數學啟蒙教育的偏與正：基于和人教育理論的思考

李方紅

“學好數理化，走遍天下都不怕”的說法對數學的價值雖有夸大，但在培養學生抽象概括、邏輯推理、模型建構、系統思維、質疑批判、實踐創新等方面有著不可替代的作用。針對各級招生評價指標的導向和對數學啟蒙教育的過度重視與不當方法，有必要深度剖析，診斷是非，厘清數學啟蒙教育的正途。

一、數學啟蒙教育之“偏”

（一）玩游戲培養興趣

很多家長深知興趣對孩子成長的重要性，積木、拼圖、數獨、魔方、九連環、華容道……成了孩子數學啟蒙的工具。這些操作性與思維性結合的游戲對培養孩子的協調性、專注力、記憶力、推理能力等大有裨益，但認為孩子玩好這些游戲就是數學啟蒙則有失偏頗。數學教育有培養人力、傳承文化、服務生活的三重價值，[1]僅靠玩游戲培養學習力的做法，缺乏習慣引導、方法啟迪、精神涵養、性格潤育等，難以落實立德樹人的根本任務，也不能全面培養學生的數學素養。

（二）自然式放養

少數家長認為最好的教育就是基于自然主義的“放養教育”，孩子入學前，只要吃好、玩好、睡好、身體好就行。這樣可能會錯過孩子數感培養的關鍵期（3歲左右），[2]失掉為孩子后續正式學習打基礎的機會。自然主義并非不管不問、不導不引、不育不潤，而是指遵循兒童身心成長的自然規律。

（三）興趣班越早越好

很多家長擔心孩子輸在起跑線，在沒有厘清培養思路時，病急亂投醫，跟著大眾走，把孩子交給各種培訓機構。社會上多數興趣班都是超前或超綱學習，且僅教知識，忽略學習方法、習慣的培養，漠視精神和興趣情感的熏陶，抹殺孩子的好奇心與求知欲。

（四）數學啟蒙就是教計算

很多家長認為孩子會20以內加減運算，數學啟蒙教育就做好了。數學是研究數量關系與空間形式的學科，運算僅是其中一部分，運算的前置知識應是數和數量的關系，單純教計算，忽視前置知識基礎的孕育和計算的生長根基，無異于揠苗助長。

玩游戲、自然放養、早上興趣班、只教計算等走進了以偏概全、不明規律、揠苗助長、流于表面的誤區，其本質是家長對教育教學規律和數學啟蒙基本方法的不明就里，所以亟待糾偏歸正。

二、和人教育理念下的數學啟蒙教育解構

和人教育的核心理念是“和乎人性，和而不同，和美生活”，[3]強調一切教育教學活動都需遵循人成長的規律而展開，做到因材施教、因地制宜、因人而異、因時而變，將統一性與差異性、集體性與個性化有機整合，讓每個學生都成為最優秀的自己，享受和美的幸福生活。這需要教育做到由表及里的追問與把捉，做到由此及彼的統一，擁有由近及遠的全局設計與終身發展的長遠視野。

學科育人價值不僅傳承文化，也要培養人力與服務生活，溝通數學與生活的聯系，讓學生體悟數學的應用價值，真正激發其學習內驅力。學科育人科學規律、兒童身心發展規律、學生人力培養規律、數學學科發展規律構成了數學啟蒙教育的理論根基。基于四大規律展開的教育設計與實施是啟蒙教育的基本原則，學科育人要回應人力培養、文化傳承、服務生活的綜合育人價值；身心發展規律是回答孩子身心發展的特點，啟蒙教育的方式方法呈現的是采取怎樣的策略與措施問題；人力培養規律回應怎樣讓學生從學會到想學、會學、學好的學習生發性問題，即怎樣才能學好數學，數學學習需要哪方面的關鍵能力與核心品格。如果把學科發展比作菜肴，學習機制就是做菜的基本功與方法，學科發展規律厘清了數學學科最核心的內容、它們之間的關系，又如何在啟蒙教育階段予以適切滲透等問題。

學科育人是價值論探討，身心發展是啟蒙教育的實踐觀依據，促進學生養成良好的學習習慣，有序學習，實現兒童更好成長（單位時間內更好地成長）；人力培養是學習的方法論闡釋；學科發展是學科成長的本體論解讀。四者相互生成，相互促進，共同為學生更好成長奠基。

從和人教育理論視野切入，基于數學啟蒙教育現實問題與歸正方向分析，數學啟蒙教育的總體歸正涉及以下四個方面。見圖1。

圖1 數學啟蒙教育的偏與正

三、數學啟蒙教育之“正”

（一）價值論：助力學生和美生活

數學啟蒙應從關注外顯結果的“偏”走向由外向內，由表及里的生發性、根基性、內隱性的啟蒙“正”途，應從外在驅動的興趣培養走向關注內在生發的需求。讓學生感受數學的廣泛應用，感受其價值，激發探究數學的本源初心，讓學習變得真實而有趣。

數學的價值體現在趣、美、用三方面。[5]啟蒙階段，要讓幼兒走出家門、走出紙筆世界、走出社區、走進生活、走進社會，去感受數學的廣泛存在，體悟數學無處不在，隨處可用。基于幼兒的認知能力與身心特點進行浸潤式啟發，基于浸入性、泛在性、啟發性、探索性等教育原則，即不刻意出示與營造，不講授解說，讓孩子去感受、體驗、探索、體悟。例如，1 歲時，父母把孩子帶到兒童樂園，他看到很多花、很多人……回到家，對比身邊人，爸媽可嘗試與孩子一起對話，今天兒童樂園人真多，家里人真少。在孩子充分感受后，家長可進行大小比較關系的啟蒙，是數學學科價值的原始啟蒙。

（二）實踐觀：實現兒童更好成長

孩子產生原始探究欲后，接下來應在浸潤基礎上積極引導，使其養成有序學習、科學學習的良好行為習慣。從行為主義分析，學習即行為程式的不斷優化，包括各器官的協調參與，看、聽、思、做、說等行為的參與，不斷完善生理器官的機能，累積更優的行為程式，實現自身成長。從認知建構主義探析，學習是“情境-內化-順應-平衡-外化”的認知建構過程，關注情境的表象依附，強調新舊認知的聯系，注重讓學生不斷表達輸出等。從社會學視野檢視，學習包含系列社會化過程，教育學領域建立目標-課程-學習-評價-研究的系統學習結構。金字塔及艾賓浩斯遺忘曲線等理論，指出復述表達、實踐、復習總結等習慣有利于學習效率與質量的提升。

基于以上理論，讓幼兒建立縱向有序、橫向有質的優質學習行為程式，預、學、結、練、用、創、展、評八環學習習慣就是對此的回應。[6]八環是學習過程的完整生態描述，是學生多種器官的協同參與，更切合高質學習的基本程式。預，即學習的驅動、計劃、準備；學，即通過多元路徑、多種方式、多樣形式展開，如自主與合作、課內與課外、發現與接受、意義與無意義、正式與非正式、線上與線下、主題與隨性學習等；結，即及時總結與梳理、自省與復述、實現過渡學習、建立系統認知網絡；用，即及時以用致學、以學致用、在做中學、在做中提升；創，即實踐研究與創新探索；展，即多參加各種展示自己的活動，在活動中交流互生，在活動中歷練成長。評，即最后的成長反饋與未來發展預見與建議咨詢。八環融合了一切做事行為的基本程式和良好習慣，即“預-規劃，學-思考，用-實踐與持恒，篤行與超越，結-總結”，八環也關注了對學生計劃、執行、堅持與反思習慣的培養。

例如，幼兒3 歲左右，可與他們一起制作一本充滿童趣的學習冊，用來記錄其學到的知識與解決問題的方法，記錄他們數學學習的一些快樂瞬間，累積積極情感。[7]還可以在家里開一個我來講數學的小型宣講會，各個成員每周分享自己的學習收獲，與孩子一起制定詳細的獎勵制度，可采取代幣制鼓勵孩子的點滴發現與進步。

（三）方法論：優化學生生長基因

學生在有序學習的基礎上，應追求高質量學習，這需要把握數學的規律，為學生植入數學學習的優質基因。基于規律，探明“原點”與“根基”，播下良好的學習種子，這個種子就是數學學科發展，數學學習背后的科學精神、研究方法、數學思想（普適性的思考方法）、學習方法、解題方法等。掌握科學研究方法，如實驗法，用“猜想、實驗、結論、驗證、應用”可以探索很多數學規律，建立數學模型。小學階段，常見的研究方法包括調查、實驗、文獻、個案、實踐等。有求真創新的精神，便有探索的韌勁。

數學思想是建構新知、問題解決、做題解題、生活實踐等的普適性思考方法，是對思考行為與方法的高度概括。如，轉化的思想，即把未知轉化成已知，通過已知解決未知，這個思考方法在學習平行四邊形面積、人類解決能源不足問題、對百分數的理解上都能用到。例如，今年收入比去年提高10%，即去年收入與今年收入的比是10：11，把百分數轉化成比。小學數學思想依據思想產生根源與適用范疇分成三類，本質性思想、認識論思想、數學內容板塊具化的方法論思想。模型思想、符號化思想屬于本質性數學思想；認知論有操作、數形結合、推理、轉化與化歸、代數、變換、整體、類比、分類討論、枚舉、假設、極限、優化、演繹推理等數學思想；函數、方程、集合、周期、概率統計等是各板塊具化的方法論思想。

數學學習方法，指基于學科特性，基于學習本質規律，高質學習機制的系列學習方法。解題方法聚焦具體的解題程式，小學階段可按思維分層，看得見、推得出、想得明三類。操作、嘗試、畫圖、舉例、枚舉、代入、假設、感覺、生活經驗等讓數學解題更直觀、看得見的方法；推理、對比、排除、正反推、公式是等較為抽象的方法，通過對信息的深度解構深究數理本質的解題方法是最抽象的方法。

幼兒啟蒙教育時，家長要對方法論有系統的認識，但不可直接告知，要采取潤的方式讓孩子在具體的情境、學習中體悟。

（四）本體論：夯實數學發展基礎

數學啟蒙教育的載體與外化成果集中表現為對數學認知與知識結構的探究與掌握，是過程與結果的統一，即研究數學規律，學會相關知識，了解相關文化，體悟相關方法，學會相關應用等。數學啟蒙還能讓學生研究與掌握數學學科內容“原生性”的根基知識。

小學數學分成四大板塊，即數與代數、圖形與幾何、統計與概率、綜合與實踐。數與代數是基礎與前置知識，是數學啟蒙教育的核心內容，包括“數、代數式、數量關系、數的運算”四部分，小學階段將這些內容在每冊書中呈螺旋上升安排，即按“整數、分數、小數、代數、百分數、負數”有序遞升編排，數量關系按“大小比較關系、和的關系、差的關系、倍數關系、相除關系”有序呈現，數的運算按“加法、減法、乘法、除法、混合運算”漸進設計，且將其在每冊中分步呈現。運算是數量關系的符號表征（如3 與2 和的關系，合起來是多少，用加法符號及運算過程來表征）。其中數的認識要注意“基數與序數、數量與分率（百分數）、正數與負數、整數與分數小數、數與字母代數、有理數與無理數”等的關系與區別，只有理解數的含義，才能理解數量關系與數的運算。啟蒙階段，在學科知識內容、學科發展基礎方面，應重點關注幼兒的數感、數量關系與基本運算的表象建立，即理解數表示什么意思，關系與運算是什么意思，是怎么有序產生的。

幼兒階段重在啟蒙，不是習得系統的知識。實踐操作中，要注重潤化、表象、思考、表達，循序漸進、點到為止。數有兩種基本含義，一是基數，二是序數。基數表示數量多少，序數表示順序。序數是數量集合后的一種順序表示，如第一名，第二名，第三名。生活中數量多少與對應數字組成對應關系的建立就是最初的數感，數的觀念與表象建立的過程經歷情境——操作——替物——圖示——符號——抽象（概念）——應用的基本過程。

生活中有計數的需要，最初用石子一一對應計數，但不便捷，后來發展到結繩、記號或畫圈，最后發明了用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這10個數字表示對應的數量。10個阿拉伯數字就是一種符號抽象，再進一步到概念抽象。0～9 這10 個阿拉伯數字比作英語里的基本字母，到了10，這個數量異常關鍵，若繼續發明其他數字來表示無限的數量顯然太麻煩，這個發明的過程不要直接講解，讓孩子去探索、嘗試。或者與數學家達成共識，順勢引導；或者偏離，適時啟發。原來到了10，數學家發明了十位，即新的計數單位“十”。數位就像更高級別的座位一樣，數字0～9 坐在那里，升級了，就表示0 個10、2 個10 等。數位與計數單位之間的進率要通過形象的比喻，以及豐富的表象讓學生慢慢建立。數位比作座位，計數單位比作賦予這個座位的不同權力。國王坐在皇位上，可號令天下，臣子坐在對應座位，只能執行決定，出謀劃策等。個位是最低級的座位，上面的權力是數字幾就表示幾個1，十位比個位高一個級別，權力是數字幾就表示幾個10，且隨著個位上臣子的功績提升，若滿10，即10 個1，就向上十位進一，變成一到十位。這樣用10 就表示了10個，同樣的12表示1個10和2個1，表示12，依此類推。

“數字是數的組成基礎，包括0～9這10個數字；數位是數字的座位，計數單位是對應座位上數字的權力，個位上，表示幾個1，十位上，表示幾個10；下一數位上的數字若滿10，則升級到上一數位上用數字1表示。”即把“數位、計數單位、滿10 進1”這樣的一套十進位值制記數法轉化成學生可借助生活經驗聯系的形象化認知，依托不同的數及對應數量物體的反復感知，讓學生真正建立清晰的表征理解。

家長只需在生活中找各種數量（先認識10以內的量）的物體，讓孩子直觀感受量，再一一對應畫圈，用對應的數表示數量，讓其慢慢體會數可以表示多物的量，一物多量用多數表示。數量關系包括大小比較、和、差、乘、除等。這些關系的內容（結果）計算產生了數的運算。啟蒙一定要加強對四則運算及各運算表示含義的理解和體驗。通過操作、畫圖、符號、表達、應用，從形象到抽象漸進過度，從理解到計算慢慢衍生，從計算到解決問題逐步推進，從數學到生活適切融入，切不可急功近利，囫圇吞棗，拔苗助長。

1.加法運算。加法是求兩個數和的關系而誕生的一種運算。正確的引導方法是讓孩子經歷“合起來需要——合起來是多少的問題解決——合起來符號表示——加法含義”這樣形象到抽象漸進的過程。例如，今天媽媽買了3 個蘋果，奶奶又帶來5 個，一共多少個？孩子想的辦法一般是動手操作，把3 個蘋果和5 個蘋果合起來，數一數，媽媽可以追問，如果不合起來，你能解決嗎（最近發展區不斷激發孩子思維進階）？小朋友冥思苦想，通常會想到畫圈代替合起來。如果不畫圈呢？用數和符號來表示，3在這里表示3個蘋果，5表示5個蘋果，加號表示合起來，等號表示得多少，8表示結果，孩子在經歷這個過程建立豐富的表象后，便能將實際合起來的過程與加法算式符號抽象建立對應聯結。小學階段只有四則運算，解決問題難度的提升主要體現在三個方面：一是數的變化。六年級還會有加法運算的解決問題，變成了分數、小數之間的運算；二是多種運算的融合。表現為多步運算，習題設計中要利用“你想要的偏不給”的策略，需要先通過其他運算求中間條件。例如，一年級的一道解決問題：男生22人，女生20人，一共多少人。此題在三年級變化為男生22人，女生比男生少2人，班級一共多少人。求總數，先要知道女生人數，偏不給，那就先求女生人數。這樣由一步變成了兩步；三是情境的復雜性。一年級都是花草，六年級便是家國天下。

2.減法運算。減法是加法的逆運算，表示從總數中去掉一部分，求剩下多少。包括典型的去掉求剩下問題，求一個數比另一個數多（少）多少。例如，媽媽今天煮了10個湯圓，爸爸吃了4個，碗里剩下幾個。孩子通過動手操作、畫圖，用10表示總數，“-”表示去掉，4表示4個，“=”表示得，6表示剩下6個。減法算式僅是一種符號表征，讓學生知道“-”表示去掉，“=”表示得數是多少。學生開始只能通過“操作、畫圖、扳手指”等形象化的計算來理解運算，最后總結哪兩個數組合得10，并背誦湊10的數對。“一九一九好朋友，二八二八手拉手，三七三七一起走……”這是形象到抽象的思維升級過程，也是“操作——圖示——符號表征——理解符號含義——多法計算——口訣記憶”的過程，切不可拔苗助長，不經歷探索與表征理解，直接讓孩子背口訣。

3.乘法運算。乘法是幾個相同加數相加的簡便計算，即特殊加法的簡便計算。7×3=表示3 個7 的和是多少，7 個3 的和是多少。包括典型的求幾個幾的問題，以及求一個數的幾倍（實際上也是幾個幾），六年級是求一個數的幾分之幾。

4.除法運算。除法是乘法的逆運算。2×6=12 12÷2=（），人教版小學數學教材安排二年級上冊學習除法，12÷2=（）的生活原型是共有12 個蛋糕，平均分成2 份，求每份是多少？或12 個蛋糕，每2 個為1 份，能平均分成幾份？除法運算本質是表示平均分。兩種分法，一是平均分成幾份，求每份多少。二是每多少個為1份，能平均分成幾份。如何理解除法是乘法的逆運算，可以通過實物合與分的直觀例子來理解。如每盤5 個餃子，有3 盤，一共多少個？求3 個5，5×3=15（個）。反過來，一共有15 個，平均分成3 盤，每盤多少個？15÷3=5。（除法的計算基礎是乘法，即用積除以其中一個因數。）

綜上，四則運算之間的關系如圖2。

圖2 小學階段數學四則運算關系

5.四則混合運算。二年級開始四則混合運算，四年級學習運算定律。混合運算要注意“運算順序、運算定律、運算規范”。順序是基礎，定律是為了簡算，簡算是運用運算定律進行變式湊整。

數感與數的運算是小學數學四大板塊內容的根基石，也是數學認知結構與知識結構的原生點，是數學學科自身發展的邏輯基礎，也滲透著數學研究的方法論基本原理，是數學啟蒙教育的內容載體，數學啟蒙的外顯結果。

價值論基于立體育人的內驅力激發與行為發起，實踐觀基于幼兒身心特點的行為縱向組織，方法論基于學習機制與數學學科生發機制的行為橫向優化向高質學習，本體論基于學科發展的原生點而展開學習過程的認知載體與數學學習成長與否的外顯結果，是學好與成長的外顯指標。四者有序回應了想學、在學、會學、學好更好成長的深度學習問題，對應的價值論、實踐觀、方法論、本體論全生態地展露了數學學習的全生長鏈條。鏈接“趣美用價值體悟；八環有序學習習慣；精神、研究方法、數學思想、數學學法、解題方法等內隱學力；數感與數運算的原點認知結構”恰是數學學科自身發展與學生學習由內及外的生長態。數學啟蒙將真正實現以生活為情境，在有序行動中潤化精神、思想與方法，夯實人力基礎與學科發展基礎，助力學生更好成長。