解三角形問題中的增根探因

朱清波

(廣東省廣州市執(zhí)信中學(xué),510080)

在解三角形問題中,根據(jù)條件建立方程計(jì)算某些線段長(zhǎng)度或角度時(shí)常常會(huì)產(chǎn)生多解(增根)的情況.若學(xué)生對(duì)這類問題理解不清晰,識(shí)別不出其中的增根,則很容易產(chǎn)生一錯(cuò)再錯(cuò)的現(xiàn)象.筆者根據(jù)課堂教學(xué)中遇到的幾個(gè)案例,分析了多解(增根)產(chǎn)生的原因,引導(dǎo)學(xué)生從以下幾個(gè)方面及時(shí)建立檢驗(yàn)的意識(shí),培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

一、對(duì)隱含條件的挖掘不深造成多解

例1在?ABC中,已知3sinA+4cosB=6,3cosA+4sinB=1,則角C=______.

二、對(duì)題干條件的不等價(jià)轉(zhuǎn)化造成多解

剖析本題答案為c=5.那么產(chǎn)生增根c=3的原因是什么呢?

本題是否可以等價(jià)轉(zhuǎn)化?實(shí)際上,將條件B=2A轉(zhuǎn)化為sin(B-A)=sinA即可. 這是因?yàn)樵?ABC中,由sin(B-A)=sinA只能得到B-A=A；而另一種情況(B-A)+A=π化簡(jiǎn)后得B=π,這顯然是不成立的.該思路對(duì)應(yīng)的具體解法如下.

三、對(duì)圖形中整體與局部的關(guān)聯(lián)意識(shí)不強(qiáng)造成多解

事實(shí)上,錯(cuò)解1是先通過?ADC的條件得出cosθ,而后續(xù)獨(dú)立求解?ABD時(shí),如圖4,多出的解AB′=2，表明?AB′D≌?ACD,這與B′,D,C三點(diǎn)必須共線矛盾,故不符合題意.

對(duì)于例3,以下兩種處理方法可以有效避免出現(xiàn)增根.

評(píng)注涉及到角平分線的計(jì)算問題,利用三角形面積分割成兩個(gè)小三角形面積之和來建立等量關(guān)系,一般能得到一個(gè)一次方程,從而避免增根的產(chǎn)生,雖然對(duì)唯一結(jié)果還需要檢驗(yàn),但相比來說其難度已經(jīng)小了很多.

評(píng)注利用鄰角互補(bǔ)的性質(zhì)建立等量關(guān)系,得到一個(gè)一元二次方程,增根x=-1是一個(gè)負(fù)值,其幾何意義在于點(diǎn)B,C重合,但因?yàn)閿?shù)值的特殊性,可直接舍去.

從上述……