“四能”培養(yǎng)與數(shù)學(xué)教學(xué)適切性探討
——以等寬曲線教學(xué)設(shè)計(jì)為例

劉學(xué)民 龍海芹

一、問(wèn)題提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱新課標(biāo)）把原來(lái)課標(biāo)的“五種能力”（空間想象、抽象概括、推理論證、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理）升級(jí)為“六個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”（數(shù)學(xué)抽象，邏輯推理，數(shù)學(xué)建模，直觀想象，數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)據(jù)分析），并提出“四基”（基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)）和“四能”（從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力）。其中“四基”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的載體，“四能”是發(fā)展六個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的抓手。孔凡哲教授在《“四能”及其培養(yǎng)》一文中，對(duì)“四能”進(jìn)行了詳細(xì)解釋。

“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力”是指學(xué)生在學(xué)習(xí)或探究中有困惑，并在顯而易見中發(fā)現(xiàn)“問(wèn)題”的能力，其核心是經(jīng)過(guò)多方面、多層次、多角度的數(shù)學(xué)思維，從看似無(wú)關(guān)的表面現(xiàn)象中找到空間形式或數(shù)量關(guān)系方面的某些矛盾或聯(lián)系。“提出問(wèn)題的能力”是把找到的矛盾或聯(lián)系以數(shù)學(xué)問(wèn)題的形態(tài)，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，簡(jiǎn)稱“提出問(wèn)題”。“分析與解決問(wèn)題的能力”是指能理解問(wèn)題的陳述材料，綜合應(yīng)用所學(xué)內(nèi)容（包括數(shù)學(xué)的知識(shí)技能、思想方法、觀念意識(shí)等）解決相應(yīng)問(wèn)題的能力。這里的問(wèn)題不僅包括數(shù)學(xué)問(wèn)題，還包括相關(guān)學(xué)科和社會(huì)中的一些現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。發(fā)現(xiàn)與提出問(wèn)題的能力、分析與解決問(wèn)題的能力，即運(yùn)算能力、推理能力、直觀想象能力等多種數(shù)學(xué)基本能力的綜合體現(xiàn)。[1]

“四能”圍繞的核心是“問(wèn)題”，從發(fā)現(xiàn)問(wèn)題到提出問(wèn)題再到分析解決問(wèn)題，步步推進(jìn)，層層升華。知識(shí)為能力提供基礎(chǔ)和支撐，能力是知識(shí)的反思、感悟、內(nèi)化，能力的孵化和迭代升級(jí)即核心素養(yǎng)，它在知識(shí)與素養(yǎng)兩個(gè)層面間起到承上啟下、內(nèi)化于心的作用。

培養(yǎng)學(xué)生的“四能”，對(duì)提升核心素養(yǎng)，全面落實(shí)課程目標(biāo)起著舉足輕重的作用。本研究探討在教學(xué)中怎樣做到有針對(duì)性地培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的能力，以及分析和解決相關(guān)學(xué)科及社會(huì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的能力，提升數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)與“四能”培養(yǎng)的適切性。

二、基于“四能”的教學(xué)活動(dòng)及研究中存在的問(wèn)題

（一）對(duì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題重視不足

一是表現(xiàn)在教材上。課程標(biāo)準(zhǔn)提出“四能”，提倡在課程和教學(xué)過(guò)程中設(shè)計(jì)更多問(wèn)題，并為學(xué)生問(wèn)題的提出創(chuàng)造情境的能力，而2020年新修訂的教材中，包括北師大版、人教版、蘇教版、湘教版，增強(qiáng)了趣味性、情境性、實(shí)踐性、與信息技術(shù)結(jié)合性，但鮮有創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生提出問(wèn)題的教學(xué)活動(dòng)和教學(xué)任務(wù)。二是表現(xiàn)在教學(xué)設(shè)計(jì)上。核心素養(yǎng)的提出使更多教師重視培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力，他們采用建構(gòu)式教學(xué)法，或問(wèn)題驅(qū)動(dòng)法開展教學(xué)，盡可能調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，培養(yǎng)其數(shù)學(xué)思維能力。但美中不足的是，問(wèn)題都由教師提出并解釋，很少讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)、提出。目前只有極個(gè)別學(xué)校，如江蘇洋思中學(xué)，實(shí)施“先學(xué)后教”，讓學(xué)生學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，形成問(wèn)題意識(shí)，帶著問(wèn)題進(jìn)課堂。

（二）相關(guān)研究不足

目前國(guó)內(nèi)針對(duì)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的研究成果非常豐富，但針對(duì)“四能”培養(yǎng)的研究相對(duì)較少，2021年6月27日，知網(wǎng)上以“四能”為關(guān)鍵詞進(jìn)行檢索，相關(guān)論文144篇，學(xué)位論文17篇。以“四能”為主題的論文數(shù)為0，以“核心素養(yǎng)”為主題的論文則有9409篇，可見“四能”培養(yǎng)還未得到廣大教育工作者的重視。

（三）相關(guān)教學(xué)理念教學(xué)思想探索不足

目前國(guó)內(nèi)教學(xué)理念探究的焦點(diǎn)集中在教師與學(xué)生誰(shuí)是教學(xué)活動(dòng)的主體，從“以師為本”與“以生為本”思想的交鋒發(fā)展為較為折中的“以生為本，以師為根”到“師生同為主體”及“一體兩面”等。這些教學(xué)理念越來(lái)越重視“四能”中分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，對(duì)前兩個(gè)能力的培養(yǎng)或者視而不見或者不夠重視。

三、提升“四能”與數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)適切性的策略

（一）改革教學(xué)方式

針對(duì)“四能”培養(yǎng)的教學(xué)方式，主要有問(wèn)題探究式、任務(wù)驅(qū)動(dòng)法、自主學(xué)習(xí)法等，雖然形式不一，但本質(zhì)都是基于核心素養(yǎng)，應(yīng)用建構(gòu)理論，提升學(xué)生“四能”。其教學(xué)過(guò)程為：聯(lián)系實(shí)際，情境引入→提出問(wèn)題，凝練問(wèn)題→引導(dǎo)分析，解決問(wèn)題→舉一反三，實(shí)踐應(yīng)用→課后反思，教學(xué)評(píng)價(jià)。

1.聯(lián)系實(shí)際，情境引入。其目的有三個(gè)：一是從學(xué)生熟悉、感興趣的事物入手，吸引他們的注意力，有利于其主動(dòng)探索；二是讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)源于生活，又應(yīng)用于生活；三是讓學(xué)生通過(guò)情境發(fā)現(xiàn)隱藏在生活實(shí)踐中的數(shù)量關(guān)系或幾何關(guān)系，引導(dǎo)其養(yǎng)成用數(shù)學(xué)眼光看待世界、用數(shù)學(xué)思維思考世界的習(xí)慣。

2.提出問(wèn)題，凝練問(wèn)題。引入情境后，多數(shù)教師會(huì)在接下來(lái)的教學(xué)活動(dòng)中對(duì)情境進(jìn)行分析，提出問(wèn)題，并引導(dǎo)學(xué)生思考解決。這種方式是由教師搶先提出問(wèn)題，學(xué)生只能被動(dòng)接受，失去主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的鍛煉機(jī)會(huì)，弱化了相關(guān)能力的培養(yǎng)。正確做法是：引入情境，教師鼓勵(lì)并要求學(xué)生針對(duì)情境提出問(wèn)題，且越多越好，越古怪越新奇越支持，把這些問(wèn)題匯總、歸納、升級(jí)，使其精準(zhǔn)化、數(shù)字化。布魯納認(rèn)為，“教學(xué)過(guò)程是一種提出問(wèn)題、解決問(wèn)題持續(xù)不斷的過(guò)程”。[2]更深層次的說(shuō)，提出問(wèn)題、凝練問(wèn)題也是推動(dòng)數(shù)學(xué)甚至科學(xué)發(fā)展的強(qiáng)大動(dòng)力，有時(shí)提出問(wèn)題甚至比解決問(wèn)題更為重要，解決問(wèn)題，或者是一個(gè)數(shù)學(xué)上、實(shí)驗(yàn)上的技能，或者是一個(gè)有具體目標(biāo)的探索研究，而能提出新的問(wèn)題，卻需要有創(chuàng)造性的想象力，而且標(biāo)志著科學(xué)的真正進(jìn)步。數(shù)學(xué)的發(fā)展，很大程度上都是由問(wèn)題的提出實(shí)現(xiàn)的，某些問(wèn)題的提出，能引發(fā)數(shù)學(xué)革命，造成科學(xué)界的大地震。例如，古希臘數(shù)學(xué)家希帕索斯提出邊長(zhǎng)為1的正方形，其對(duì)角線長(zhǎng)度是多少？這個(gè)問(wèn)題激起了西方數(shù)學(xué)史上一場(chǎng)大的風(fēng)波，史稱“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”，直至兩千多年后數(shù)學(xué)家們建立的實(shí)數(shù)理論才消除它。又如著名的哥尼斯堡七橋問(wèn)題的提出引發(fā)數(shù)學(xué)產(chǎn)生一門新的分支——圖論與幾何拓?fù)洹！八纳珕?wèn)題”的提出引發(fā)了人們對(duì)圖論問(wèn)題的研究，推動(dòng)了航空班機(jī)日程表、計(jì)算機(jī)的編碼程序有效設(shè)計(jì)的發(fā)展。

3.引導(dǎo)分析，解決問(wèn)題。教師以問(wèn)題為導(dǎo)向，引導(dǎo)學(xué)生抓住其本質(zhì)，確定解決思路，探討解決方案，促進(jìn)他們對(duì)知識(shí)的深度理解，提高其分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。很多教師只重視問(wèn)題是否得到解決，不重視引導(dǎo)學(xué)生多方法、多角度、多渠道思考問(wèn)題。應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生用多種方法解決問(wèn)題，提高他們思維的廣度和深度，提高其綜合應(yīng)用知識(shí)的能力。

4.舉一反三，實(shí)踐應(yīng)用。大型國(guó)際教育測(cè)量項(xiàng)目PISA 在測(cè)試核心素養(yǎng)時(shí)，將在現(xiàn)實(shí)情境中解決問(wèn)題的能力作為核心素養(yǎng)的重要參考指標(biāo)。國(guó)內(nèi)外學(xué)校關(guān)注到現(xiàn)實(shí)情境與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)系，認(rèn)為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要借助特定的情境潛移默化方能習(xí)得。[3]知識(shí)和能力只有應(yīng)用于實(shí)踐才能升華為核心素養(yǎng)，把從教師創(chuàng)設(shè)情境中學(xué)到的知識(shí)再應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)情境，才能真正發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)，“死記硬背”“紙上談兵”不是教育的最終目的，教學(xué)一定要重視知識(shí)的實(shí)踐應(yīng)用。

5.課后反思，教學(xué)評(píng)價(jià)。教學(xué)活動(dòng)結(jié)束后，教師應(yīng)就本次教學(xué)對(duì)學(xué)生進(jìn)行調(diào)查或測(cè)試，并采用數(shù)據(jù)分析軟件進(jìn)行精準(zhǔn)、細(xì)致分析，了解教學(xué)效果。專業(yè)數(shù)據(jù)分析軟件有SPASS、SAS、Clementine、R、Rapidminer等。也可采用Excel進(jìn)行分析，根據(jù)分析結(jié)果，大致了解教學(xué)效果。教學(xué)是否“有效”看學(xué)生，教學(xué)能否“有效”在教師，真實(shí)的課堂是基礎(chǔ)，是過(guò)程；有效的評(píng)價(jià)是目的，是結(jié)果。唯有反思和評(píng)價(jià)，才能促使教師不斷進(jìn)步。

（二）合理利用教學(xué)資源和課程材料

新版教材更重視“四能”培養(yǎng)，以《2019 新人教A 版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)》為例，舊版教材的教學(xué)內(nèi)容只設(shè)置了“思考”欄目，而新版教材增加了“觀察”“思考”“探究”“歸納”四個(gè)欄目。其中“觀察”欄目提供一些數(shù)、式、形方面的資料，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的關(guān)系；“思考”欄目列出容易混淆出錯(cuò)的概念讓學(xué)生甄別，或者提出的問(wèn)題是概念或定理的延伸，其目標(biāo)是讓學(xué)生抓住概念的本質(zhì)特點(diǎn)；“探究”欄目中提出的問(wèn)題更富難度、深度和廣度，這些問(wèn)題基本都是公式、定理的推廣和應(yīng)用；“歸納”欄目是總結(jié)和形成固化經(jīng)驗(yàn)。新版教材這四個(gè)欄目的增設(shè)體現(xiàn)了對(duì)“四能”培養(yǎng)的重視。

教師可以對(duì)現(xiàn)有的教學(xué)資源進(jìn)行二次開發(fā)，如對(duì)教材相關(guān)例題、習(xí)題進(jìn)行分析，通過(guò)刪除某些條件或結(jié)論，讓學(xué)生創(chuàng)建問(wèn)題，或者對(duì)一些問(wèn)題情境進(jìn)行提煉，讓他們針對(duì)情境提問(wèn)，這樣更能全面完整地培養(yǎng)“四能”。

四、教學(xué)案例

教學(xué)課題：等寬曲線

教學(xué)目標(biāo)：使學(xué)生掌握等寬曲線的概念、構(gòu)造方法及應(yīng)用。

（一）引出問(wèn)題，激發(fā)思考

師：馬路上和校園里有很多下水道的出入口，我們來(lái)看看這些下水道的蓋子，同學(xué)們能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律，想到什么問(wèn)題？

教師展示各種井蓋圖片

（圖片鏈接https://www.sohu.com/a/247352018_100130419）

生1：這些井蓋從形狀看都是圓形，為什么都是圓形？

師：這名同學(xué)看出了規(guī)律，問(wèn)題也提的非常好，請(qǐng)大家想想，為什么井蓋都是圓形的？

生2：制作簡(jiǎn)單方便，節(jié)約成本，便于運(yùn)輸、安裝。

生3：因?yàn)橄滤艿朗菆A形的。

生4：不對(duì)，蓋子如果做出正方形，制作也簡(jiǎn)單，成本也不高，而且有些下水管道只有出入口是圓形，里面卻是方形。

師（提示）：如果從安全角度來(lái)看，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)什么？

生5：圓形的蓋子不會(huì)掉進(jìn)井里，橢圓形、方形的蓋子都能掉進(jìn)井里。

生一致覺(jué)得這個(gè)理由很有說(shuō)服力。

師：為什么圓形蓋子不會(huì)掉下去，而正方形的、橢圓形的會(huì)掉下去？分組討論。

生6：圓形的直徑都相等，無(wú)論怎樣旋轉(zhuǎn)，蓋子都比下水道井口大，能卡住不會(huì)掉下去。而橢圓形短軸比長(zhǎng)軸短，正方形邊比對(duì)角線短，在某個(gè)角度都能掉下去。

師：生活中還有這方面的例子嗎？

生7：長(zhǎng)方體的餅干盒，開一個(gè)圓形口，蓋子是圓形的。

生8：茶杯和茶蓋。

教師指導(dǎo)學(xué)生分別使用關(guān)鍵詞“長(zhǎng)方形餅干盒”“茶具”在網(wǎng)上查找相關(guān)圖片。

【教學(xué)意圖】從生活中下水管道的井蓋出發(fā)，通過(guò)顏色和圖案不同的井蓋吸引學(xué)生注意力，引導(dǎo)他們觀察得出井蓋的共性——都是圓形，啟發(fā)其對(duì)觀察得到的共性提出問(wèn)題：為什么井蓋都是圓形，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和從數(shù)學(xué)角度提出問(wèn)題的能力。這是一個(gè)與生活相關(guān)的問(wèn)題，此類問(wèn)題并沒(méi)有一個(gè)絕對(duì)正確的回答，且影響問(wèn)題答案的因素很多，通過(guò)學(xué)生的分析、討論，得到最貼切、最讓人信服的答案。用這種方式培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，提高他們觀察問(wèn)題的全面性，看待問(wèn)題的多角度性。

（二）脫離事物，得出概念

師：如果不想讓蓋子掉下去，必須滿足什么條件？

生9：這個(gè)蓋子不管怎么旋轉(zhuǎn)寬度都一樣。

師：可以用更準(zhǔn)確的語(yǔ)言來(lái)描述嗎？

生10：這個(gè)蓋子圖形各個(gè)方向的寬度都相等。

師：圖形各個(gè)方向的寬度都相等是個(gè)非常準(zhǔn)確的判斷，數(shù)學(xué)把這樣的圖形叫等寬曲線。正三角形、正五邊行、正六邊形等正多邊形是等寬曲線嗎？

生回答不一，各執(zhí)一詞。

師：實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)，我們來(lái)驗(yàn)證，請(qǐng)同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)一個(gè)簡(jiǎn)單易行的驗(yàn)證方案。

生11：用紙片剪成正三角形的形狀，用兩個(gè)直尺平行夾住正三角形，轉(zhuǎn)動(dòng)它，如果兩個(gè)平行直尺之間的距離發(fā)生變化，說(shuō)明正三角形各個(gè)方向的寬度不一致。

為了節(jié)約課堂時(shí)間，教師事先準(zhǔn)備好正三角形、正四邊形、正五邊形硬紙片和兩把直尺，安排三組同學(xué)上講臺(tái)在黑板驗(yàn)證，兩名同學(xué)分別壓住兩把直尺平行夾住正多邊形，另一名同學(xué)旋轉(zhuǎn)正多邊形，其他同學(xué)觀察兩把直尺之間的距離有無(wú)變化。

通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)正三角形、正四邊形、正五邊形都不是等寬曲線。

【教學(xué)意圖】從井蓋不會(huì)掉下去這個(gè)現(xiàn)象得出等寬曲線的概念，把發(fā)現(xiàn)的結(jié)論用數(shù)學(xué)語(yǔ)言或數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)出來(lái)，這個(gè)脫離具體，抽象得出概念的過(guò)程是整個(gè)數(shù)學(xué)研究很重要的一環(huán)，它把實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題。這個(gè)抽象的過(guò)程須透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，學(xué)生要排除各種不相關(guān)的因素干擾，抓住事物的內(nèi)在特征和本質(zhì)，可以培養(yǎng)其思考力和判斷力。

（三）概念拓展，探尋規(guī)律

師：除了圓還有沒(méi)有其他等寬曲線？

學(xué)生思考討論。

師：已經(jīng)驗(yàn)證了正三角形不是等寬曲線，現(xiàn)在以它為基礎(chǔ)，稍作變化，得到一個(gè)完全不同的圖形。

教師利用數(shù)學(xué)作圖軟件，作出一個(gè)正三角形，再分別以此正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)為圓心，邊長(zhǎng)為半徑，作出過(guò)另外兩個(gè)頂點(diǎn)的劣弧，如圖1所示。

圖1

師：同學(xué)們見過(guò)這樣三段圓弧圍成的圖形嗎？

多數(shù)學(xué)生表示沒(méi)見過(guò)，有愛(ài)好音樂(lè)的同學(xué)說(shuō)：像吉他撥片；有個(gè)父母是裁縫的同學(xué)說(shuō)：像裁縫在衣服上劃線的彩色劃片。

教師指導(dǎo)學(xué)生搜索吉他撥片和彩色劃片的圖片并展示。

師：這些同學(xué)觀察很仔細(xì)。我們?cè)倏纯催@個(gè)圖形的寬度是不是都相等？

生12：我感覺(jué)都是相等的，從作圖中發(fā)現(xiàn)這個(gè)圖形的寬度等于此正三角形的邊長(zhǎng)。

師：實(shí)踐出真知，我們用這種方法做一個(gè)道具來(lái)測(cè)量各個(gè)方向的寬度。

教師拿出硬紙片，讓學(xué)生用直尺和圓規(guī)在硬紙片作出此圖形，并剪下它。用兩直尺平行夾住，再旋轉(zhuǎn)此圖片，發(fā)現(xiàn)無(wú)論怎么旋轉(zhuǎn)，此圖形的寬度相等，如圖2所示。

圖2

師：這個(gè)像三角形的圖形是除了圓之外我們發(fā)現(xiàn)的第一個(gè)等寬曲線，說(shuō)明等寬曲線不止圓一種。這個(gè)圖形是由德國(guó)機(jī)械工程專家勒洛(1829～1905)首先發(fā)現(xiàn)的，以他的名字命名叫勒洛三角形。

教師播放勒洛三角形滾動(dòng)視頻。

師：我們還可以通過(guò)另一種實(shí)踐驗(yàn)證。用這樣的勒洛三角形做了三個(gè)小輪胎，用一個(gè)小板在小輪胎滾動(dòng)，觀看滾動(dòng)的效果。

學(xué)生上臺(tái)驗(yàn)證，表示滾動(dòng)毫無(wú)障礙。

【教學(xué)意圖】通過(guò)尋找等寬曲線，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和作出勒洛三角形。但在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生目前的認(rèn)知是等寬曲線只局限于圓，他們自行發(fā)現(xiàn)勒洛三角形不太可能。因此，教師通過(guò)先作出勒洛三角形圖形，再讓學(xué)生思考此圖形的性質(zhì)和特點(diǎn)，并通過(guò)實(shí)踐進(jìn)行驗(yàn)證。這是一個(gè)理論上證明、實(shí)踐中驗(yàn)證的過(guò)程，在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的同時(shí)，還培養(yǎng)其嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度。

（四）習(xí)題講練，提升應(yīng)用

教師展示問(wèn)題：

如圖3，將一個(gè)“凸輪”放置于直角坐標(biāo)系x軸上方，其“底端”落在原點(diǎn)0處，一個(gè)頂點(diǎn)及中心M 在y軸正半軸上，它的外圍由以正三角形的頂點(diǎn)為圓心，邊長(zhǎng)為半徑的三段等弧組成，如圖3。

圖3

使“凸輪”沿x軸正向滾動(dòng)前進(jìn)，滾動(dòng)過(guò)程中“凸輪”每時(shí)每刻都有一個(gè)“最高點(diǎn)”，其中心也在不斷移動(dòng)位置，在“凸輪”滾動(dòng)一周的過(guò)程中，其“最高點(diǎn)”和“中心點(diǎn)”形成的圖形上、下放置，應(yīng)為哪幅圖？（2011年高考江西卷文科第10題）如圖4所示。

圖4

生13：“最高點(diǎn)”的軌跡應(yīng)是一條水平線，可排除B，D。再由中心M 的位置運(yùn)動(dòng)時(shí)會(huì)先變高，可排除C，所以選A。

師：這說(shuō)明勒洛三角形滾動(dòng)時(shí)，最高點(diǎn)雖然是水平的，但是中心點(diǎn)會(huì)上下起伏，這是它與圓的最大區(qū)別。

【教學(xué)意圖】通過(guò)高考試題，繼續(xù)深化對(duì)等寬曲線的探索，讓學(xué)生通過(guò)分析得到勒洛三角形滾動(dòng)時(shí)最高點(diǎn)和中心點(diǎn)的相應(yīng)軌跡，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

（五）繼續(xù)深鉆，挖掘共性

師：通過(guò)正三角形構(gòu)造等寬曲線，能不能采用類似方法構(gòu)造正五邊形等寬曲線？

學(xué)生分組討論，教師指導(dǎo)他們利用數(shù)學(xué)作圖，如圖5所示。

圖5

師：為什么這個(gè)圖形是等寬曲線？寬度是多少？

生14：從作圖過(guò)程可知，這個(gè)圖形不管怎樣旋轉(zhuǎn)，寬度都是正五邊形的對(duì)角線長(zhǎng)度。

師：在這個(gè)作圖過(guò)程中，同學(xué)們能想到什么問(wèn)題？

生15：可不可以按這樣的作圖方法，以各種正多邊形為基礎(chǔ)，作相應(yīng)的等寬曲線？

師：這個(gè)同學(xué)提得很好，我們來(lái)作以正四邊形、正六邊形、正七邊形、正八邊形、正九邊形為基礎(chǔ)的等寬曲線。

教師出示相關(guān)正多邊形，學(xué)生分組討論。

學(xué)生均表示，很容易作出以正七邊形、正九邊形為基礎(chǔ)的等寬曲線，但不能作出以正四邊形、正六邊形、正八邊形為基礎(chǔ)的等寬曲線。

師：數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明，如果是奇數(shù)邊的正多邊形，很容易作出相關(guān)的等寬曲線；如果是偶數(shù)邊的正多邊形，不能作出相關(guān)的等寬曲線。如果同學(xué)們有興趣，可以課后去查找相關(guān)資料。

【教學(xué)意圖】引導(dǎo)學(xué)生由勒洛三角形的作法提出問(wèn)題，進(jìn)而推廣所有以奇數(shù)邊正多邊形為基礎(chǔ)等寬曲線的作法，驗(yàn)證無(wú)法完成以偶數(shù)邊正多邊形為基礎(chǔ)作等寬曲線。學(xué)生通過(guò)總結(jié)、歸納、推廣、驗(yàn)證或證明等系列活動(dòng)，提升追本溯源、舉一反三的能力，同時(shí)提升實(shí)踐操作能力。

（六）理論指導(dǎo)，回歸實(shí)踐

師：同學(xué)們看到這些等寬圖形，覺(jué)得這個(gè)圖形有些什么用途？

生15：這種圖形是否也可以用來(lái)做車輪？如果自行車的車輪是這個(gè)形狀，是不是特別顯眼拉風(fēng)？

師：估計(jì)很多人都這樣想過(guò)，既然這個(gè)圖形能滾動(dòng)，能不能做車輪？還真有人這樣做過(guò)（展示用勒洛三角形作車輪的自行車圖片）。

師：這樣的自行車獨(dú)樹一幟，很有特色，我們?cè)谏钪兴坪鯖](méi)有見到，大家想想為什么這種自行車沒(méi)有推廣？

生16：勒洛三角形的旋轉(zhuǎn)中心高度不固定，上下波動(dòng)，車會(huì)處于顛簸狀態(tài)。

師：分析很正確。如果采用這種輪子，要加上很多的防震裝置，否則會(huì)有在月球騎車的感覺(jué)。

教師播放視頻（視頻鏈接https://haokan. baidu. com/v? vid=2759120784574280672&pd=bjh&fr=bjhauthor&type=video）

師：等寬曲線在生活中還有很多用途（展示相關(guān)圖片）。例如，美國(guó)加州舊金山的一些窨井蓋就是勒洛三角形，英國(guó)二十便士的硬幣形狀是一個(gè)以正七邊形為基礎(chǔ)構(gòu)建的等寬曲線。工業(yè)上，等寬曲線也有獨(dú)特的應(yīng)用，如馬自達(dá)公司利用勒洛三角形狀的鉆頭可鉆出近似正方形孔的原理，制作功能強(qiáng)大的汽車轉(zhuǎn)子發(fā)動(dòng)機(jī)。

【教學(xué)意圖】理論聯(lián)系實(shí)際，既是我黨一貫堅(jiān)持的正確思想路線，也是基本的教學(xué)原則，更是能力升華為素養(yǎng)的必經(jīng)之路。通過(guò)等寬曲線在生活中的一些應(yīng)用，學(xué)生開拓了視野，掌握了知識(shí)，提升了“四能”，發(fā)展了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（七）課后延展，培養(yǎng)情操

師：我國(guó)當(dāng)代數(shù)學(xué)家華羅庚先生在一次對(duì)中學(xué)生的演講中，指著講臺(tái)上的茶杯問(wèn)大家：你們想過(guò)嗎，為什么茶杯蓋不會(huì)掉到茶杯里面去?講述的就是數(shù)學(xué)等寬曲線的原理。在數(shù)學(xué)家眼中，世界萬(wàn)事萬(wàn)物都蘊(yùn)涵著數(shù)學(xué)，他們有一雙敏銳的眼睛，善于從生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)，并從數(shù)學(xué)的角度觀察和解釋這個(gè)世界。華羅庚先生作為當(dāng)代自學(xué)成才的科學(xué)巨匠和譽(yù)滿中外的著名數(shù)學(xué)家，一生致力于數(shù)學(xué)的研究和發(fā)展，并以科學(xué)家的博大胸懷提攜后進(jìn)和培養(yǎng)人才，以高度的歷史責(zé)任感投身科普和應(yīng)用數(shù)學(xué)的推廣，為數(shù)學(xué)科學(xué)事業(yè)的發(fā)展作出了重大貢獻(xiàn)，為祖國(guó)現(xiàn)代化建設(shè)付出了畢生精力。他非常重視青少年數(shù)學(xué)教育，發(fā)表多部適合其閱讀的生動(dòng)有趣的數(shù)學(xué)科普著作。例如，《數(shù)學(xué)的培養(yǎng)聰明在于勤奮天才在于積累數(shù)學(xué)大師華羅庚談怎樣學(xué)好數(shù)學(xué)》《從孫子的神奇妙算談起數(shù)學(xué)大師華羅庚獻(xiàn)給中學(xué)生的禮物》《中國(guó)大百科全書——數(shù)學(xué)》《華羅庚：下棋找高手》《從楊輝三角談起》《從祖沖之的圓周率談起》《從孫子的“神奇妙算”談起》等，希望同學(xué)們都能讀一讀，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)世界是多么奇妙和有趣。同學(xué)們也會(huì)對(duì)華羅庚先生有更深的了解，也會(huì)感受到，相比于那些演員明星，華羅庚先生才是真正值得我們?nèi)コ绨萑ゾ囱鋈W(xué)習(xí)的榜樣和明星。

【教學(xué)意圖】情感是教學(xué)的三大目標(biāo)之一，通過(guò)華羅庚的故事，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)家華羅庚致力于青少年數(shù)學(xué)教育的情懷，感受他的人格魅力。培養(yǎng)學(xué)生正確的人生觀、價(jià)值觀和世界觀。

五、教學(xué)反思及學(xué)生反饋

該教學(xué)案例側(cè)重于“四能”培養(yǎng)，教學(xué)流程基于建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論，牢牢把握“情境”“協(xié)作”“會(huì)話”“意義建構(gòu)”四個(gè)要素精心設(shè)計(jì)。創(chuàng)設(shè)情境引導(dǎo)學(xué)生提出問(wèn)題，分析問(wèn)題，解決問(wèn)題，通過(guò)構(gòu)建模型，重組學(xué)生知識(shí)體系，使其在獲得知識(shí)的同時(shí)，“四能”得到很好培養(yǎng)，通過(guò)實(shí)踐應(yīng)用，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

課后對(duì)學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，其主要內(nèi)容有：一是對(duì)本次教學(xué)涉及的知識(shí)是否掌握理解。反饋結(jié)果是100%的學(xué)生表示理解等寬曲線的含義，85%的學(xué)生能說(shuō)出奇數(shù)正多邊形構(gòu)建對(duì)應(yīng)等寬曲線的方法。二是對(duì)教學(xué)方式的看法。96%的學(xué)生表示非常贊同這種教學(xué)方式，4%的學(xué)生表示贊同。三是提出教學(xué)建議。有些學(xué)生提出內(nèi)容比較緊湊，希望教師能給更多的思考時(shí)間。四是對(duì)于“四能”，自我感覺(jué)提升最大的是哪個(gè)能力？反饋中，31%的學(xué)生表示是從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力，23%的學(xué)生認(rèn)為是提出問(wèn)題的能力，29%的學(xué)生認(rèn)為是分析問(wèn)題的能力，17%的學(xué)生認(rèn)為是解決問(wèn)題的能力。

從調(diào)查結(jié)果看出，學(xué)生對(duì)本次教學(xué)持肯定態(tài)度，數(shù)學(xué)內(nèi)容基本都能掌握，能力也得到一定提升。當(dāng)然能力的培養(yǎng)不是一朝一夕，不能一蹴而就，需要教師長(zhǎng)期不懈的努力和堅(jiān)持。

六、“四能”培養(yǎng)需注意的兩個(gè)問(wèn)題

（一）不拘泥教材

“四能”不僅體現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上，更在生活實(shí)踐中。建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為：教師應(yīng)注重在實(shí)際情境中進(jìn)行教學(xué)。開發(fā)圍繞現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的學(xué)習(xí)活動(dòng)，注重讓學(xué)生解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，盡可能將學(xué)習(xí)者嵌入與現(xiàn)實(shí)相關(guān)的情境中，這樣更利于促進(jìn)學(xué)生積極主動(dòng)建構(gòu)關(guān)于知識(shí)、社會(huì)、自然的意義。教師在教學(xué)活動(dòng)中，要根據(jù)生活實(shí)踐構(gòu)建情境，引發(fā)學(xué)生思考探索。例如，某日，本地有三家商場(chǎng)推出優(yōu)惠活動(dòng)，甲商場(chǎng)打出“全場(chǎng)五折”廣告，乙商場(chǎng)打出“買二贈(zèng)一”廣告，丙商場(chǎng)打出“買一百送五十”廣告。以此為話題設(shè)問(wèn)：遇到這種情況，你們會(huì)想到哪些問(wèn)題？學(xué)生說(shuō)，第一反應(yīng)就是哪家優(yōu)惠力度最大？教師進(jìn)而讓學(xué)生把此問(wèn)題數(shù)學(xué)化，將其提煉為：這三家商場(chǎng)的折扣分別是多少？學(xué)生對(duì)此問(wèn)題表現(xiàn)出極大興趣，紛紛進(jìn)行分析和計(jì)算。“四能”在生活實(shí)踐中得到體現(xiàn)，升華為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（二）不拘泥形式

“四能”培養(yǎng)不是一定要采用信息技術(shù)設(shè)置情境，有時(shí)隨處可見的小物件、小道具也能成為得力助手。例如，某次課，講臺(tái)上有一些A3、A4 紙。筆者突然想到紙張長(zhǎng)寬比的“白銀”比例，判斷學(xué)生可能分不清“黃金比例”與“白銀比例”，便先放下教材，拿起A3、A4 紙說(shuō)：這里有兩張紙，一張是A3 型號(hào)紙，一張是A4型號(hào)紙，請(qǐng)同學(xué)們觀察這兩張紙，說(shuō)出發(fā)現(xiàn)的特點(diǎn)和想到的問(wèn)題。一個(gè)學(xué)生回答：A3 紙面積是A4 紙的兩倍，能想到這些紙的長(zhǎng)寬分別是多少毫米，長(zhǎng)寬比又是多少？隨即很多同學(xué)回答：長(zhǎng)寬比是黃金比例。教師追問(wèn)：你們驗(yàn)證過(guò)嗎？同學(xué)們紛紛搖頭，讓他們量出A3，A4 紙張的長(zhǎng)寬，計(jì)算比例。得到A4 紙尺寸是210mm×297mm，A3 紙張尺寸為297mm×420mm，長(zhǎng)寬比約為1.414:1。筆者說(shuō)：生活中很多比例并不是我們想象中的黃金比例，同學(xué)們從小到大受到黃金比例的很多誤導(dǎo)，任何事情必須要親自求證，不能人云亦云。然后繼續(xù)引導(dǎo)，你們看到1.414能想到什么？他們紛紛說(shuō) 2。此時(shí)，很多學(xué)生自動(dòng)提出問(wèn)題：為什么長(zhǎng)寬比是 2:1，到底有什么好處？接著引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)折紙并計(jì)算，發(fā)現(xiàn)這樣的紙把長(zhǎng)邊對(duì)折后，得到的新長(zhǎng)方形長(zhǎng)寬比不變。由此得出結(jié)論：這種比例的紙，對(duì)折后長(zhǎng)寬比例不變，裁剪不會(huì)浪費(fèi)紙張。教師告訴學(xué)生，這個(gè)比例叫白銀比例，在生活中應(yīng)用也非常廣泛。這次教學(xué)活動(dòng)，筆者無(wú)心插柳，沒(méi)有精心準(zhǔn)備，只是偶然想到引導(dǎo)學(xué)生探討。整個(gè)教學(xué)活動(dòng)，教師所說(shuō)所作甚少，大部分時(shí)間是學(xué)生自己提出問(wèn)題，自己探索答案，既增長(zhǎng)了知識(shí)，又提升了能力，培養(yǎng)了善于觀察、敢于提問(wèn)、勤于探索的優(yōu)秀品質(zhì)。這次教學(xué)活動(dòng)給學(xué)生留下深刻印象，幾乎全班同學(xué)都積極參與探討，得出結(jié)論后，很多同學(xué)露出了會(huì)心滿意的笑容。

發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)是我國(guó)新一輪深化課程改革的主要方向，也是教學(xué)的宗旨和目標(biāo)，但很多教師感到迷茫，不知道如何去落實(shí)。筆者以“四基”為載體、“四能”培養(yǎng)為教學(xué)主要目標(biāo)，把“四能”與社會(huì)實(shí)踐和現(xiàn)實(shí)情境相結(jié)合，學(xué)生的核心素養(yǎng)會(huì)自然得到發(fā)展。引導(dǎo)學(xué)生勤于思考，積極探索，養(yǎng)成多問(wèn)幾個(gè)“為什么”的好習(xí)慣。教師要提升自己的教學(xué)水平和理論水平，做好引路人，精心設(shè)計(jì)每一堂課，發(fā)揮學(xué)生主體作用，激發(fā)其感悟數(shù)學(xué)的思想，內(nèi)化為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。