借圖識數巧解題

文／李蘇萍

在大數據時代，通過統計與分析，我們可以推斷所測對象的本質，甚至預測對象的未來。對于收集來的數據，我們可以根據問題直接分析，也可以將數據繪制成統計圖幫助分析。很多同學習慣利用數字和公式，通過計算來解決問題，忽視統計圖的作用。其實，統計圖上的數據已經按照需求進行了處理，可直觀地反映出數據的集中趨勢和離散程度。如果我們能借助統計圖的特征，多角度觀察與分析，就可以提高解題速度。

一、借圖看數據的集中程度

例1某射擊運動員在賽前訓練中射擊了10次，成績如圖1所示。下列結論中錯誤的是（ ）。

圖1

A.眾數是8 B.中位數是8

C.平均數是8.2 D.方差是1.6

【解析】本題是用折線統計圖反映該運動員的成績。很多同學將圖像信息轉化成一個個數據9，6，8，8，7，10，7，9，8，10，再計算眾數、中位數、平均數和方差。由于沒有充分利用統計圖的特征，解題效率不高。因為本題是用點來反映數據的集中與離散程度的，所以我們可以換個方式看此圖。眾數可以通過每一行數據表示的點的個數得出，如圖2，數據6 有1 個、7 有2 個、8 有3 個、9 有2 個、10 有2 個，很容易看出眾數是8。找中位數需排序，而該圖本身有排序的功能，所以只需從下到上給點排序（如圖3），不難看出中位數是排第5 位和第6 位兩個數的平均數，即（8+8）÷2=8。我們從圖4 中發現，點反映的數據集中在8 附近，所以平均數8+A、B、C 三個選項都可由圖輕松得出是正確的，故選D。

圖2

圖3

圖4

例2學校為了解全校學生參加社會實踐活動的情況，隨機調查了部分學生一學期參加社會實踐活動的時間（單位：天），并用得到的數據繪制了統計圖5和圖6。請根據圖中提供的信息，回答下列問題：

圖6

（1）本次隨機調查的學生人數是______，圖5中m的值是______；

圖5

（2）求調查獲取的學生社會實踐活動時間樣本數據的眾數、中位數和平均數；

（3）該校有480 名學生，根據獲取的社會實踐活動時間樣本數據，估計該校一學期社會實踐活動時間大于10天的學生人數。

【解析】本題兩幅統計圖反映的內容是一樣的，只是表現方式不同，我們可以根據統計圖的特征選擇適合的圖回答相應的問題。

問題（1）中，學生人數和m的值可分別根據條形統計圖和扇形統計圖直接計算得到。本次隨機調查的學生人數是4+12+10+8+6=40（人），m%=1-10%-30%-25%-15%=20%。

問題（2）中，觀察圖6，根據條形的高度看出數據10 出現12 次，所以眾數是10。計算中位數需要排序和找中間位置，兩幅圖都有一定的排序功能，中間位置是排在一半附近的數據，所以選擇扇形統計圖找到排在50%的數據更容易。觀察圖5，從小到大排序，實踐9 天與10 天的人數百分比之和為40%，再加上11 天的人數百分比為65%，所以中位數為。本題的平均數是加權平均數，選擇扇形統計圖可直接計算，x=9×10%+10×30%+11×25%+12×20%+13×15%=11，即平均數是11。

問題（3）中，選擇能反映各項與總量之間關系的扇形統計圖更合適。在這組樣本數據中，社會實踐活動時間大于10 天的學生人數占60%，所以估計該校一學期社會實踐活動時間大于10 天的學生人數為480×60%=288（人）。

【點評】折線統計圖中點的高低起伏、條形統計圖中條形的長短、扇形統計圖中扇形面積的大小都可以反映數據的分布和變化特征。因此，我們應抓住問題的本質，巧借圖形本身的特征，以達到快速解題的目的。

二、借圖看數據的離散程度

例3圖7 為本溪、遼陽6 月1 日至5 日最低氣溫的折線統計圖，由此可知本溪、遼陽兩地這5天最低氣溫波動情況是（ ）。

圖7

A.本溪波動大

B.遼陽波動大

C.本溪、遼陽波動一樣

D.無法比較

【解析】能反映氣溫波動情況的數據是極差和方差。因此，這里我們的常規解法是分別計算兩組數據的方差進行比較即可判斷，但這種方法耗時耗力。如果用統計圖來觀察兩地氣溫的波動情況，不難看出，將虛線向上平移，會和實線重合，也就表明了兩地氣溫的波動是一樣的。故選C。

例4在市運動會射擊比賽選拔賽中，某校射擊隊甲、乙、丙、丁四名隊員的10 次射擊成績如圖8 所示。他們的平均成績均是9.0環，若選一名射擊成績穩定的隊員參加比賽，最合適的人選是（ ）。

圖8

A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

【解析】解題的關鍵詞是“穩定”，即用方差來反映各組數據的離散程度，但直接通過計算來求4 個隊員成績的方差，運算量較大，不太合適。方差在統計圖上還反映每個點相對于平均數上下波動的幅度。那么，我們通過觀察4 幅統計圖，發現乙和丙的成績波動較大，甲和丁的成績波動較小。再將甲和丁兩個成績統計圖重合對比，又可感知丁的成績波動更小。故選D。

【點評】例3 和例4 都是考查數據的離散程度。通過計算方差來看數據的波動情況自然精確，但比較耗時；如果用統計圖來看數據的離散程度，特別是當波動情況明顯一致或差別較大時，往往能輕松得出結論。