一道新型最值問題的解法分析與變式應用

崔 鵬

(中國人民大學附屬中學,100080)

圓錐曲線問題作為解析幾何的核心內容,其題材豐富、解法多樣.在數學核心素養中,直觀感受和運算能力并重[1],這實際上是對數形結合的具體解讀.在圓錐曲線相關內容的教與學的過程中,除了落實基本運算和基本方法外,還需要適當拓寬解題思路.本文通過一道以旋轉變換為背景的新型最值問題的多角度分析,展示代數運算和幾何觀察的綜合運用,并結合新課本的內容改革提供了復數解決方法[2].復數的三角形式在既定的幾何條件下具有非常明顯的運算優勢[3],而新教材刪除了極坐標系的內容,補充了復數的三角形式,本文的探討啟示我們要充分研究教材,在數學的不同模塊間建立聯系,抓好銜接點,就能夠以不變應萬變,保障數學學習活動的順利進行.

一、問題呈現與解法分析

分析1旋轉坐標系法

評注坐標系旋轉具有很強的實用性,例如我們學習過的反比例函數和“對勾”函數,它們的圖象都是雙曲線,這可通過坐標旋轉法得到證明.本題用坐標系旋轉的方法對學生具有一定的難度,此解法只是一種參考.

分析2命題等價轉化法

解法2(平行線法)

解法3(三角換元法)

分析3復數法

復數是高中數學的重要知識板塊,在新教材[2]中還增加了復數的三角形式作為選學內容.本題可從利用復數乘法的幾何意義解題的角度出發,開拓問題求解的新途徑.

評注復數的三角形式是簡化復數運算的……