例析以立體圖形為背景的概率統計問題

陳守俊

(北京市和平街第一中學，100013)

高考命題由“知識立意”轉變為“能力立意”,在知識的“交匯點”設置問題已經成為命題的最大熱門.綜觀往年各省高考試題,經常出現以立體幾何圖形為背景的概率統計計算問題.這些題目既考查學生立體幾何、排列與組合以及概率統計的基本知識,又考查學生空間想象力及分析問題和解決問題的能力.求解這類問題的關鍵是思路要清晰,對基本事件的計算要不重不漏,它對學生的能力要求較高.下面試舉幾例說明解這類問題的思路和方法.

例1以平行六面體ABCD-A′B′C′D′的任意三個頂點為頂點作三角形,從中隨機取出兩個三角形,則這兩個三角形不共面的概率p為( )

分析本題關鍵在于尋找不共面的三角形的個數,當直接考慮有困難時,可從它的對立事件入手.

例2在正方體上任取3個頂點連成三角形,則所得三角形是直角非等腰三角形的概率為( )

分析本題處理的關鍵在于尋找直角非等腰三角形構成的特征.

解法2以A為直角頂點的直角非等腰三角形僅有Rt?B1AD,Rt?D1AB,Rt?A1AC三個,故符合條件的直角非等腰三角形共有8×3=24個.

例3考察正方體6個面的中心,甲從這6個點中任意選兩個點連成直線,乙也從這6個點中任意選兩個點連成直線,則所得兩條直線相互平行但不重合的概率等于( )

分析本題處理的關鍵在于尋找兩條相互平行但不重合的直線的個數.

例4設ξ為隨機變量,從棱長為1的正方體的12條棱中任取兩條,當兩條棱相交……