一棵神奇的“樹”

文／劉 蕓

計(jì)算等可能條件下的概率是概率問(wèn)題中的重要內(nèi)容之一，而解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵在于是否能夠不重復(fù)、不遺漏地列舉出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，這個(gè)時(shí)候我們就需要這棵神奇的“樹”——樹狀圖的幫助了。

原題呈現(xiàn)（蘇科版數(shù)學(xué)教材九年級(jí)上冊(cè)第136 頁(yè)例4）一只不透明的袋子中裝有1個(gè)白球和2 個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出1 個(gè)球，記錄顏色后放回、攪勻，再?gòu)闹腥我饷? 個(gè)球。求兩次都摸到紅球的概率。

【解析】要用這棵神奇的“樹”解決概率問(wèn)題。首先，給紅球編號(hào)：紅1，紅2。然后，模擬試驗(yàn)過(guò)程，共兩步：1.第一次摸球，可能出現(xiàn)3種結(jié)果；2.第二次摸球，可能出現(xiàn)3 種結(jié)果。最后，用這棵神奇的“樹”列出所有等可能的情形：

由上圖可知，共有9 種等可能的結(jié)果，“兩次都摸到紅球”記為事件A，它的發(fā)生有4種結(jié)果，所以

【點(diǎn)評(píng)】樹狀圖的優(yōu)勢(shì)在于能夠清晰完整地把整個(gè)試驗(yàn)的過(guò)程展示出來(lái)。借助樹狀圖列舉所有可能出現(xiàn)的結(jié)果時(shí)，我們只有在頭腦中模擬好試驗(yàn)的步驟，以及每一個(gè)步驟可能出現(xiàn)的結(jié)果，然后把它們填入這棵“樹”的“枝丫”之上，才能構(gòu)造出一棵完美的“樹”。有了它，一切問(wèn)題都能迎刃而解。

【拓展1】（2021·江蘇常州）在3張相同的小紙條上，分別寫上條件：①四邊形ABCD是菱形；②四邊形ABCD有一個(gè)內(nèi)角是直角；③四邊形ABCD的對(duì)角線相等。將這3張小紙條做成3支簽，放在一個(gè)不透明的盒子中。

（1）攪勻后從中任意抽出1 支簽，抽到條件①的概率是________；

（2）攪勻后先從中任意抽出1 支簽（不放回），再?gòu)挠嘞碌?支簽中任意抽出1支簽。四邊形ABCD同時(shí)滿足抽到的2 張小紙條上的條件，求四邊形ABCD一定是正方形的概率。

【解析】（1）從中任意抽出1 支簽，可能出現(xiàn)①、②、③，共3 種結(jié)果，“抽到條件①”記為事件A，所以

（2）抽簽試驗(yàn)共分兩步：第一次抽簽時(shí)有3 支簽可抽，可能出現(xiàn)3 種結(jié)果；第二次抽簽時(shí)，由于第1 支簽不放回，所以只有2 支簽可抽，可能出現(xiàn)2 種結(jié)果。接下來(lái)，給神奇的“樹”填滿“枝丫”，所得樹狀圖如下：

由上圖可知，共有6 種等可能的結(jié)果，“同時(shí)滿足抽到的2 支簽上的條件，所得四邊形ABCD一定是正方形”記為事件B，四邊形是正方形必須同時(shí)滿足①②或①③兩個(gè)條件，它的發(fā)生有4種結(jié)果，所以

【點(diǎn)評(píng)】這道中考題是在教材例題的基礎(chǔ)上對(duì)于第一次摸球后是否放回進(jìn)行的拓展。如果是放回，則第二次摸球可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)和第一次摸球相同；如果是不放回，則第二次摸球可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)會(huì)比第一次摸球少1種，所以需要適當(dāng)修剪“枝丫”。

【拓展2】（2020·江蘇鎮(zhèn)江）智慧的中國(guó)古代先民發(fā)明了用抽象的符號(hào)來(lái)表達(dá)豐富的含義。例如，符號(hào)“”有剛毅的含義，符號(hào)“”有愉快的含義。符號(hào)中的“”表示“陰”，“ ”表示“陽(yáng)”，類似這樣自上而下排成的三行符號(hào)還有其他的含義。所有這些三行符號(hào)中，每一行只有一個(gè)陰或一個(gè)陽(yáng)，且出現(xiàn)陰、陽(yáng)的可能性相同。

（1）所有這些三行符號(hào)共有________種；

（2）若隨機(jī)畫一個(gè)這樣的三行符號(hào)，求“畫出含有一個(gè)陰和兩個(gè)陽(yáng)的三行符號(hào)”的概率。

【解析】（1）相比于摸球和抽簽，這個(gè)試驗(yàn)沒(méi)有很明顯的試驗(yàn)步驟。我們?cè)诮忸}時(shí)可以模擬畫符號(hào)的過(guò)程，將這個(gè)試驗(yàn)分為畫第一行、畫第二行和畫第三行三步，每一步都可能出現(xiàn)陰、陽(yáng)2 種結(jié)果，然后只需要讓我們的“樹”再努力生長(zhǎng)一次就可以了：

由上圖可知，共有8種等可能的結(jié)果。

（2）“畫出含有一個(gè)陰和兩個(gè)陽(yáng)的三行符號(hào)”記為事件A，它的發(fā)生有3種結(jié)果，所以

【拓展3】（2021·江蘇徐州）如圖1，一個(gè)豎直放置的釘板，其中，黑色圓面表示釘板上的釘子，A1、B1、B2……D3、D4分別表示相鄰兩顆釘子之間的空隙，這些空隙大小均相等。從入口A1處投放一個(gè)直徑略小于兩顆釘子之間空隙的圓球，圓球下落過(guò)程中，總是碰到空隙正下方的釘子，且沿該釘子左右兩個(gè)相鄰空隙繼續(xù)下落的機(jī)會(huì)相等，直至圓球落入下面的某個(gè)槽內(nèi)。用畫樹狀圖的方法，求圓球落入③號(hào)槽內(nèi)的概率。

圖1

【解析】在這個(gè)游戲中也沒(méi)有具體的試驗(yàn)步驟。我們?cè)诮忸}時(shí)可以直接以小球落入的層數(shù)來(lái)進(jìn)行步驟劃分，除了第一層，每一層都有可能出現(xiàn)2 種結(jié)果，據(jù)此可以得到如下一棵生長(zhǎng)的“大樹”：

由上圖可知，共有8 種等可能的結(jié)果，“圓球落入③號(hào)槽內(nèi)”記為事件A，它的發(fā)生有3種結(jié)果，所以

【點(diǎn)評(píng)】鎮(zhèn)江和徐州的這兩道中考題是將教材例題的兩步試驗(yàn)增加到三步試驗(yàn)，而且不像摸球和抽簽試驗(yàn)?zāi)菢佑休^為明顯的步驟區(qū)分。我們?cè)诮忸}時(shí)可以根據(jù)結(jié)果的形成過(guò)程進(jìn)行區(qū)分，在原有的兩層“枝丫”上進(jìn)行再次分裂生長(zhǎng)，形成更茁壯的“大樹”，讓問(wèn)題和結(jié)果一目了然。