源于教材 高于教材
——等和線的性質及其妙用

劉文明

(山東省臨邑縣第一中學，251500)

一、證明等和線定理涉及的有關結論

由教材內容,易知以下結論成立:

二、等和線定理及性質

1.等和線定理

特別地,當點P在直線AB上變化時,系數和恒為1.

2.等和線系數和的分布規律

三、平面向量問題應用舉例

解法1(傳統解法)

解法2(等和線性質法)

評注由以上兩例可知,這類問題傳統解法是先建立直角坐標系,利用向量的坐標表示和圓的參數方程求解,涉及的知識點多,計算繁瑣、耗時、易錯.而利用等和線性質求解,涉及的知識點單一,過程簡單明了,起到了化繁為簡、出奇制勝的功效.

(A)[1,4) (B)[1,4]

(C)[2,3) (D)[2,3]

(A)(0,1) (B)(-1,0)

(C)(-∞,-1) (D)(1,+∞)

解法1(傳統方法)

解法2(等和線性質法)

如圖6(b),過點C作平行于AB的等和線l,因為OC的反向延長線交AB于圓外一點D,易知等和線l只能介于l0與l2之間,根據系數和的分布規律,得m+n∈(-1,0).

評注本題兩種解法都不太難,但對做選擇填空題來講,等和線性質法更加簡潔明了,節約時間.

四、從平面到空間的拓展

縱觀高考、模考、培優考試題,不難發現以等和線為背景的問題常作為選擇填空的壓軸題出現,其綜合性強、難度較大,用傳統方法解決繁瑣易錯,而用等和線性質處理往往起到四兩拔千斤的作用.同時,由于等和線定理及其性質是教材內容的適度拓展與深化,在教學過程中補充該部分知識,可啟迪學生思維,體現了源于課本高于課本的教學思想,也契合高考的命題原則.