基于混沌系統(tǒng)的數(shù)字彩色圖像加密技術(shù)

張淑霞， 李珊珊， 白牡丹， 楊娜

(長(zhǎng)安大學(xué)信息工程學(xué)院， 西安 710064)

隨著科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展與互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)在生活中的普遍應(yīng)用，作為傳遞信息的圖像、視頻、文件等內(nèi)容的安全性引起了廣大學(xué)者的關(guān)注[1-2]。作為信息傳播的關(guān)鍵載體，數(shù)字圖像普遍應(yīng)用于醫(yī)療、教育和軍事等領(lǐng)域，因此在很多領(lǐng)域都引入了信息保護(hù)技術(shù)[3]。隨著國(guó)內(nèi)外研究學(xué)者的多次探討，圖像加密算法的種類增多，主要有基于混沌系統(tǒng)、信息隱藏、DNA編碼等。通常在圖像加密中并不是使用某一種加密方法而是多種加密方法的有效結(jié)合，使圖像信息更加安全[4]。

由于混沌系統(tǒng)有預(yù)測(cè)性、偽隨機(jī)性以及對(duì)初始條件敏感等特點(diǎn)，產(chǎn)生了許多混沌系統(tǒng)的數(shù)字圖像加密算法[5-7]。文獻(xiàn)[6-7]分別提出用Logistic映射和Chen超混沌映射完成圖像加密。而圖像具有數(shù)據(jù)量大、像素之間的相關(guān)性強(qiáng)等特點(diǎn)，DNA具有并行計(jì)算性能、存儲(chǔ)密度高和能量消耗低等特點(diǎn)，使得基于DNA運(yùn)算的加密技術(shù)有獨(dú)特優(yōu)勢(shì)，據(jù)此國(guó)內(nèi)外研究人員提出了很多混沌系統(tǒng)和DNA編碼結(jié)合的圖像加密算法[8-11]。文獻(xiàn)[8]提出了基于2D-LASM、Arnold和超混沌Lorenz三系統(tǒng)和DNA編碼的圖像分塊加密算法，該算法的密鑰空間大、加密效果理想。文獻(xiàn)[9]提出基于Intertwining Logistic映射、DNA編碼和模擬退火算法的加密算法。文獻(xiàn)[10]提出了混沌映射位變換和DNA序列的加密算法。文獻(xiàn)[11]提出混沌和DNA編碼結(jié)合的圖像加密方案，主要針對(duì)單一的DNA編碼規(guī)則等問(wèn)題。文獻(xiàn)[12]提出了DNA圖像加密算法。文獻(xiàn)[13]利用選擇明文攻擊驗(yàn)證了DNA圖像加密算法的安全性。文獻(xiàn)[14]提出了一種基于變步長(zhǎng)約瑟夫遍歷和DNA動(dòng)態(tài)編碼的圖像加密方法。文獻(xiàn)[15]基于三維分?jǐn)?shù)階簡(jiǎn)化統(tǒng)一混沌系統(tǒng)與DNA突變?cè)?，提出了一種彩色圖像加密算法。

現(xiàn)采用Chen超混沌對(duì)DNA運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行控制。該加密方案是結(jié)合Chen超混沌系統(tǒng)、Logistic混沌系統(tǒng)以及DNA編解碼運(yùn)算的彩色圖像加密算法。此算法使得加密系統(tǒng)具有密鑰容量大、抗噪聲能力強(qiáng)、抗裁剪性能強(qiáng)、抗攻擊能力強(qiáng)等特點(diǎn)。

1 混沌系統(tǒng)與DNA編碼

1.1 Logistic映射

Logistic系統(tǒng)比較經(jīng)典，也是應(yīng)用最廣泛的混沌映射系統(tǒng)，Logistic方程又稱為蟲口模型[16],映射方程為

xn+1=μxn(1-xn)

(1)

式(1)中：μ為系統(tǒng)的參數(shù)，μ∈(0，4]；0

1.2 四維Chen超混沌系統(tǒng)

Chen 超混沌系統(tǒng)的復(fù)雜性高，抗攻擊性強(qiáng)且有超大的密鑰空間。其動(dòng)力學(xué)方程[17]為

(2)

式(2)中：m、n、p、q、r分別為控制系統(tǒng)的參數(shù)，當(dāng)m=35，n=3，p=12，q=7，r∈(0.085，0.798]時(shí)，系統(tǒng)即為混沌狀態(tài)；x、y、z、w為系統(tǒng)的狀態(tài)變量。將系統(tǒng)參數(shù)m、n、p、q、r的值代入式(2)后，采用MATLAB內(nèi)置的龍格-庫(kù)塔函數(shù)ode45計(jì)算式(2)的動(dòng)力學(xué)方程，求解可得到4個(gè)一維混沌序列，圖1是采用 ode45 計(jì)算 Chen 超混沌系統(tǒng)得到的數(shù)據(jù)繪制的x-y-z混沌吸引子相圖。

圖1 Chen超混沌系統(tǒng)的x-y-z吸引子相圖Fig.1 The x-y-z attractor phase diagram of the Chen hyperchaotic system

1.3 DNA的編解碼與運(yùn)算

1.3.1 DNA編碼

在生物學(xué)中，DNA被稱為脫氧核糖核酸，每一條DNA都包含4種堿基，分別為A(adenine)、C(cytosine)、G(guanine)和T(thymine)。其中A與T、C與G分別互補(bǔ)配對(duì)[18]。在計(jì)算機(jī)二進(jìn)制中，(0，1)、(00，11)、(01，10)互補(bǔ)。如果用(A、G、C、T)分別表示(00、01、10、11)，則每一個(gè)像素值就用長(zhǎng)度為4的DNA序列表示，然后進(jìn)行DNA編碼。最后根據(jù)Watson Crick規(guī)則，DNA有8種符合規(guī)則的編碼，如表1所示。

1.3.2 DNA運(yùn)算

DNA的運(yùn)算是按照每?jī)晌欢M(jìn)制數(shù)值對(duì)應(yīng)一位DNA堿基的規(guī)則進(jìn)行運(yùn)算的。主要用到DNA加法、減法、異或和同或運(yùn)算。具體的DNA運(yùn)算規(guī)則如表2所示。

表1 DNA的8種編碼規(guī)則Table 1 Eight coding rules of DNA

表2 DNA加法、減法、異或、同或運(yùn)算Table 2 DNA addition, subtraction, XOR, and XOR operations

2 基于混沌系統(tǒng)與DNA編碼的加密算法

該算法將彩色圖像分成3個(gè)二維矩陣，對(duì)每個(gè)二維矩陣分塊進(jìn)行DNA編碼和運(yùn)算，加密后再次進(jìn)行行、列置換，最后直接合并紅色(red，R)、綠色(green，G)和藍(lán)色(blue，B)三通道得到彩色加密圖像。超混沌系統(tǒng)生成的序列決定了每個(gè)分塊的DNA 編碼解碼以及運(yùn)算規(guī)則，而 Chen 超混沌系統(tǒng)的初始值與原始圖像關(guān)聯(lián)，很大程度上提升了系統(tǒng)的抗攻擊能力。

明文圖像為大小M×N的彩色圖像I，則I就能呈現(xiàn)出一個(gè)M×N的矩陣，矩陣的組成元素是一個(gè)像素P，而每個(gè)像素都由R、G、B這3個(gè)顏色通道構(gòu)成。加密步驟如下。

步驟1將彩色圖像I按式(3)轉(zhuǎn)換成R、G、B 三通道的灰度圖像(二維矩陣)，分別代表R、G、B 三通道的顏色分量，稱為IR、IG、IB。

(3)

式(3)中：每個(gè)像素值表示為長(zhǎng)度8的二進(jìn)制序列，在(0，255)范圍內(nèi)取值。在利用式(4)將3個(gè)二維矩陣補(bǔ)零填充來(lái)加強(qiáng)算法的實(shí)用性。

(4)

式(4)中：t為分塊大小，矩陣IR、IG、IB都能夠均勻分成t×t大小的塊，因此總共可分為MN/t2個(gè)圖像塊；mod()為取余函數(shù)。

步驟2獲得兩個(gè)混沌序列。設(shè)定初值x0和參數(shù)μ，根據(jù)式(1)對(duì)Logistic映射連續(xù)迭代得到兩個(gè)序列{kx}和{ky}，設(shè)置獲得的序列的長(zhǎng)度為M×N，其中，μ設(shè)定為3.999 9，作為加密時(shí)的密鑰之一。序列的初值x0和y0根據(jù)式(5)可得

(5)

式(5)中：sum[IR(:)]、sum[IG(:)]和sum[IB(:)]分別為待加密圖像R、G、B通道的所有位置的數(shù)據(jù)總和；x0為IR和IB的灰度平均值；y0為IG和IB的灰度平均值作為加密算法密鑰。通過(guò)式(6)將序列的值{ky}轉(zhuǎn)換為0～255的整數(shù)，同時(shí)將此序列轉(zhuǎn)換為M×N(與IR大小相同)的偽隨機(jī)矩陣方便DNA運(yùn)算。

(6)

式(6)中：round()為取整函數(shù)；reshape表示重新調(diào)整矩陣的行數(shù)、列數(shù)。

步驟3根據(jù)式(7)將序列{kx}和{ky}按降序排列，得到序列中每個(gè)像素元素在排列之前的位置序列Ux和Uy，這樣就提升了密文圖像抗裁剪攻擊的能力。

(7)

分別以序列值Ux、Uy和其對(duì)應(yīng)索引進(jìn)行行列坐標(biāo)交換，對(duì)經(jīng)過(guò)DNA解碼后的3個(gè)通道的矩陣進(jìn)行行列置換，以此置亂效果更佳，此步驟主要是提升密文圖像抗裁剪攻擊的能力。

步驟4在輸入控制的參數(shù)后，利用龍格庫(kù)塔函數(shù)計(jì)算Chen超混沌系統(tǒng)，生成{Xi}、{Yi}、{Zi}、{Hi}4個(gè)序列，序列長(zhǎng)度都為MN/t2。以IR為例，所有的圖像數(shù)據(jù)都能用8位二進(jìn)制體現(xiàn)(所有數(shù)據(jù)都在0到255范圍內(nèi))，所以可看作是8個(gè)bit 面組成IR，然后將IR與00010001做與運(yùn)算，得到IR的第一個(gè)和第五個(gè)bit面的值。令Chen超混沌系統(tǒng)的4個(gè)初值X(0)、Y(0)、Z(0)、H(0)由式(8)計(jì)算得出。

(8)

式(8)中：bitand()為返回與運(yùn)算后的結(jié)果；sum()為函數(shù)求和。

步驟5因DNA有8種編碼規(guī)則，在考慮加密效率的情況下，統(tǒng)一由{Xi}決定，把IR、IG、IB相同位置的分塊使用同一種DNA編碼方式；由{Yi}決定R矩陣的編碼方式為

(9)

同樣在考慮加密效率的情況下，IR、IG、IB與R對(duì)應(yīng)塊之間采用同一種運(yùn)算法則，在由Chen超混沌系統(tǒng)生成的序列{Zi}決定，該算法采用了DNA的加、減、異或和同或4種運(yùn)算法則，按式(10)將序列{Zi}轉(zhuǎn)換為范圍在0～3的整數(shù)，即

Z=mod[round(Z×104),4]

(10)

做如下規(guī)定：若Zi=0，采用加法運(yùn)算；若Zi=1，采用減法運(yùn)算；若Zi=2，采用異或運(yùn)算；若Zi=3，采用同或運(yùn)算。

步驟6把經(jīng)過(guò)DNA編碼運(yùn)算后的矩陣分塊在進(jìn)行解碼，也就是DNA解碼是編碼的完全逆過(guò)程，于此解碼方式也有8種。將進(jìn)行解碼后的IR、IG、IB這3個(gè)二維矩陣合并，得到密文圖像。

解密算法是對(duì)加密后的圖像進(jìn)行與加密時(shí)完全相反的逆操作，正確的解密圖像與原始圖像相比應(yīng)該無(wú)任何區(qū)別。解密過(guò)程這里不再做詳述。

3 實(shí)驗(yàn)仿真測(cè)試及安全性能分析

3.1 實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果

主要以512×512的彩色圖像Pepper作為原始明文圖像，Intel(R) Core(TM) i5-8500的 CPU、16 GB內(nèi)存、3.00 GHz的Windows操作系統(tǒng)環(huán)境下，仿真平臺(tái)為MATLAB R2018b，對(duì)該算法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真驗(yàn)證。圖2(a)～圖2(c)分別為Pepper的明文圖像、密文圖像和解密后的圖像?？梢钥闯?，密文圖像與原始圖像無(wú)任何關(guān)聯(lián)，密文圖像以一種雪花狀的噪聲呈現(xiàn)，僅從人眼觀看已達(dá)到加密效果，且經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)對(duì)比，加密和解密效果表現(xiàn)優(yōu)異。

圖2 原始明文圖像、密文圖像與解密圖像Fig.2 Original plaintext image, ciphertext image and decrypted image

3.2 安全性能分析

3.2.1 直方圖分析

直方圖表示圖像像素值分布。安全性高的加密算法生成的圖像的直方圖是均勻的。在圖像直方圖中，橫坐標(biāo)范圍為0～255，縱坐標(biāo)為每個(gè)圖像數(shù)據(jù)值在整幅圖像上出現(xiàn)的概率，所以用直方圖呈現(xiàn)圖像的像素值分布情況。明文圖像三通道的直方圖分布起伏不定，而密文圖像三通道的直方圖分布均勻，可隱藏原始圖像的統(tǒng)計(jì)特性，可以有效抵御針對(duì)圖像像素直方圖的統(tǒng)計(jì)攻擊。圖3所示為以Pepper明文和密文R通道為例的直方圖。

3.2.2 信息熵

信息熵表示一個(gè)信息的混亂程度，在圖像中信息熵就表示圖像像素值的混亂程度，其具體數(shù)學(xué)定義表達(dá)式為

圖3 Pepper明密文圖像R通道的直方圖Fig.3 Histogram of R channel of Pepper plain and ciphertext image

(11)

式(11)中：p(mi)為圖像中灰度值為mi出現(xiàn)的概率；N為圖像的灰度級(jí)。按式(11)所示，一副256級(jí)的圖像的信息熵為8。由式(11)計(jì)算得到的明密文圖像信息熵對(duì)比由表3呈現(xiàn)，表4為本文算法與文獻(xiàn)[19]和文獻(xiàn)[20]的加密圖像的信息熵結(jié)果做對(duì)比。

在該加密算法的條件下，Pepper和Lena的密文圖像的信息熵與理想值8更接近，在該加密條件下，密文圖像的信息熵已接近理論極限值，因此該算法能有效抵御關(guān)于圖像信息熵值的攻擊分析。

表3 原始圖像與密文圖像信息熵對(duì)比Table 3 Comparison of information entropy between original image and ciphertext image

3.2.3 相鄰像素相關(guān)性分析

計(jì)算對(duì)比明密文圖像中相鄰像素之間的相關(guān)性。從明密文圖像中每個(gè)方向上隨機(jī)選取5 000對(duì)相鄰像素，再通過(guò)式(12)計(jì)算相鄰像素之間的相關(guān)系數(shù)。

(12)

其中：

(13)

(14)

(15)

式中：x和y為水平、垂直、對(duì)角線方向上相鄰位置的像素值；N為水平、垂直、對(duì)角線方向的像素點(diǎn)總對(duì)數(shù)；E(x)為數(shù)學(xué)期望(所取像素平均值)；D(x)為方差；cov(x,y)為協(xié)方差；rxy為相關(guān)性系數(shù)，其絕對(duì)值越大則相關(guān)性越強(qiáng)。

表5為Pepper和Lena原始圖像三通道中兩個(gè)相鄰像素的相關(guān)系數(shù)，表6為Pepper和Lena密文圖像中兩個(gè)相鄰像素的相關(guān)系數(shù)。由于所取點(diǎn)位置是隨機(jī)的，每次隨機(jī)數(shù)不同，所以每次計(jì)算得到的數(shù)據(jù)值也會(huì)有些許不同，但其數(shù)值都接近。

從表5和表6可以看出，原始明文圖像 R、G、B三通道的像素在水平、垂直和對(duì)角線方向上的相關(guān)性系數(shù)都接近于1，說(shuō)明像素之間的相關(guān)性很強(qiáng)；在密文圖像中，3個(gè)方向上的相關(guān)系數(shù)接近于零，說(shuō)明相鄰像素基本沒(méi)有相關(guān)性。

表5 Pepper和Lena原始圖像三通道中兩個(gè)相鄰像素的相關(guān)系數(shù)Table 5 Correlation coefficients of two adjacent pixels in three channels of Pepper and Lena original image

也就是圖像的抵御攻擊能力與相鄰像素之間的相關(guān)性呈反比關(guān)系?？梢酝ㄟ^(guò)相鄰像素之間相關(guān)性的散點(diǎn)圖可以更直觀地做出對(duì)比，圖4所示以Pepper圖像的R通道為例說(shuō)明水平方向的相關(guān)性。

3.2.4 差分攻擊分析

所謂差分攻擊，其實(shí)也是一種選擇明文攻擊，其大致原理就是攻擊者通過(guò)分析自己設(shè)定的明文圖像差對(duì)相應(yīng)的密文圖像差的影響來(lái)最大程度獲得某算法的加密密鑰，最終找出明密文圖像的對(duì)應(yīng)關(guān)系。通常使用像素?cái)?shù)目的變化率(number of pixels change rate，NPCR)和平均變化強(qiáng)度(the unified average changing intensity，UACI)兩指標(biāo)來(lái)對(duì)某算法進(jìn)行抗差分攻擊分析。NPCR和UCAI的計(jì)算公式分別為

表4 密文圖像的信息熵對(duì)比Table 4 Comparison of information entropy of ciphertext images

表6 Pepper和Lena密文圖像三通道中兩個(gè)相鄰像素的相關(guān)系數(shù)Table 6 Correlation coefficients of two adjacent pixels in the three channels of Pepper and Lena ciphertext images

圖4 Pepper圖像R通道加密前后水平方向相關(guān)性Fig.4 Horizontal correlation before and after R channel encryption of Pepper image

(16)

(17)

(18)

式中：I1(i,j)為未改變之前密文像素的像素值；I2(i,j)為改變了明文圖像某點(diǎn)的像素值之后的密文圖像的像素值。

強(qiáng)加密算法的NPCR和UACI的期望值計(jì)算公式為

(19)

(20)

式中：L為彩色圖像的比特位數(shù)。

可以得出，所有的圖像的NPCR值都大于99.6%，所以好的加密方案對(duì)明文圖像的像素變化非常敏感；加密測(cè)試中，UCAI的值都大于33%。在Pepper圖像中隨機(jī)選取(72,127)處的像素值并加1，使用相同的加密密鑰，利用式(16)～式(18)計(jì)算NPCR和UACI的值，結(jié)果如表7、表8所示。

表7 Pepper圖像NPCR的數(shù)據(jù)分析Table 7 Data analysis of Pepper image NPCR

表8 Pepper圖像UACI的數(shù)據(jù)分析Table 8 Data analysis of Pepper image UACI

3.2.5 圖像質(zhì)量評(píng)價(jià)

肉眼檢查密文圖像是判斷加密算法是否有效的最簡(jiǎn)單也最重要的指標(biāo)之一。如果明文圖像一大部分特征在該加密算法下被隱藏，就會(huì)認(rèn)為這個(gè)加密算法是可用的。即使是這樣，研究者們雖然可以用肉眼檢查加密的最終效果，但是因?yàn)槿巳庋鄣木窒扌?，在特殊的情況下，無(wú)法發(fā)現(xiàn)一些加密過(guò)程隱藏的漏洞。主要通過(guò)精確的計(jì)算方法來(lái)衡量加密質(zhì)量，所以引入了峰值信噪比(peak signal to noise ratio，PSNR)和平均絕對(duì)誤差(mean absolute error，MSE)指標(biāo)對(duì)圖像的加密質(zhì)量進(jìn)行評(píng)價(jià)。通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析，MSE的值越小，PSNR的值越大，得到的新圖與原始圖像越接近，即圖像質(zhì)量越好。

(21)

(22)

式中：R(i,j)和F(i,j)分別為預(yù)測(cè)值和真實(shí)值。把方差為(0，100)、間隔為5的高斯噪聲加入密文圖像中并進(jìn)行解密。按式(21)和式(22)計(jì)算得出相應(yīng)的均方誤差MSE和峰值信噪比PSNR，繪制出R、G、B三通道的高斯噪聲方差-MSE曲線圖和高斯噪聲方差-PSNR曲線圖，仿真結(jié)果以R通道為主，如圖5所示。

圖5 Pepper圖像R通道加入高斯噪聲后的MSE和PSNR曲線圖Fig.5 MSE and PSNR curves after adding Gaussian noise to the R channel of the Pepper image

4 結(jié)論

提出了一種新型的彩色圖像加密算法。首先使用Logistic系統(tǒng)產(chǎn)生初始值，使得整個(gè)加密系統(tǒng)的密鑰與明文圖像相關(guān)聯(lián)。其次利用四維Chen超混沌生成4個(gè)混沌序列控制每個(gè)圖像分塊的DNA編碼規(guī)則和運(yùn)算方式，增強(qiáng)了加密算法的隨機(jī)性。最后通過(guò)實(shí)驗(yàn)仿真測(cè)試，對(duì)圖像加密前后直方圖、信息熵、相鄰像素之間的相關(guān)性、加密密鑰敏感性、差分攻擊分析和圖像質(zhì)量評(píng)價(jià)等指標(biāo)表明，該加密算法加密后的直方圖均勻分布，信息熵也接近理想值8，密文圖像的R、G、B三通道相鄰像素之間的相關(guān)性遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于明文圖像相關(guān)性，其值普遍接近于0，能夠有效抵御各種統(tǒng)計(jì)攻擊。NPCR和UACI的值也接近于理想值，也可抵抗差分攻擊，最終表明該加密算法可適用于彩色圖像的加密。

在未來(lái)的研究學(xué)習(xí)中，將會(huì)進(jìn)一步地探索更好的有關(guān)彩色圖像加密的算法，來(lái)減少不同的評(píng)價(jià)指標(biāo)變化對(duì)圖像加密效果的影響。與此同時(shí)，還將研究其他的加密方法，為保護(hù)圖像信息安全的領(lǐng)域做出進(jìn)一步的貢獻(xiàn)。