伺服平臺消隙齒輪剛柔耦合動力學特性的研究與分析

魯 強，高志峰，鐘小兵，戴 軍

（西南技術物理研究所，四川 成都 610000）

1 引言

消隙齒輪系統廣泛應用在精密機械傳動[1]中，尤其在制導、光電成像等領域，能夠很好地提高伺服平臺轉動的位置精度[2]。其原理為，消隙齒輪在拉簧拉力下，主齒輪與副齒輪錯開一定角度，主齒輪和副齒輪分別與嚙合的傳動齒輪接觸，這樣無論齒輪系統正向或反向轉動，都能保證消隙齒輪與傳動齒輪接觸良好，從而達到消除間隙的目的。在伺服平臺中，消隙齒輪系統的輸入端為力矩電機，輸出端為電位計齒輪，轉角由電位計測量讀出。拉簧的剛度、拉伸長度、齒輪軸間安裝偏差等參數都會對消隙效果產生很大影響，直接影響系統傳動的精度和動力學特性。消隙齒輪系統的錯位關系和接觸關系，如圖1所示。

圖1 消隙齒輪錯位和接觸關系Fig.1 Misalignment and Contact for Anti-Backlash Gears

目前，許多學者對消隙齒輪相關特性進行了分析和研究，文獻[3]分析了消隙齒輪傳動剛度對齒輪諧振頻率的相關影響；文獻[4]基于仿真軟件ADAMS 研究了齒輪嚙合力隨轉速變化的關系；文獻[5]基于有限元法的齒輪嚙合進行了仿真分析，研究了接觸力與負載之間的相關關系；文獻[6]對拉簧進行了優化設計，建立了多種彈簧的力學模型并推導出彈性力矩及相關參數的計算公式。

現有文獻研究的消隙齒輪系統的負載較大，多用于角度和速度的傳動環節，對動力學的相關特性研究不夠深入和全面。研究的消隙齒輪系統其特點是負載輕、靈敏度高，用于速度的傳動和角度的測量環節，要求齒輪系統傳動精度高。這里先對消隙齒輪拉簧參數進行分析和研究，在合理設計拉簧相關參數的基礎上，對消隙齒輪系統進行剛柔耦合的動力學研究，全面深入地研究了消隙齒輪系統的動力學特性。

2 消隙齒輪拉簧設計

消隙齒輪系統要達到理想的消隙效果，要保證裝配過程中消隙齒輪與電位計齒輪嚙合接觸良好，齒輪間接觸遵循經典赫茲理論[7]，其接觸應力呈半橢圓柱體分布且最大接觸應力分布在接觸面中心[8]，設計時應保證其工作時的接觸應力小于材料的許用應力；同時，要確保消隙齒輪拉簧提供的力矩大于系統工作的負載力矩，即需要滿足如下公式：

根據拉簧在平臺消隙齒輪中的結構尺寸及安裝空間等要求，將參數帶入式（1）有：

式中：N1、N2—消隙齒輪和電位計齒輪齒數；n—拉簧數量；k—拉簧剛度系數；x—拉簧拉伸長度；d—拉簧到回轉中心的距離；θ—拉簧與水平方向的夾角。

傳動比系數為4，拉簧數量為3，拉簧剛度系數為0.3N/mm，拉簧拉伸長度為5mm，拉簧到回轉中心的距離為10mm，拉簧拉伸方向與到回轉中心方向之間夾角為15°。

由于研究的伺服平臺空間尺寸較小，負載較輕，必須選擇合適的齒輪來滿足設計要求，消隙齒輪和電位計齒輪的相關參數，如表1所示。

表1 消隙齒輪和電位計齒輪參數表Tab.1 Parameters of Anti-Backlash Gear and Potentiometer Gear

將拉簧和齒輪參數帶入公式（2）有：

消隙齒輪系統轉動過程中，電位計齒輪的負載力矩主要包括電位計回轉摩擦力矩、軸承回轉摩擦力矩、線扭轉力矩等。

結合式（3）和式（4），拉簧參數滿足式（1）的設計要求。消隙齒輪系統傳動時，當拉簧產生的力矩小于電位計齒輪負載力矩時，拉簧受到壓縮方向的力，導致齒輪之間的接觸狀態變差，從而影響齒輪系統的傳動精度和動力學特性。

3 消隙齒輪剛柔耦合動力學模型

純剛性體與剛性體仿真研究時，輸出結果過于理想，不能反應真實的工況；剛性體和柔性體的耦合既可以得到與實際工況條件相符合的精度要求，又具有較高的仿真計算效率，因此采用剛柔耦合對伺服平臺消隙齒輪系統進行多體動力學分析。

3.1 多體系統建模理論

對于求解多體系統，常見的數學建模方法為拉格朗日方法和笛卡爾方法［9］。拉格朗日方法是一種相對坐標方法，其動力學方程的形式為拉格朗日坐標陣的二階微分方程組：

式中：q—位置坐標矩陣。

笛卡爾方法是一種絕對方法，系統動力學模型的一般形式為微分代數方程組，也稱歐拉-拉格朗日方程組，其形式：

式中：q—位置坐標矩陣；Φ—位置坐標陣q的約束方程；Φq—約束方程的雅克比矩陣；λ—拉格朗日乘子；A、B—常數矩陣。

3.2 齒輪柔性體模型的建立

消隙齒輪與電位計齒輪傳動過程中，其接觸類型嚴格意義上是柔體與柔體的接觸；文中將電位計齒輪看作柔性體，消隙齒輪視為剛性體，盡可能地保證齒輪系統接觸類型的真實性，同時簡化了計算模型，便于仿真計算。用UG三維建模軟件建立消隙齒輪系統模型，然后將電位計齒輪導入ANSYS APDL中建立其剛性區域和約束點，生成mnf 柔性體文件。電位計齒輪柔性體模型，如圖2所示。

圖2 電位計齒輪柔性體模型Fig.2 Flexible Body Model for Potentiometer Gear

將消隙齒輪系統模型導入ADAMS中，再將其電位計剛性齒輪替換成上述生成的柔性體文件，完成消隙齒輪剛柔耦合模型的建立。

3.3 剛柔耦合模型中接觸力的設置

Adams接觸力的計算方法有兩種：一種是基于回歸的接觸算法，另一種是基于碰撞函數的接觸算法。剛柔接觸采用基于碰撞函數的接觸算法，ADAMS/Solver 運用函數庫中IMPACK 函數來計算接觸力[10]，碰撞函數的理論公式為：

式中：F—法向接觸力；K—赫茲接觸剛度；δ—接觸點的法向穿透深度；e—力的指數，即剛度項的貢獻因子；C—阻尼系數。

4 消隙齒輪動力學分析

理想情況下，消隙齒輪系統輸出轉速與輸入轉速的比值等于齒輪的傳動比，但考慮齒輪柔性接觸、負載扭矩、轉動摩擦等因素，其輸出轉速以及其它動力學特性會受到很大影響。

4.1 輸入轉速對系統動力學特性的影響

在滿足文中消隙齒輪拉簧參數的要求下，電位計齒輪負載力矩為10mN/m，齒輪軸間偏移為0mm時；研究消隙齒輪系統輸入轉速為0.5°/s、2°/s和5°/s三種情況下，系統電位計齒輪的輸出特性。輸出轉速理想情況下分別為：2°/s、8°/s和20°/s，分別對應低速、中速、高速的工況。

4.1.1 系統輸出轉速與輸入轉速關系

消隙齒輪輸入轉速為0.5°/s、2°/s和5°/s三種情況下，如圖3所示。電位計齒輪的輸出與輸入之間的關系，曲線采取（0～1）s內的10個數據點繪制而成。從圖中可以看出，電位計齒輪輸入轉速0.5°/s時，輸出曲線很平穩；輸入轉速2°/s時，輸出曲線有較小波動；輸入轉速增大為5°/s時，輸出曲線波動較大。

圖3 不同輸入轉速下系統的輸出轉速Fig.3 System’s Angular Velocity at Different Input Speeds

從圖3中可知，隨著系統輸入的角速度增加，輸出角速度的偏差均值不斷變大。當輸入轉速為0.5°/s，輸出角速度偏差均值為0.02°/s；輸入轉速為2°/s，輸出角速度偏差均值為0.1°/s；當輸入轉速為5°/s，輸出角速度偏差均值增加到0.39°/s。隨著輸入轉速的增加，消隙齒輪系統輸出的角速度相對理論值的波動越厲害。

4.1.2 系統輸出的角度偏差與輸入轉速關系

在上述三種不同輸入轉速工況下，得到電位計齒輪在1s內的輸出轉角，計算其轉角的偏差均值變化，如圖4所示。

從圖4中可知，消隙齒輪系統輸入轉速為0.5°/s、2°/s和5°/s時，輸出轉角偏差分別為0.008°、0.037°和0.048°。由此可見，隨著輸入角速度的增加，輸出的轉角波動越大，其輸出轉角的偏差均值變大。

圖4 不同輸入角速度下輸出角度偏差均值Fig.4 Mean Deviation of Output Angle at Different Input Angular Speed

4.1.3 齒輪接觸力與輸入轉速關系

不同輸入轉速下，系統轉動平穩后，消隙齒輪和電位計齒輪接觸力變化情況，如圖5所示。

圖5 不同輸入轉速下電位計齒輪接觸力Fig.5 Potentiometer Gear’s Contact Force at Different Input Speeds

從圖5中可以得知，接觸應力變化與消隙齒輪輸入轉速關系不大，輸入角速度增加，接觸力略微有所增加。輸入轉速為較低轉速0.5°/s時，其接觸力均值為2.1N；輸入轉速為較高轉速5°/s，其接觸力均值為2.2N；可見轉速對齒輪接觸力的影響很小。

4.1.4 系統消隙時間與輸入轉速關系

圖6 消隙時間與輸入轉速的關系Fig.6 Relationship Between Backlash Time and Input Speed

4.2 軸間偏移對系統動力學特性的影響

消隙齒輪與電位計齒輪軸間距的變化直接影響齒輪的嚙合接觸關系，系統輸出的動力學特性也將會受到影響。

4.2.1 軸間偏移量對系統輸出轉速的影響

系統輸入轉速為2°/s，齒輪軸間偏移量為y=0mm 和y=0.1mm時，系統輸出的角速度波動曲線，如圖7所示。

圖7 軸間偏移量對輸出角速度波動的影響Fig.7 Influence of the Offset Between Shafts on the Fluctuation of Output’s Angular Velocity

從圖7中可以看出，軸向偏移量使輸出的角速度波動明顯增大。齒輪軸間偏移量為y=-0.05、y=0mm 與y=0.1mm 時，系統輸出的角速度，如圖7所示。根據齒輪的傳動比關系，系統輸入轉速為2°/s時，輸出的理論值值為8°/s，如圖8所示。從圖8可知，偏移量為y=-0.05時，輸出角速度為7.9°/s；偏移量為y=0時，輸出角速度為7.98°/s；偏移量為y=0.1時，輸出角速度為8.26°/s。系統的輸出轉速隨軸間偏移量的增大而變大。

圖8 軸間偏移量對輸出角速度的影響Fig.8 Influence of the Offset Between Shafts on the Output’s Angular Velocity

4.2.2 軸間偏移量對輸出轉角的影響

齒輪軸間偏移量會使得齒輪之間的接觸狀態、接觸位置、接觸時間等都會發生變化。輸入轉速為2°/s，時間0.4s內系統輸出轉角與軸間偏移量之間的關系，如圖9所示。

圖9 軸間距偏移量與輸出轉角的關系Fig.9 Relationship Between Shaft Offset’s Distance and Output’s Angle

從圖9中可知，移量為y=-0.05時，輸出角度為3.08°/s；偏移量為y=0時，電位計輸出角速度為3.18°；偏移量為y=0.1時，電位計輸出角速度為3.28°。理想情況下0.4s內輸出轉角應該為3.2°，系統輸出轉角隨軸間距的增加而增大。

4.2.3 軸間偏移量對系統消隙時間的影響

齒輪軸間距的改變，齒輪接觸位置發生變化，對消隙時間也會產生很大影響。偏移量對消隙時間的影響，如圖10所示。

圖10 軸間偏移量對消隙時間的影響Fig.10 Effect of Offset Between Shafts on Backlash Time

從圖10 中可以看出，y=-0.05mm 時，消隙時間為0.11s；y=0mm時，消隙時間為0.17s；y=0.1mm時，消隙時間為0.28s。軸間距增大，齒形接觸輪廓之間的距離增大，消隙時間隨之增大。

4.2.4 軸間偏移量對齒輪諧振頻率的影響

諧振頻率反應齒輪系統的相關固有力學特性，對系統隨機相應、震動沖擊等特性有著重大影響。不同的軸間偏移量，齒輪系統的諧振頻率也會有很大差異，偏移量對諧振頻率的影響關系，如圖11所示。從圖11中可以看出，齒輪軸間距變小，系統的諧振頻率增大；齒輪軸間距增大，系統諧振頻率減小。在相同的偏移量下，軸間距變小對系統的諧振頻率影響比軸間距變大對系統的影響更大。軸間距正向偏移量從（0～0.1）mm時，其一階諧振頻率由495Hz 減小到185Hz；軸間距負向偏移由（0～-0.05）mm時，其一階諧振頻率增加到1376Hz。

圖11 軸間偏移量對諧振頻率的影響Fig.11 Influence of Shafts’Offset on Resonance Frequency

4.3 拉簧剛度對輸出轉速的影響

拉簧剛度對系統的剛性有很大影響，拉簧剛度系數減小時，拉簧提供的力矩小于負載力矩，齒輪系統輸出特性變差。消隙齒輪拉簧剛度對系統輸出轉速的影響，如圖12所示。在本伺服平臺中的工作情況下，消隙齒輪拉簧提供的力矩大于負載力矩時，將此時拉簧的剛度設定為1k值，根據前面拉簧的設計，本系統中k=0.3N·mm。從圖12中可以看出，當拉簧剛度從1k減小為0.025k時，角速度偏差均值由0.02°/s增加到0.1°/s。可見，拉簧剛度減小，消隙齒輪系統輸出的轉速偏差將明顯增加。

圖12 拉簧剛度對輸出轉速的影響Fig.12 Effect of Tension Spring’s Stiffness on Output’s Speed

5 實物試驗與仿真實驗對比

對消隙齒輪系統輸出的角速度和角度精度進行了實物試驗，并與仿真實驗進行了比較。裝配完整后的消隙齒輪實物，如圖13所示。

圖13 消隙齒輪裝配體Fig.13 Assembly of Anti-Backlash Gear

其主要由主齒輪、副齒輪以及拉簧組成。在拉簧的作用下，主齒輪和副齒輪錯開一定角度，與嚙合齒輪接觸配合。伺服平臺物理樣機以及消隙齒輪系統在伺服平臺中的工作位置，伺服平臺主要包括負載、消隙齒輪、電位計齒輪、電位計、平臺框架等，如圖14所示。消隙齒輪與負載連接形成回轉軸系，電位計齒輪安裝在平在框架上；負載在電機驅動下轉動，經過消隙齒輪系統，將輸出轉角傳給電位計進行角度測量。

圖14 伺服平臺消隙齒輪傳動系統Fig.14 Transmission System of Servo Platform for Anti-Backlash Gears

5.1 不同輸入轉速下試驗和仿真的輸出比較

5.1.1 實物試驗與仿真實驗的輸出轉速比較

在消隙齒輪拉簧剛度系數k=0.3N·mm，中心距偏移量y=0時，對消隙齒輪系統輸入轉速分別為0.5°/s、2°/s和3.75°/s三種工況下，得到1s內實物試驗和仿真實驗的輸出轉速曲線，分別計算兩者的輸出轉速偏差均值，如圖15所示。

圖15 實物試驗和仿真實驗的輸出轉速偏差均值比較Fig.15 Comparison of Mean Value of Output Speed’s Deviation Between Physical and Simulation Test

從圖15中可以看出，實物試驗與仿真實驗輸出的角速度偏差均值差別不大，兩者很接近。輸入轉速從0.5°/s增加到3.75°/s時，仿真試驗的輸出轉速偏差均值由0.02°/s變到0.22°/s，而實物試驗的輸出轉速均值偏差由0.06°/s變到0.19°/s。仿真實驗與實物試驗的結果差別很小。

5.1.2 實物試驗與仿真實驗的輸出角度比較

在上述三種輸入轉速下，仿真實驗與實物試驗的輸出轉角比較，如圖16 所示。從圖16 中可知，輸入轉速從0.5°/s 增加到3.75°/s時，實物試驗的輸出轉角由5.1°變到21.1°，而仿真實驗的輸出轉角由4.88°變到19.9°。

圖16 實物試驗與仿真實驗的輸出轉角比較Fig.16 Comparison of Output Angle Between Physical and Simulation Test

5.2 不同拉簧剛度下試驗和仿真的輸出轉速

在物理樣機中，齒輪系統中心距偏移量y=0mm，輸入轉速為2°/s時，通過改變拉簧的剛度系數，研究拉簧剛度系數對輸出轉速的影響，不同拉簧剛度系數下試驗和仿真的輸出轉速，如圖17 所示。消隙齒輪拉簧剛度從1k 減小為0.025k 時，角速度偏差均值由0.02°/s 增加到0.1°/s；實物試驗角速度偏差均值由0.01°/s增加到0.22°/s。

圖17 不同拉簧剛度系數下試驗和仿真的輸出轉速Fig.17 Output Speed for Different Stiffness Coefficient of Tension Spring

5.3 不同軸間偏移量下試驗和仿真的輸出轉速

在物理樣機中，輸入轉速為2°/s 時，拉簧剛度系數k =0.3N/mm，改變消隙齒輪與電位計齒輪中心距偏移量，研究其對輸出轉速的影響，不同軸向偏移量下試驗和仿真的輸出轉速，如圖18所示。偏移量為y=-0.05增加到y=0.1時，仿真輸出角速度為由7.9°/s增加到8.26°/s；實物試驗由7.88°/s增加到8.15°/s。

圖18 不同軸向偏移量下試驗和仿真的輸出轉速Fig.18 Output Speed of Test and Simulation Under Different Axial Offset

6 結論

這里在合理設計拉簧參數的基礎上，對伺服平臺消隙齒輪系統進行剛柔耦合的動力學研究。研究了不同輸入轉速、拉簧剛度系數以及齒輪軸間偏移量等參數，對齒輪系統動力學特性的相關影響。在仿真中，將電位計齒輪進行柔性體處理，且充分考慮拉簧拉力以及相關負載力矩等因素，進行剛柔耦合下的動力學分析，仿真結果與試驗結果誤差很小。由于該仿真設置充分考慮了齒輪的變形、拉簧拉力、負載力矩等諸多真實的因素，因此該仿真能很好地反應伺服平臺中消隙齒輪物理樣機的動力學特性。相關結論如下：（1）消隙齒輪系統輸出的轉速和轉角偏差均值隨輸入轉速的增加而增大，消隙時間隨之則快速減小，輸入轉速對接觸力的影響不大。（2）軸間偏移量使輸出的角速度波動明顯增大，消隙時間隨軸間偏移量的增加而增大，諧振頻率則隨之而減小。（3）系統輸出轉速偏差隨拉簧剛度的減小而明顯增大。（4）伺服平臺實物和仿真實驗的輸出結果差別很小，驗證了動力學仿真實驗參數設計的合理性和準確性，對消隙齒輪以及伺服平臺系統動力學的研究和優化有較大的幫助和指導。