基于教材內容的數學拓展課開發與實施

摘 要 基于教材內容的數學拓展課的開發重在對教材中拓展點的挖掘，可以通過梳理知識體系、凝練思想方法、引入數學文化、分析學生學情等方法挖掘拓展點。在實施數學拓展課教學時，可以借助教學主線將一個或幾個拓展點整合成一個有機的整體。常見的策略有：以“萌發—生長—豐盈”為教學主線，經歷知識的形成過程;以“心理認同—模仿內化—創造發展”為教學主線，經歷能力的提升過程;以“求真—求通—存異”為教學主線，經歷智慧的生長過程。

關? 鍵? 詞 數學拓展課 教材內容 知識體系 思想方法 數學文化

引用格式 王衛東.基于教材內容的數學拓展課開發與實施[J].教學與管理，2022（17）：40-43.

數學拓展課是學校或教師自主開發設計的一種以非教材例題為學習內容的教學課型，其教學資源來源寬泛、體量龐大、內容豐富，包括教材知識延伸、生活問題解決、數學實驗探究、數學文化介紹、數學游戲互動等。不同的知識領域，有著不同的教學定位，也有著不同的拓展需求[1]。由于受教學時間等因素的限制，某些知識內容、思想方法、數學文化等在教材中難以得到充分的延伸與拓展，這給數學拓展課的開發與實施提供了空間。數學拓展課是對現行教材的有效補充，但與教材不同的是，它既沒有現成的教學內容，也沒有成熟的教材體系，因此，在開展數學拓展課教學時，教師不但要解決“怎么教”的問題，還要解決“教什么”的問題，為此，教學內容的開發與實施便成為數學拓展課教學的兩個重要任務。下面以蘇教版《數學》六年級上冊“長方體與正方體”單元為例，談談基于教材內容的數學拓展課的開發方法與實施策略。

一、基于教材內容的數學拓展課的開發方法

數學拓展課重在拓展，拓展點是數學拓展課中重要的設計要素。基于教材內容的數學拓展課的開發重在對教材中拓展點的挖掘，常用的開發方法有以下幾種。

1.梳理知識體系，在教材留白處挖掘拓展點

結構化教學對知識學習具有重要作用，當知識以一種結構化的方式進行儲存時，便可以大大提高知識應用時的檢索效率。因此，我們需要在教材留白處尋求突破，幫助學生完善知識網絡，實現知識的結構化與體系化。

蘇教版小學數學教材在編寫教學內容“長方體與正方體的體積”時，以水為媒介廣泛運用了轉化思想，如在建構體積概念時，借助倒水的操作實驗，讓學生感悟到桃子體積的存在;在拓展體積意義時，通過對量杯的觀察實驗，引導學生發現馬鈴薯的體積就等于水上升部分的體積……學生由此積累了“等（體）積變化”經驗。然而，這里的經驗是狹隘的，因為上述素材都有一個共同之處——物體被完全浸沒在水里，而部分浸沒的現象卻沒有涉及，顯然這里的認知是不全面的，我們不妨以此為拓展點，從物體完全被浸沒延伸至物體部分被浸沒，帶領學生體驗不同狀態下“等（體）積變化”思想的巧妙運用，以此幫助他們拓展認知視野、完善知識結構。

2.凝練思想方法，在求同求通中挖掘拓展點

數學是理性的，其中蘊藏著至真至通的智慧[2]。教師要引導學生跳出繁雜事物的表象，在迷亂中逼近本質、在無序中尋找有序、在冗長中尋求簡潔，讓他們在轉化與通達間感悟數學的智慧，在探究與實踐中享受創造的樂趣。

探究表面積的計算方法是學習“長方體與正方體”的重要內容，蘇教版小學數學教材這樣編排：例4旨在探究長方體表面積的計算方法，“試一試”旨在探究特殊長方體（正方體）表面積的計算方法，練習二的“思考題”旨在探究不規則物體表面積的計算方法。三種物體，形狀不一樣，表面積的計算方法也不一樣，但這些計算方法之間存在相通之處：它們都可以從前面、右面、上面三個角度來計算不同面的面積，進而乘以2后得出表面積。可惜教材沒有將對此進行比較與勾連，因此，我們不妨以此為拓展點（如圖1），帶領學生探究不同計算方法之間的共同之處，在化繁為簡中感悟思想方法的融通與和諧。

3.引入數學文化，在溯本求源中挖掘拓展點

在數學課堂中，我們要重視數學文化的教育價值，在數學文化中溯本求源、生長智慧。

關于長方體（或正方體）體積的計算方法，蘇教版小學數學教材帶領學生重點探究的是“長方體的體積=長×寬×高”“正方體的體積=棱長×棱長×棱長”以及“長方體（或正方體）的體積=底面積×高”。然而體積的計算方法是多樣的，我們可以收集與體積測量有關的數學文化知識，并以此為拓展點引入不同的體積測量方法，如在天平的兩邊，在材質一樣的情況下，用1立方厘米的立方體“稱”出未知物體的體積（如圖2）。在思辨中聚焦方法本質、在轉化中發展創新精神。

4.重視學情分析，在盲區誤區中挖掘拓展點

學情是指與學生生活、學習相關的一切因素，包括學生的學習態度、學習基礎、學習習慣、學習能力、興趣愛好、家庭環境、年齡特點、心理特點等因素。在數學教學過程中重視學情分析，可以幫助教師及時地調整教學方向，有的放矢地查漏補缺，當然也可以適時地進行拓展延伸，從而引領學生走出學習的盲區與誤區。

在教學“長方體（或正方體）的展開圖”時，教師安排了這樣的前測問卷：“想一想，為什么要學習長方體（或正方體）的展開圖？”學生的反饋情況如下：回答“幫助我們更深刻地理解長方體和正方體”的學生占58.3%，回答“幫助我們學習表面積”的學生占31.3%，回答“不清楚”的學生占10.4%。由此可見，學生對“為什么學習展開圖”的認識較為狹隘，他們大都僅局限于知識技能的學習。針對以上的情況，教師跳出知識層面的局限，開發了這樣的拓展點：將展開圖的學習定位為一種研究方法的探究，把它與“拆”“切”“拼”等研究方法有機融合，帶領學生從立體到平面、從平面到立體，感悟研究事物方法的多樣性、研究角度的全面性、研究結果的深刻性。

二、基于教材內容的數學拓展課的實施策略

拓展點是數學拓展課中最為基礎的組成部分。在數學拓展課教學時，我們可以從一個或幾個拓展點出發，尋求它們之間的內在聯系，并借助教學主線將拓展點串成線，連成片，形成塊，進而整合成一個有機的整體。數學拓展課的實施離不開教學主線的提綱挈領。

1.以“萌發—生長—豐盈”為教學主線，經歷知識的形成過程

對學生來說，學習的過程就是認識新事物的過程。數學教學不是科學數學的重現，而是學科數學的再造，因此，在教學過程中，讓學生經歷知識的形成過程，學生的學習體驗才會更為深刻。在“長方體與正方體”的編排中，物體完全被浸沒在水中的情況較為常見，但對部分被浸沒在水中的情況卻鮮有涉及，可是在一些相關練習中卻常常遇到。面對這一情況，我們有必要以此為拓展點開展一些銜接鋪墊工作，意在豐富學生的認知、拓展學生的思維。

案例1：拓展課“兩個容器，哪個容積更大”

選擇題：甲、乙兩個容器都裝滿水，把兩個體積相同的鐵塊分別放入甲、乙兩個容器中。如果甲容器溢出的水比乙容器溢出的水多，那么甲、乙兩個容器，哪個容積大？（ ）

A.甲容器容積大;B.乙容器容積大;C.一樣大;D.無法確定。

面對此題，學生很疑惑：把兩個體積相同的鐵塊放入水中后，水上升部分的體積是一樣大的，溢出的水自然也應該是一樣多的，可為什么甲容器溢出的水會比乙容器溢出的水多呢？是不是題目出錯了？面對這些的矛盾，很多學生百思不得其解，他們無奈地選擇了D選項“無法確定”。但當教師出示示意圖（如圖3）之后，他們驚奇地發現鐵塊放入水中，居然可以有兩種不同的狀態：完全浸沒和部分浸沒，于是他們得出了新的結論——乙的容積較大。此時，新的認知正在悄然萌發。

借助核心問題“在甲容器比乙容器溢出的水多的前提下，甲、乙兩個容器的容積大小還有其他可能嗎？”學生展開新的思考。得益于前面的啟發，學生沖破了原有認知的束縛，知識在生長、經驗在生長、思維在生長。接著，學生討論、交流其他不同情況（如圖4、圖5）：

此時，學生的認知得以豐盈與完善，雖然最終的答案仍然是“無法確定”，但與當初的“無法確定”相比，已經截然不同：當初的“無法確定”是一種無奈、一種迷茫，而現在的“無法確定”則是一種篤定、一種理性。

2.以“心理認同—模仿內化—創造發展”為教學主線，經歷能力的提升過程

在教學過程中，學生能力的提升總是和教學活動聯系在一起的：一方面，在教學活動中學生的能力水平能得到充分體現與外顯;另一方面，活動本身就是很好的載體，它為學生能力的發展提供了舞臺。對數學學科來說，學生的核心能力包括抽象能力、推理能力、建模能力等等，它們的發展都有一個螺旋式的生長過程。

在“長方體和正方體”單元中，涉及三種物體表面積的計算：長方體、正方體以及不規則物體（形如教材第9頁“思考題”中的物體）。其中，不規則物體表面積的計算難度最大。為了突破難點，教材先引導學生畫出從前面、上面和右面看到的形狀，然后再計算不規則物體的表面積，但學生對“求不規則物體表面積之前為什么要先畫圖？不規則物體的表面積計算方法與正方體、長方體的表面積計算方法有怎樣的聯系？”卻不甚明了，為此，教師以“心理認同—模仿內化—創造發展”為教學主線，帶領學生經歷了能力的提升過程。

案例2：拓展課“巧算表面積”

學生從長方體與正方體的表面積計算公式中尋找兩者之間的聯系：它們都是從6個方向來觀察、計算表面積的。出示教材第9頁的“思考題”，追問“為什么計算表面積之前需要先畫圖？”引導學生認識到“計算不規則物體的表面積與計算長方體、正方體的表面積一樣，也可以從6個方向來考慮”，從而將三種方法進行概括與統整，即：表面積=（前面面積+右面面積+上面面積）×2，引發了學生的認同與共鳴，為能力的提升奠定基礎。

模仿是一種能力，也是培養其他能力的基礎，有了前面的情感認同與經驗遷移，教師設計了以下教學活動：分別求下面物體的表面積（每個小正方體棱長均為1厘米）。

“為什么第2個物體與第1個物體的表面積一樣大？”“第3個物體，凹進去一塊，還能用剛才的方法解決嗎？”借助以上問題引發學生思考，從單一到復雜、從一般到特殊、從生澀到熟練，學生在模仿與內化中實現了能力的持續發展。

創造能力的養成是能力高品質提升的重要標志。為了激發學生的創造能力，教師開展了如下的開放活動：在一個棱長為3厘米正方體木塊中，挖走一個長、寬、高分別為是3、2、1厘米的長方體，現在的表面積是多少？有幾種可能？你能創造出幾個表面積相等的不規則物體？借助以上問題，學生在多維思考與動手實踐中提升思維品質、發展創造能力。

3.以“求真—求通—存異”為教學主線，經歷智慧的生長過程

在數學拓展課的教學中，我們的拓展不能止步于知識的延伸，還應凸顯知識背后蘊藏的數學方法與數學思想，帶給學生可以受用終生的理性精神與創新能力。“等（體）積變化”實則是一種轉化思想，在蘇教版小學數學教材中，這樣的數學思想有很多體現，諸如鐵塊的鍛壓、沙堆的擺放、橡皮泥的變形等等。但在教學過程中，我們發現很多教學活動僅僅停留在知識的掌握、方法的操練層面上，對“等（體）積變化”中蘊藏的智慧因子的發掘不夠到位。于是教師以此為拓展點，以“求真—求通—存異”為教學主線，借助一道題目的三次變化，引領學生經歷智慧的生長過程。

案例3：拓展課“翻滾吧，水箱！”

一個封閉的長方體水箱，從里面測量，長30厘米、寬20厘米、高10厘米。水箱里有一些水，水深8厘米。如果把這個水箱向后推倒（即以后面為底面放置容器），那么現在水深是多少厘米？

第一次改編：把原題中“長是30厘米”這一條件去掉，現在水深還是16厘米嗎？

學生得出等量關系“長×20×8=長×10×現在水深”，根據等式性質同時消去等號兩邊的“長”，從而得出結論：現在水深仍然是16厘米。接著，教師又追問“為什么去掉一個條件后，水深還是16厘米呢？”引導學生在題目的變化中尋求不變：水箱翻滾前后，水的體積沒有發生改變，而且水的體積都與“長”這個條件有關，更重要的是“長”的大小也沒有發生改變。在此基礎上，教師引領學生認識到：面對繁雜的信息，要學會透過表象看本質。

第二次改編：把第一次改編題中“向后推倒”變為“向右推倒”，現在水深還是16厘米嗎？

學生在探究中發現：本題與上一題有所不同，這里的等式“長×20×8=10×20×現在水深”中的“長”沒法直接抵消掉，但是卻可以得到兩者之間的關系，即現在水深是現在水箱高度的4/5。借助問題“上述三題中，都存在4/5的關系嗎？為什么都會存在4/5的關系呢？”引導學生歸納總結：當底面積一定時，長方體的體積與高之間存在正比例關系。至此，學生跳出了題目之間的差異，在貫通方法、融通思想中生長智慧。

在第二變化的基礎上進行了第三次改編：加一條件“向右推倒N次（N為大于0的自然數）”，現在水深是多少厘米？

學生進行分類思考：當水箱向右推倒奇數次時，水的深度不能確定，但它與水箱高度的關系是可以確定的，始終存在著4/5的關系;當水箱向右推倒偶數次時，水的深度永遠為8厘米。學生由此認識到現實世界中，問題解決的方法是多樣的、結果是多元的，在求同存異間，他們體悟到了數學的和諧之美。

基于教材內容的數學拓展課的開發與實施，離不開對教材的深刻解讀，離不開對學情的精準分析。唯有在拓展中實踐、在實踐中創新，才能充分體現基于教材內容的數學拓展課的教學價值——激發學習興趣、鞏固課本知識、完善認知結構、豐富探究經驗、培養創新精神。

參考文獻

[1] 王衛東.數學拓展課的結構化教學研究[J].教學與管理，2021（35）：43-46.

[2] 陳士文.數學是一種智慧[J].江蘇教育，2011（10）：1.

[責任編輯：陳國慶]

*該文為江蘇省教育科學“十四五”重點規劃課題“小學數學拓展課的結構化教學研究”（B/2021/02/182）的研究成果