導(dǎo)數(shù)視角下雙變量問(wèn)題的處理途徑

陶勇勝

(浙江省杭州市學(xué)軍中學(xué)海創(chuàng)園校區(qū), 311121)

在近些年高考?jí)狠S題中,以導(dǎo)數(shù)為背景的雙變量問(wèn)題一直是導(dǎo)數(shù)題中的熱點(diǎn)和難點(diǎn)[1]. 這一類問(wèn)題解法眾多且技巧性強(qiáng),對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)有較高的要求.本文從2021年一道全國(guó)高考題說(shuō)起,多角度談?wù)剬?dǎo)數(shù)視角下的雙變量問(wèn)題的常見處理途徑.

一、構(gòu)造函數(shù)法

例1(2021年全國(guó)高考題)已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx).

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

證明(1)f(x)在(0,1)單調(diào)增,在(1,+∞)單調(diào)減.(過(guò)程略)

證法1利用對(duì)稱性構(gòu)造函數(shù)

令F(x)=f(1+x)-f(1-x),其中00,F(x)在(0, 1)單調(diào)增,有F(x)>F(0)=0,從而f(1+x)>f(1-x).令x=1-x1,則f(2-x1)>f(x1),即f(2-x1)>f(x2).又因?yàn)閒(x)在(1,+∞)單調(diào)減,且x2>1,2-x1>1,所以x2>2-x1,即x1+x2>2.

評(píng)注本題若構(gòu)造函數(shù)p(x)=f(x)-f(e-x)證明x1+x2

證法2利用同構(gòu)法構(gòu)造函數(shù)

評(píng)注本題x1+x22的證明過(guò)程有較大不同,原因是g(x)=x2-2xlnx在(0,+∞)有單調(diào)性,而h(x)=x2-exlnx在(0,+∞)不是單調(diào)函數(shù),因此,利用函數(shù)的單調(diào)性無(wú)法直接證明h(x2)f(x),而當(dāng)1

二、數(shù)形結(jié)合法

“數(shù)缺形時(shí)少直覺(jué),形少數(shù)時(shí)難入微”,數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)及導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的重要思想方法.下面從數(shù)形結(jié)合角度談?wù)勌幚黼p變量不等式問(wèn)題.

1.以直代曲

例2已知f(x)=xlnx的圖象與直線y=a有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B,其橫坐標(biāo)分別為x1,x2(x1

(1)求a的取值范圍;

(2)求證:

(2)先證ae+1

設(shè)直線y=a與直線OB,AB交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x3,x4,則x3=-a,x4=(e-1)a+1,從而有x2-x1>x4-x3=ea+1.

評(píng)注2015年天津理科卷第15題用雙切線代替曲線[1]及2021年全國(guó)新高考I卷第22題(例1)用切線、割線代替曲線[5]證明雙變量不等式,說(shuō)明以直代曲的方法是處理雙變量問(wèn)題的有效方法之一.

2.以曲代曲

分析這是一道雙變量不等式證明的經(jīng)典題,可通過(guò)齊次化、比值代換、比差代換、增量法[2]-[5]等方法求解.下面從數(shù)……