利用復(fù)數(shù)求解三角函數(shù)問題

方志平

(廣東省惠州市第一中學(xué),516007)

高中數(shù)學(xué)新教材增加了一節(jié)“復(fù)數(shù)的三角表示”選學(xué)內(nèi)容,不僅加深了學(xué)生對復(fù)數(shù)幾何意義的認(rèn)識,而且能拓寬學(xué)生的解題思路.從復(fù)數(shù)的三角形式z=r(cosθ+isinθ),我們能夠分析出復(fù)數(shù)和三角函數(shù)之間是存在著密切關(guān)系.本文分類例說利用復(fù)數(shù)求解與三角有關(guān)的問題,希望能夠給學(xué)生在解決一些三角問題時多一條思路.

一、求三角函數(shù)值

評注本題也可采用配角法2α=(α+β)+(α-β)求解,而上述解法則給學(xué)生提供了一種新穎的解法.

例2已知cosA+cosB+cosC=0,sinA+sinB+sinC=0,求sin 2A+sin 2B+sin 2C和sin2A+sin2B+sin2C的值.

=(z1+z2+z3)2-2(z1z2+z2z3+z3z1)

=0.

二、證明三角恒等式

例3證明: cos 3α=4cos3α-3cosα,sin 3α=3sinα-4sin3α.

證明由棣莫弗定理,得(cosα+isinα)3=cos 3α+isin 3α.

又由(cosα+isinα)3=cos3α+3cos2α·(isinα)+3cosα(isinα)2+(isinα)3=(4cos3α-3cosα)+(3sinα-4sin3α)i，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義,得

cos 3α=4cos3α-3cosα,

sin 3α=3sinα-4sin3α.

評注本解法借用棣莫弗定理進(jìn)行證明,旨在拓展學(xué)生解題思路,感受巧用復(fù)數(shù)三角形式解題的神奇魅力!

再看一例.

例4證明:

證明由棣莫弗定理,可得(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ.

A+Bi

綜上,由兩復(fù)數(shù)相等的定義,可得結(jié)論成立.

三、證明三角不等式

證明由于

+|sinα|i)(|cosα|-|sinα|i)]

兩邊取模并放縮,易見

例6已知α為銳角,證明:

證明由于

兩邊取模并放縮,可得

四、求角的大小

評注本題實質(zhì)上是先尋求輻角為α的一個復(fù)數(shù)與輻角為β的另一個復(fù)數(shù)的平方之乘積,再尋找這個積對應(yīng)復(fù)數(shù)的輻角主值.

例8如圖1,已知平面內(nèi)八個相等的正方形并列排放,求∠1+∠2+∠3+∠4的大小.

解建立坐標(biāo)系如圖1,由平行線對應(yīng)的內(nèi)錯角相等,可知∠1是復(fù)數(shù)3+i的輻角的主值,∠2是復(fù)數(shù)5+i的輻角的主值,∠3是復(fù)數(shù)7+i的輻角的主值,∠4是復(fù)數(shù)8+i的輻角的主值.

評注由圖形的特殊性,不難求出分別以∠1,∠2,∠3,∠4為輻角主值所對應(yīng)的一……