帶有恐懼效應和包含獵物避難所的分數階時滯捕食者-食餌模型的穩定性及Hopf分岔

劉秀朵，劉新靜，楊永燕,2

（1.濮陽石油化工職業技術學院 基礎部，河南 濮陽 457001；2.安陽學院 數理學院，河南 安陽 455000）

人們常常利用整數階微分方程研究生物系統的動力學行為［1-2］。由于現實世界中生物的交互作用，人們往往在方程中加入一些參數來描述這些行為。例如，人們通過加入獵物避難所來描述食餌受庇護的情況［3］，通過加入恐懼參數來描述捕食者對食餌的間接影響［4］。ZHANG H.S.等［5］研究了包含獵物避難所的Holling II型捕食-被捕食模型

中被捕食者因對捕食者恐懼而產生的反捕食者行為。

由于許多生物系統都有記憶性，而分數階導數與生物系統的時域有關，一些學者就用分數階微分方程刻畫生物系統的遺傳記憶特性［6］，還有一些學者研究了生物系統的過去狀態對現在狀態和未來狀態的影響，用帶有的時滯的模型描述種群的反應時間、成熟時間及妊娠期等［7］。在此基礎上，我們將研究帶有恐懼效應和包含獵物避難所的分數階時滯捕食者-食餌模型

的平衡點的存在性、平衡點處的穩定性以及存在Hopf分岔的條件，并通過數值模擬驗證結論的正確性。

1 預備知識

定義1［8］：函數f∈Cn([t0,∞),R)的q階Caputo分數階導數定義為

其中，n為正整數，n?1

引理1［9］：對于n維分數階時滯系統

其中，0

1）當τ=0時，系統（3）的線性化系統的系數矩陣的所有特征值λj(j=1,2,… ,n)滿足。

2 平衡點的存在性和穩定性

考慮到保護生態系統的多樣性，我們重點關注捕食者-食餌模型在共存平衡點ε2=(x?,y?)處的動力學行為，平凡平衡點和無捕食者平衡點的穩定性參照以下共存平衡點處的討論很容易獲得，在此不再贅述。……