一道斜率定值問題的多彩解法

龍 宇

(廣東省佛山市羅定邦中學，528300)

本文以一道斜率關系的定值問題為例,從不同的視角進行解析,意在開拓學生的思維、提升解題能力.

一、試題呈現

二、解法探析

解法1以點為基本量進行計算

解法2定比點差法求解

評注該解法利用向量定比關系得出交點的坐標關系,結合定比點差法消元,值得借鑒.

由橢圓的第二定義,可知線段間的比例λ與直線l的傾斜角θ以及橢圓的離心率等信息相關.為此,筆者嘗試使用第二定義進行求解.

解法3利用第二定義結合焦半徑求解

評注本解法利用橢圓的第二定義表示CF，DF,在計算斜率方面也是通過幾何視角進行解釋,對應的計算量較小.

橢圓第二定義的核心在于橢圓的焦點與準線,為此,筆者考慮所求式與橢圓準線間的關系進行求解.

解法4利用準線求解

根據橢圓的第二定義可獲得焦半徑的公式,而橢圓的第三定義則直接討論斜率的關系.接下來,筆者將利用第三定義[1]求解.

解法5利用第三定義轉化斜率的關系求解

橢圓的第三定義是:平面內的動點到兩定點A1(-a,0),A2(a,0)的斜率乘積等于常數e2-1的點軌跡(連同點A1,A2)叫做橢圓,其中的常數e2-1∈(-1,0).

此時可利用上述三種解法計算兩個斜率的乘積,本文不再詳述.這里介紹一種構造斜率方程[2]的技巧,來計算該值.

構造斜率方程的本質是利用條件獲得一個關于斜率k1，kAD的一元二次方程.為了實現該目的,需將原圖形進行平移變換.

評注該解法的核心在于構造出關于k的二次……