲變形，簡支梁是歐拉-伯努利梁中的一種。將柔性臂看成簡支梁，梁的變形，如圖1所示。

圖1 梁的變形Fig.1 Beam Deformation

簡支梁振型函數為：

由于振動量主要由低階振動決定，為了簡化計算通常還要進行截斷處理，即將梁的變形簡化為：式中：n—保留模態數或者簡稱模態數，在柔性臂建模過程中一般

取前兩階。兩連桿振動變形v1和v2可簡化描述為：

2.2 建立線性模型

對雙連桿柔性臂采用割線坐標法描述，如圖2所示。

圖2 雙連桿柔性臂模型Fig.2 Two-link Flexible Arm Model

圖中：xoy—基礎坐標系，x1oy1和x2o1y2為漂浮坐標系；θ1、θ2—關節轉角；L1、L2—虛擬剛性臂長度；m1、m2—末端負載；M1、M2—柔性桿質量；v1、v2—柔性桿橫向振動變形；ρ1、ρ2—線密度；A1、A2—橫截面積。

兩柔性桿上任意點P1、P2在xoy中的坐標為：

可得兩連桿柔性臂的動能表達式為：

v1和v2參考（3）近似取兩階模態，得彈性勢能表達式為：

將T，V代入拉格朗日方程得：

采用懸臂梁二階模態，代入式（7）得動力學方程：

式中：q—廣義坐標向量；Q—兩輸入轉矩；M—慣性矩陣；H—哥氏力和離心力項；K—剛度矩陣；B—輸入矩陣；G—重力項。柔性臂在水平面運動，重力勢能不變，所以重力項G為0。

在計算時候應該注意，關節O（1肘關節）處的驅動力矩的作用是使兩桿的相對夾角發生變化，出現在動力學方程中的θ1、θ2為絕對角度，因此例如對應于θ1的廣義力為Q1-Q2，而不是Q1。

2.3 建立動力剛化模型

現有關于機械臂耦合作用的研究中，大多沒有考慮高速旋轉帶來的剛化效應。柔性臂桿的縱向變形會使橫向變形減小，這是導致柔性臂產生動力剛化的原因。結合式（5）與式（6），Hamilton變分原理可以表示為：

式中：L—Lagrange函數；Wτ—外力所做虛功（i≠j）。由式（9）可以導出：

式中：ρ—臂桿線密度；c—點P到中心O的距離；x—單位質量dm到點P的距離；L—臂桿長度。傳統線性模型是通過對式（10）簡化得到，其方程為：

對v分離變量處理，設：

將其代入式（11）并將φ和q移到方程兩邊，可得：

式中：ω—臂桿振動頻率，式（11）邊界條件可簡化為：

式（13）可以轉化為：

式中：φi、φj—第i階振動陣型、第j階振動陣型；ωi、ωj—第i階振動頻率、第j階振動頻率。將φi代入式（15），并在兩邊同時乘以φj積分可得：

結合邊界條件式（14）可得：

同理得：

式（17）減去式（18）可得：

可得臂桿模態滿足正交性，變形v可以表示為：

式中：φ—臂桿的模態向量；q—模態坐標。將式（21）代入式（10），兩邊同乘φ進行積分，再結合式（16）與式（20）正交性化簡可得：

構造附加的動力剛度項，通過考慮運動中臂桿梁的軸向力對橫向彈性振動產生的影響，計入動力剛化的影響，建立了考慮柔性臂動力剛化效應的動力學方程。

2.4 動力學模型驗證

為了驗證所建立模型的有效性，對建立的模型進行動力學求解，為了保證柔性臂處于相同環境，兩桿各個參數取和文獻[7]完全相同的值。設定參數：兩桿臂長L1=L2=0.75m，兩連桿質量M1=1.4kg、M2=1.4kg，連桿剛度E1I1=1220N·m、E2I2=218N·m，載荷質量m1=2.5kg、m2=2.75kg，兩桿橫截面積分別為A1=60×15×10-6m2、A2=40×10×10-6m2。

假設初始時刻，柔性臂水平放置，關節夾角為零，變形為零，初始條件：在0時刻角度和角速度都為0。關節轉角隨時間變化θ和兩桿中點變形v1、v2仿真結果，如圖3所示。

圖3 仿真驗證Fig.3 Simulation

觀察圖3仿真結果變化情況并與文獻[7]中的仿真結構進行對比，對仿真結果分析發現，動力學方程附加動力剛化項后，從兩桿轉角隨時間的變化和兩桿中點變形情況來看，總體變化趨勢以及具體數值基本一致。可以確定所建動力學模型可以較為準確地反映出柔性臂的動力學情況，可以用于進行加速度軌跡規劃。

3 軌跡規劃

柔性臂工作情況復雜，為了保證任務順利完成，應提前對其進行合理的路徑軌跡規劃。軌跡規劃是為了使機械臂在運動時，獲得平滑連續的角加速度且峰值盡量小，避免剛性沖擊，減小機械臂的彈性振動，提高末端精度[9]。

3.1 常規軌跡規劃

進行規劃時，起始位置與終止位置的位姿需要進行設定，計算出各個關節轉角的起始角度。采用五次多項式插值軌跡規劃使計算更加簡便，只需保證在時間區間內機械臂各個位移、速度、加速度連續。在運動過程中，設定末端P點在0時刻起始位置是θ0，在tf時的終止位置是θf，兩點間存在多條插值曲線，假設五次多項式插值函數為：

為保證平穩運動，軌跡函數需要滿足以下條件：

則可求得五次多項式系數c0、c1、c2、c3、c4、c5的值。假定機械臂末端運動軌跡為一個正圓，水平位置作為初始位置，經過6π秒，機械臂末端正好轉過一周。

3.2 加速度優化軌跡規劃

單一曲線規劃都會產生剛性或柔性沖擊，難以滿足要求，需要將多類曲線疊加構造成新的規劃曲線。五次多項式軌跡計算簡單，但往往峰值較大，會伴隨較大的沖擊振動。正弦-梯形曲線光滑且連續，伴隨產生的沖擊也較小，但需選擇合適的系數aNi計算較為繁瑣，因此選擇合適的階次n并且結合五次插值多項式，這樣就能夠獲得幅值增加不大同時又較為平滑的加速度曲線函數，通過減小慣性力使臂桿能夠平穩、精確的到達指定位置[9]。構造正弦-梯形函數（ft）：

正弦-梯形基函數疊加公式為：

式中：-1≤ani≤1，選擇合適的階次n將正弦-梯形函數與五次多項式相結合，因為五次多項式求加速度所得為三次多項式，取a0=2c2、a1=6c3、a21=12c4、a22=20c5，可以通過調節T1、T2和H的值來得到各種函數，從而能夠疊加出不同的規劃加速度函數曲線來滿足機械臂運動要求。

角加速度疊加規劃曲線為：

4 仿真及結果分析

4.1 仿真計算

為了研究不同規劃曲線對柔性臂桿的抑振效果，依據上述動力學方程，分別以五次多項式規劃函數和角加速度疊加規劃函數作為輸入進行仿真。

仿真數據：L1=1.5m、L2=1.5m，m1=6kg、m2=6kg，M1=1.4kg、M2=0.62kg，A1=60×15×10-6m2，A2=40×10×10-6m2，E1I1=1220N·m、E2I2=218N·m，H=2，T1=2，T2=4π，T=6π。假定P點的軌跡為半徑1m的圓，π起始位置為水平方向。則五次多項式規劃函數為：

疊加角加速度規劃函數為：

由于已知運動規劃軌跡即各個關節的角加速度，要求解柔性臂振動情況，需要對所建立的動力學方程進行逆向求解，動力學方程復雜且高度非線性，很難求得解析解，因此利用matlab來求其數值解。

將加速度規劃函數先代入式（22）求出兩桿的模態坐標a1、b1、a2、b2。運用matlab中的ode45進行求解，首先建立各個系數矩陣的自定義函數，然后設置[t，y]=ode45（@mydy，tspan，y0），y0即為t=0時刻規劃函數的數值，求解時間范圍為0到12π。

其中0到6π輸入加速度為規劃函數，6π到12π輸入調為0，觀察停止驅動后的柔性臂桿殘余振動情況。

將五次多項式插值規劃函數和優化角加速度函數作為輸入分別進行仿真求解。可以得到數值解，插值規劃所得數值解，如圖4所示。優化角加速度規劃所得數值解，如圖5所示。

圖5 優化角加速度規劃Fig.5 Optimize Angular Acceleration

4.2 結果分析

從模態坐標響應來看，不論哪種規劃所得模態響應，一階模態響應遠遠大過二階模態響應，符合振動描述時低階模態起主要作用的理論[9]，所以在柔性臂建模中一般取前兩階模態。

從兩種規劃函數所得模態坐標來分析，疊加角加速度函數所得的每根桿的各階模態響應與對應五次插值所得模態響應相比都有大幅度降低。其中桿1的二階模態和桿2的一、二階模態在不同基函數規劃下都相差了不止10倍，而桿1的一階模態更是相差了約100倍，這是因為在彈性振動中一階模態響應起主要作用，并且O（1肘關節）處的驅動力矩作用是使兩桿的夾角發生相對變化，所以在進行抑振優化時，效果也更為明顯。從桿中點彈性振動情況上看，經過疊加優化后桿1和桿2的彈性振動以及停止驅動后的殘余振動都得到了大幅度的抑制。與五次多項式規劃相比，角加速度經過疊加規劃后，末端振動大幅度減小。由此可以證明疊加角加速度規劃方法，可以有效抑制柔性臂桿振動。

5 結論

（1）利用Hamilton變分原理建立微分方程，用假設模態法描述柔性桿變形，考慮桿的橫向變形對縱向變形的影響，推導出含附加動力剛化項的動力學方程。對傳統的零次模型進行了完善，可用于高速旋轉的柔性桿系統分析研究。新建的動力學模型可以較為準確地描述和反映出柔性桿臂動態特性，為進一步的加速度規劃和振動抑制研究奠定基礎。

（2）將振動抑制問題轉變為減小桿臂模態坐標響應問題，通過對比不同規劃情況下的前兩階模態坐標得出抑振效果，使研究過程以具體化、數據化的形式呈現。

（3）將優化角加速度規劃應用于所建動力學模型，與五次多項式規劃相比，振動抑制效果更加良好。減小了振動沖擊，使柔性臂各個關節能連續平穩運行，提高了定位精度。

（4）在五次多項式插值規劃下，所求角加速度為三次多項式，將三次多項式各項系數作為正弦-梯形疊加函數的系數，將五次多項式軌跡規劃與正弦-梯形基函數相結合，通過調整基函數幅值與變化周期，構造出幅值較小且平滑新的關節角優化角加速度。新的規劃角加速度既融合了多項式規劃的計算簡便易操作特點，又結合了正弦-梯形疊加函數，使獲得的角加速度連續且平緩。

（5）研究中所用的動力學模型都是建立在理想情況下，實際中很難獲得準確的數值。僅從原理上證明了方法的有效性。但由于參數誤差客觀存在，結合實驗進行研究會更加接近實際情況。