讓簡單的“錯”閃爍理性的意蘊

劉德宏

編者按

大數據背景下小學典型錯題資源庫的建設和利用，為數學學科教學帶來更多輔助和支持，對全面提高教師設計能力、培養學生學習思維、增強學生學習品質有重要的現實幫助。學生在數學理解、計算、運用中容易出現一些錯誤，教師借助大數據對此做具體分析，能夠形成科學梳理和歸結。如果教師在執教過程中有充分預設，給予學生針對性提醒，就可以大幅度減少錯誤的發生。大數據應用于典型錯題資源庫建設已獲得突破性進展，后續完善工作正在順利推進，期望在不久的將來獲得更多突破。大數據對典型錯題資源庫建設形成多點支持，數學學科教學借助大數據做教學探索，其實踐效果顯著，對推動學科核心素養培養進程有著不可替代的作用。本期推出“大數據支持典型錯題資源庫建設和應用”研究組成員的五篇文章，以饗讀者。

[摘? 要] 一個理性的教師，面對學生的學習錯誤，不應對學生進行責備與簡單糾偏，而應該對錯誤進行精準甄別，并靈活地加以引用，使之成為學生再度學習知識、積累基本數學經驗、發展數學思維的資源，讓錯誤成為學生數學素養不斷積累的重要資源。為此，在教學中，教師要善于應用將錯就錯、誘導犯錯等策略，以達成加速學習理解深入、促進學習建構的基本目的，使得數學教學精彩連連、智慧閃爍。

[關鍵詞] 錯誤;資源;利用;理性;思維

“沒有錯誤的學習”，這樣的理想是豐滿的，但現實卻是骨感的。因為學生的數學學習是在錯誤的糾偏中、偏差的反思中回歸正位的。同樣，他們的數學活動經驗也需要通過反芻錯誤來磨礪，其數學思維更需要錯誤來錘煉。所以一個智慧型的數學教師，他能夠正視學生所犯的五花八門且富有“特色”的錯誤，包括學生在課堂上出現的各種富有創意的錯誤，在練習中顯露的不足等，并能夠敏銳地抓住它們，靈活地處置它們，使之成為學生學習研究的新素材，成為學習建構的新資源。

一、將錯就錯，誘發思考

失敗是成功之母。錯誤是失敗的一種表現，它也是小學生理解知識、掌握知識，以及訓練思維的利器。為此，在數學教學中教師要善于把握和利用好這些錯誤資源，達成“變廢為寶”的目的。也正是經過這樣的靈動處理，錯誤才能誘發學生對學習的再回顧，對問題的再反思，進而促進他們對數學問題的深入思考，加速正確學習認識的領悟與建構，最終讓數學學習變得更理性，也使數學教學變得更富活力，充盈著智慧的氤氳。

如，在三年級“24時計時法”教學中，當學生逐步梳理出“12時計時法”和“24時計時法”兩種計時法的轉換方法時，教師就會設計相應的鞏固訓練活動，旨在讓學生在練習中對兩種計時法轉換方法的正確理解和靈活應用，并幫助學生初步建構“24時計時法”的數學模型。然而，學生的課堂表現，往往會出乎教師的預料，甚至是錯誤不斷。

請看“24時計時法”的一個教學片段：

師：經過這一階段的學習，你能用所學習的知識思考下面的問題嗎？

（屏幕顯示：凌晨5時是幾時？）

生1：這個太簡單了，是17時??！

師：噢！是這樣嗎？你是想考考老師能不能解決這個問題，是吧？那我們先把它放在一邊，看看后面的一個問題。解決它之后，我們再前后聯系起來看一看，好嗎？

（投影呈現：17時是下午幾時呢？）

生2：是下午5時??！這是很明顯的。

……

師：你是怎么知道的呢？為什么會這么快地做出回答呀？

生2：這不是很簡單的嗎？一天時針旋轉2圈，17時肯定是超過一圈了，所以就在下午了。

生3：是的！17時已經超過12時了，它不應該在夜里，所以只能在下午了。

師：哦！看來大家對17時的理解還是蠻深刻的。超過中午12時，就是下午了，用“24時計時法”如何表示它們呢？

生4：在“24時計時法”中下午或者晚上的表示都必須大于12，應該用那個時刻的數加上12才行。

生5：簡單地說，下午的時間要加上12才是“24時計時法”的時間。

師：有道理！那回過頭來，看看這個同學考老師的問題，你們有什么話想對他說？

生6：你的回答是錯的，你看問題是“凌晨5時是幾時”，凌晨就是上午啊，它是不會大于12時的。

生7：如果是17時，它對應的是下午5時，這里是凌晨5時，所以你回答錯了。

……

生8：上午的0時到12時時針還是在第一圈里走的，是不需要加上12的，直接就是幾時。

生9：是的！上午的時間轉化成“24時計時法”的時間是不需要加12的，是幾時就直接寫成幾時。

……

這是一個簡單的錯誤，學生的回答真的會超乎教師的預設，但是它卻真真切切地發生了。面對這樣的錯誤，教師該如何辦？是直接糾偏，還是善加利用，使之成為學生再學習、再研究的素材呢？教學片段中，執教者已經給出一個最為理性的應答，也正因為執教者的睿智處理，把錯誤變成了寶貝。

面對學生的回答，執教者不是直接否定，而是風趣地轉變為“你只是想考考老師，是嗎”，并沿著學生的回答延伸開來，先引導學生探究與理解17時的由來。當學生經歷爭辯與反思的學習活動后，他們會更加清晰地領悟到，“24時計時法”針對上午、下午的表述方式，以及其中蘊含的原理。在明晰上午的時間還是時針在第一圈里轉動的原理后，他們會更加深刻地理解“24時計時法”與“12時計時法”之間的內在聯系，能夠明白它們之間的轉化道理，從而使得這部分知識的學習變得更加有效果、認知建構也更加牢固。

二、捕捉錯誤，引發爭辯

錯誤的出現有時是曇花一現般的，需要教師敏銳地捕捉，并靈活地加以運用，只有這樣才能發揮其誘思、激思的作用。為此，在小學數學教學中，教師應時刻關注課堂教學的實況，精準地把脈師生互動、生生互動中的各種現象，善于捕捉一些有差錯、有問題的細節，讓錯誤成為學生再學習、再思考的可貴素材，成為數學知識建構的重要寶庫。

請看三年級“軸對稱圖形的認識”的教學片段：

師：經過折紙活動，你發現長方形的對稱軸有多少條呢？

生1：有2條。

……

生2：老師，他們說的不對，應該有4條。

師：噢！你認為有4條，而他們卻認為只有2條，那到底是怎么回事呢？你愿意把自己的分析思考說給大伙聽聽嗎？

生2：我認為有4條，分別是橫著對折的1條，豎著對折的1條，還有對折2條斜線的，所以一共是4條。

生3：斜著對折，兩邊沒有重合呀？

生2：哎！斜著對折，是沒有重合，但是分成的2個三角形卻是一模一樣的啊！

生3：好像也有些道理?。?/p>

……

生4：我們小組研究后發現，只有2條，因為軸對稱圖形是指沿著對稱軸對折后兩邊的圖形完全重合，而不是像，也不是指剪下來后的兩個圖形是一模一樣的。

生5：是這樣的，軸對稱圖形是對折后兩邊能夠完全重合的圖形，長方形斜著對折，兩個三角形不重合，盡管剪下來的兩個三角形是一模一樣的，但這不是對折后的重合，所以這2條折痕不是長方形的對稱軸。

……

師：那長方形的對稱軸到底有幾條，你們明白了嗎？

生6：是2條，圖形的對稱軸一定是使對折后圖形的兩邊完全重合的線。不能通過比較剪下來的圖形是否一樣來判斷。

……

師：長方形的對稱軸有2條，那正方形呢？

……

錯誤是難以避免的。也許正是因為錯誤的存在，才使得爭辯有了機會，才使得真理越辯越明。教學片段中，執教者面對這個學生勇敢的表現，沒有責備，而是以此為契機，引導他們對軸對稱圖形的認識進行了一次再研究活動。

當學生再度回到折紙活動之中，他們能夠清晰地認知長方形對稱軸的存在，也在辯論中進一步明晰軸對稱圖形的意義。因為爭辯，他們更加明晰軸對稱圖形不是看著一樣的圖形，也不是剪開后能夠重合的圖形，而是對折后兩邊能夠完全重合的圖形。一個簡單的錯誤，只要引導得法，它就有出乎我們預料的實效，就能更好地激發學生的創造潛能，也會助推他們學習思考、學習交流，以及學習反芻能力的發展。

三、誘導犯錯，促進反思

創設一個誘導學生犯錯誤的學習情境，是一種教學智慧。這種情境不僅能更好地抓住學生的學習注意力，還能幫助學生反思自己的學習歷程，最終讓教學學習更智慧，讓知識建構更牢固。

請看六年級“圓錐的體積推導”的教學片段：

師：誰愿意把自己的實驗結果說一下？

生1：我們發現把圓柱盛滿沙子，倒入圓錐容器中正好是3次，說明圓柱的體積是圓錐的3倍，那么圓錐的體積就是圓柱的三分之一。

生2：我們的是3次還多一些，接近4次的樣子。

生3：我們是3次還不到。

……

師：有這么多的結論??！那就再來看看老師的實驗吧！

（教師演示，把圓柱盛滿沙子，倒入圓錐中，1次、2次、3次、4次，正好倒滿了。）

師：你們看到這個結果了嗎？想說些什么？

生4：不對呀，老師，書中不是有結論嗎？圓錐的體積是圓柱的三分之一的呀！

生5：怎么會這樣呢？是不是老師你的圓柱拿的大號的呀？

生6：可能是，我們小組的圓柱可能選了小號的。

生7：難道問題出在圓柱與圓錐身上？

生8：可能是的，你看我們小組選的圓柱與圓錐，它們的底面大小是一樣的，高也是一樣的，我們的結論就和書中的一樣。

……

師：看來同學們都意識到了問題的關鍵所在，要做好這個實驗，我們該怎么辦？

生9：選擇底面和高都相等的圓柱和圓錐容器去做實驗。

生10：底面和高一樣，才能做出符合書中要求的實驗。

生11：我明白了，圓柱與圓錐只有在等底等高的情況下，才具有3倍的體積關系。

……

有時候，教師也需要主動“犯錯”。教學片段中，面對學生的不同結論，執教者沒有直接糾正，而是以錯誘錯，也來演示一個錯誤的實驗，讓學生在驚訝中反思，“為什么老師的實驗結果會與書中的不一樣呢”“在哪個方面出現了問題呢”等。疑問會誘發思考，也會促進學習的比較。當一組學生說出“難道問題出在圓柱與圓錐身上”時，問題被聚焦了，研究方向也就更加確定了。當再度審視自己的器具時，學生便發現了問題所在，進而逐步整理思緒，使得圓錐體積的推導變得更加理性，更加科學。

沒有錯誤的教學是教師最美好的愿望，但是教師應該清醒地認識到，學生的思維水平、知識積累、經驗儲備等都各不相同，是有差異的，所以學生才會表現出不同的學習偏差、思維差異等。為此，教師需要做的是，正視學生的個性，分析學生在數學學習中出現的各種各樣的問題，并靈活地予以引用，使之成為他們再學習的資源，并以此助推學習思考的深入，助力數學知識的有效建構，助推數學素養的不斷積累與發展。