起重機吊鉤失效的雙重響應面聯動分析方法

胡俊逸，金初云，賈相武，程文明

（1.浙江交通職業技術學院軌道交通學院，浙江 杭州 311112；2.西南交通大學機械工程學院，四川 成都 610031）

1 引言

吊鉤是起重機的重要執行機構和承載機構，其應力和變形與安全生產息息相關，故應對吊鉤的可靠性設計格外重視。在傳統的機械設計方法中，對吊鉤等部件采用較大的安全系數進行設計，如今有限元方法（FEM，Finite Element Method）被廣泛應用于結構設計領域，國內外也有許多學者對吊鉤的受力分析進行過詳細研究[1-4]。而在以上研究中通常未考慮能影響吊鉤應力的隨機性影響因素，而起重機吊鉤一旦受隨機因素影響發生故障，將對生命和財產安全造成嚴重后果。也曾有學者將應力作為唯一輸出要素進行多隨機因素輸入條件下吊鉤的可靠性研究[5]，而在實際使用中，因長期形變導致的裝配關系改變從而影響吊鉤正常使用，也屬于吊鉤的失效類型；而有關吊鉤在應力和變形雙重輸出響應下的可靠性研究，還未有相關報道。

響應面法（Response Surface Method，RSM）作為結構優化和可靠性分析的有效方法，已被應用于交通運輸、土木工程等[6-7]多個行業；根據所研究的問題模型復雜程度對響應面法進行改進，也是許多學者的重要研究思路：與不同抽樣方法和優化算法的結合，如文獻[7]；增加考慮模型時間維度，應用于非線性領域，如文獻[5]；針對多輸出要素采用多重響應面法進行分析，研究問題模型在多失效模式下的可靠性，如文獻[8]采用雙重極值響應面法（Dual Extremum Response Surface Method，DERSM）對航空發動機葉盤進行流-固耦合分析和失效模式聯動抽樣，證明該方法的可行性。采用拉丁超立方抽樣與文獻［8］的雙重響應面方法相結合，應用于起重機吊鉤多失效模式可靠性分析中，也不失為一種有益的嘗試。

2 結合拉丁超立方抽樣雙重響應面法

2.1 拉丁超立方抽樣（LHS）

LHS 是一種分層抽樣技術[9]，若抽樣數為n，則在n個K維度的樣本產生過程中，每個維度的分量根據樣本數n以等概率劃分為n個分區間，因此n個樣本共有K*n個分區間；然后在K*n個分區間內隨機選出的分量組成n個樣本。其數學公式如:

式中：P和R—n×K的矩陣，R—（0～1）之間的隨機數；P—（1～n）的自然數，且同一列內互不重復；sij—S的第i行第j列的分量，也就是第i個維度的概率分布函數在1到n個樣本之間的隨機取值，因此，sij取值必然在0到1之間變化，式（1）實現等概率均分取樣區間；式（2）中，Ftj—第j維度的概率分布函數，因此，將sij帶入到第j維度概率分布函數的逆函數中，就能取得具體的第j維度屬于第i次取樣的結果tij。

正因為其等概率抽樣原理，因此能得到較為均勻的樣本分布，應用于結構可靠性分析，具有較好的各區間代表性，進而提高結構可靠性分析結果精度與效率。

2.2 雙重響應面法

響應面方法主要原理是通過構造多項式方程來近似模擬問題的本構關系，得到輸入變量與輸出響應之間的近似顯式函數關系，并方便快速求解；通過對問題進行實驗設計與抽樣分析，得到初始樣本點，對樣本點進行回歸分析，得到顯式函數關系式，對非線性問題具有較好的求解效果。一般多采用完全二次、交叉、純二次非線性或線性方程作為擬合的目標方程［8］。其一般表達式如：

式中：a0—常數項；n—輸入隨機變量個數；xi—輸入隨機變量；ai—一次項系數；aij—二次項系數；i、j—1到n的自然數。以上為單一響應面法方程。若將LHS抽樣得到的tij以及Yi帶入到式（3）的xi和xj中，就能通過最小二乘法得到a0、ai、aij的取值，即完成響應面方程的構建。

雙重響應面法即針對多個輸出因素進行拉丁超立方的實驗設計，每一次取樣對應著多個輸出因素，并構建出多個響應面方程。

如選取材料密度、重力加速度、起吊物質量作為輸入變量，以吊鉤最大應力σ、吊鉤最大變形ξ作為輸出因素。所對應的雙重響應面方程如下：

式中：x1—密度ρ；x2—重力加速度g；x3—吊物重量u。在雙重響應面法的可靠性分析過程中，代入每一次抽樣數據，得到兩個輸出響應值，與各自的失效條件進行比較，只要任意一個輸出響應值達到失效條件，即判定吊鉤失效一次，最終累計失效次數得到吊鉤的可靠性。此方法對影響吊鉤失效的最大應力和最大變形進行聯動抽樣，避免單獨抽樣時因樣本不同可能導致的計算誤差。

3 吊鉤靜力學條件下可靠性分析

3.1 吊鉤靜力學分析

以10噸級起重機吊鉤為研究對象，其主要受力部位為與繩索接觸以及吊鉤頂部的螺紋裝配位置。對于螺紋接觸部位采用固定端約束，同時，在與繩索接觸部位劃分出接觸面用于施加繩索壓力。在有限元分析軟件中，采用六面體單元劃分網格，同時對接觸部位以及應力較大部位進行網格細分處理，保證模型求解的質量。材料選用船用級船板D級鋼，彈性模量210GPa，泊松比0.3，網格劃分后共產生105486個單元和343410 個節點模型，如圖1所示。通過帶入一組抽樣數據進行有限元分析，得到吊鉤的最大應力和最大變形，如圖2、圖3所示。可見，最大應力在吊鉤內側拐彎處，最大變形在吊鉤外側鉤尖處。

圖1 吊鉤有限元模型Fig.1 Grid of Hook

圖2 最大應力云圖Fig.2 Distribution of Stress

圖3 最大變形云圖Fig.3 Distribution of Deformation

3.2 吊鉤可靠性分析流程

可靠性分析采用以下流程：LHS抽樣得到樣本的輸入因素→有限元計算得到樣本輸出結果→最小二乘擬合得到雙重響應面方程→采用蒙特卡洛進行1×104次聯動抽樣計算→對蒙特卡洛抽樣結果進行可靠性分析。采用Solidworks建立吊鉤的三維模型，并用Ansys workbench［10-11］進 行 有 限 元 分 析。采 用MATLAB 編 寫 了LHS和蒙特卡洛抽樣以及抽樣數據結果可靠性分析的程序。

3.3 吊鉤可靠性分析算例

選取材料密度ρ，重力加速度g，吊物重量u為三個隨機輸入變量，統計特征，如表1所示。

表1 輸入變量概率分布Tab.1 Radom Input Variables

假設表中三個隨機輸入變量均服從正態分布。通過LHS抽樣，得到30組初始輸入樣本數據，樣本數據的空間分布，如圖4所示。

圖4 三隨機輸入要素LHS抽樣分布Fig.4 LHS for 3 Input Variables

經過將輸入樣本數據代入Ansys 計算，并經過最小二乘擬合，得到以下雙重響應面方程（應力σ和應變ξ方程，分別為式（6）和式（7），擬合結果與本靜力學問題的線性特征一致，x1，x2，x3分別表示密度（kg/m3）、重力加速度（m/s2）和起吊質量（kg）:

隨后用響應面函數代替有限元模型，用蒙特卡洛抽樣方法對變形與應力的響應面模型進行1×104次聯動抽樣，并且對其進行可靠性分析，得到葉片變形與應力的輸出響應正態分布直方圖，如圖5所示。應力與變形的蒙特卡洛抽樣歷史仿真圖，如圖6所示。

圖5 應力和變形正態分布直方圖Fig.5 Frequency Distribution of Stress and Deformation

圖6 蒙特卡洛抽樣應力和變形結果仿真圖Fig.6 Simulation Samples of Stress and Deformation

應力σ和變形ξ均值分別為199.1516MPa，0.67647mm；標準差分別為16.3822MPa，0.00018899mm。若吊鉤的允許變形量ξ為1mm，許用應力σ為210MPa，總體失效數53，失效概率0.0053，可靠性概率為0.9947，蒙特卡洛抽樣1×104次所用時間僅為0.329s。

為驗證基于雙重響應面法（DRSM）的應力應變聯動抽樣優越性，設置標準響應面法（RSM）對應力和應變分別抽樣的計算方法進行對比分析，如表2所示。由表2可知DRSM聯動抽樣速度優越較顯著。聯動抽樣的整體失效概率結果與分別抽樣后再計算整體失效的概率結果對比，單一失效模式下（σ≥210MPa，ξ≥0.8mm），DRSM與RSM計算結果相近；當存在雙重失效模式下（σ≥210MPa，ξ≥0.7mm），DRSM聯動抽樣下的整體失效概率更準確[8]。

表2 DRSM蒙特卡洛聯動抽樣和RSM蒙特卡洛分別抽樣復合計算結果對比（未含直方圖/抽樣仿真圖時間）Tab.2 Reliability Analysis Results of Hook Based on Two Methods（the Timing for Drawing the Figure is Not Included）

4 結論

（1）針對單響面法在起重機吊鉤可靠性分析的不足，采用結合拉丁超立方抽樣技術的雙重響應面可靠性分析方法，對吊鉤進行可靠性分析，得出當吊鉤許用應力為210MPa，許用變形為1mm時，吊鉤的總可靠度為99.47%；（2）采用結合拉丁超立方抽樣技術的響應面法，能在有限的樣本容量條件下，快速得到響應面方程，之后再結合蒙特卡洛抽樣，僅用0.326s（含直方圖/抽樣仿真出圖時間）即完成1×104次抽樣計算和結果分析；因此，響應面法能極大提升計算速度；（3）通過雙重響應面法實現對應力和變形的聯動抽樣，解決吊鉤變形和應力的失效相關性問題。