例析高中數學“指對運算及比較大小”的方法

張偉冰

【摘要】“指對運算”在每年的高考中都有體現，而“比較大小”在數學的學習中無處不在，本文通過對近幾年高考數學試題的探討分析“指對運算及比較大小”的方法。

【關鍵詞】高中數學;高考例題;指數式;對數式;比較大小;冪函數

“指對運算及比較大小”在近幾年的高考試題中頻繁體現，在《高中數學課程標準》里，要求掌握指數冪的運算性質，理解對數的概念和運算性質，知道用換底公式能將一般對數轉化成自然對數或常用對數。

一、知識儲備

（一）指數式與對數式的互化

指數式? ? ? ?→? ? ? ? ?對數式? ? ? ? ? →? ? ? ? ?指數式

（二）對數換底公式

（a，b，c，且a，c≠1）

（三）對數恒等式及其逆用

（四）指數的運算性質

（五）對數的運算性質a>0且a≠1

（六）指數函數、對數函數、冪函數的圖象和性質

①指數函數的圖象與性質：指數函數y=ax（a>0，a≠1）的圖象恒在x軸上方，過定點（0，1），定義域為R，值域為（0，+∞），a>1時為增函數，0

②對數函數的圖象與性質：對數函數y=logax（a>0，a≠1）的圖象恒在y軸右側，過定點（1，0），定義域為（0，+∞），值域為R，a>1時為增函數，0

③冪函數的圖象與性質：冪數函數y=xa（a為常數）的圖象過定點（1，1）;a>0時在[0，+∞）上為增函數，若a>1增加的速度先慢后快，若a=1勻速增加;若0

a<0時在（0，+∞）上為減函數。熟悉y=x，y=x2，y=x3，，y=x-1的圖象和性質，會利用函數的單調性和奇偶性畫出冪函數的圖象。

二、指對運算

問題1：（21全國甲卷理4文6）青少年視力是社會普遍關注的問題，視力情況可借助視力表測量。通常用五分記錄法和小數記錄法記錄視力數據，五分記錄法的數據L和小數記錄表的數據V滿足L=5+lgV。已知某同學視力的五分記錄法的數據為4.9，則其視力的小數記錄法的數據為（ C ）（）

A. 1.? ? ? ?B. 1.2? ? ? ?C. 0.8? ? ? ?D. 0.6

分析：由L=5+lgV，當L=4.9時，lgV=-0.1，

則V=10-0.1=.

問題2：（20課標Ⅰ文8）設alog34=2，則4-a=（ B ）

分析：alog34=log34a=2，4a=32=9，。

方法總結：這兩道高考真題是典型的指對運算題，要求學生能根據需要熟練地對指數式與對數式進行互化，靈活地應用指數和對數的運算性質來解決問題。

三、比較大小

（一）利用基本初等函數的單調性比較大小

問題：（19課標Ⅱ理6）若a>b，則（ C ）

A. ln（a-b）>0? ? ? B. 3a<3b? ? ?C. a3-b3>0? ? ?D.│a│>│b│

分析：由a>b得a-b>0，但不能得出a-b>1，而由y=lnx為增函數，ln（a-b）>0=ln1得a-b>1;由y=3x為增函數，a>b得3a>3b;由y=x3為增函數，a>b得a3>b3，∴a3-b3>0;由y=│x│在（-∞，0]遞減，在[0，+∞）遞增得，a>b不能得出│a│>│b│（或舉反例：1>-3但│1│<│-3│）。

方法總結一：識記不等式的性質、指數函數、對數函數、冪函數和絕對值函數的單調性，要求學生們會利用函數的單調性比較大小。

（二）找中間量，利用基本初等函數的單調性比較大小

問題1：比較0.40.3與0.10.7的大小

分析：法一：∵0.40.3y=0.4x為R上的減函數，y=x0.7為[0，+∞）上的增函數，∴0.40.3>0.40.7>0.10.7，∴0.40.3>0.10.7。

法二：∵y=0.1x為R上的減函數，y=x0.3 為[0，+∞）上的增函數，∴0.40.3>0.10.3>0.10.7 ，∴0.40.3>0.10.7。

問題2：（19課標Ⅲ理11文12）設f（x）是定義域為R的偶函數，且在（0，+∞）單調遞減，則（? ）

分析：由f（x）是定義域為R的偶函數得=

f（-log34）=f（log34），又由y=log3x為增函數得log34>log33=1，由y=2x為增函數得0<<<20=1

方法總結二：熟練應用指數和對數的運算性質，識記偶函數的定義，指數函數、對數函數、冪函數的單調性，利用指數函數、對數函數和冪函數的單調性，通過找中間量比較大小。

（三）作商，利用基本不等式比較大小

問題1：比較log43與log54的大小

分析：∵log43>log4l>0，log54>log5l>0，

∴=log43·log45<=1，∴l(xiāng)og43

問題2：（20課標Ⅲ理12）已知55<84，134<85.設a=log53，b=log85，c=log138，則（ A ）

A.a

C.b

分析：由a=log53，b=log85得=log53·log58<

<1，即a

方法總結三：通過作商、換底公式、利用基本不等式、不等式的性質比較大小。

（四）構造函數，利用函數的單調性比較大小

問題1：求證：

分析：要證，只需證。

令，則在上恒成立。

∴f（x）=sinx在上遞減，∴，即。∴ .

問題2：求證： e

分析：∵y=lnx 為（0，+∞）上的增函數，要證只需證。

令f（x）=lnx-，則f'（x）=，x∈（0，4e）時，f'（x）>0，x∈（4e+∞）時，f'（x）<0。∴f（x）在（0，4e）遞增，在（4e+∞）遞減，∴f（π）>f（e）即lnx->0，即，∴ e。

方法總結四：對不等式等價變形，由變形后不等式的結構構造函數，利用函數的單調性比較大小。

（五）利用基本初等函數的圖象比較大小

問題：（16課標Ⅰ理8）若a>b>1，0

A. ac

C. a·logbc

分析：∵0b>1，∴ac>bc。

∵ a>b>1，0b>1，∴bc-1>ac-1即a·bc>b·ac。

∵a·logbc-b·logac=lgc·=lgc·，∵a>b>1，∴1lgb>0，∴>0。

∵0

由對數函數y=logax，y=logbx的圖象得logac>logbc。

方法總結五：作差法，識記指數函數、對數函數、冪函數的圖象，利用函數的圖象比較大小。

（六）利用基本初等函數的單調性放縮法比較大小

問題：（20課標Ⅰ理12）若2a+log2a=4b+2log4b，則（B）

A. a>2b? ? ? ?B. a<2b? ? ? ? C. a>b2? ? ? ?D. a

分析：由b>0得0

∴2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b<22b+log22b①，令f（x）-2x+log2x，

則①為f（a）

方法總結六：利用熟悉的函數的單調性放縮后構造函數，利用所構造函數的單調性比較大小。

比較大小在高中數學的學習中無處不在，比較大小的問題通常是綜合性比較強的問題，是多個知識點的綜合應用問題，要求學生能靈活應用不等式的性質、基本初等函數的圖象和性質、基本不等式作出判斷。通常用到作差或作商、中間量、放縮、估值、基本不等式、構造輔助函數、圖象法等方法來比較。比較冪或對數值的大小，若冪的底數相同或對數的底數相同，通常利用指數函數或對數函數單調性進行比較，如0.10.2>0.10.3，lg0.13-0.2。

參考文獻：

[1]王尚志，保繼光.普通高中教科書數學必修第一冊北師大版高中數學必修1[M].北京師范大學出版社，2019.

[2]羅增儒.學解題學引論[M].陜西師范大學出版社，2000.

責任編輯? 鐘春雪