基于自適應對角加載的源數估計算法

馬玲， 趙聯文

(西南交通大學數學學院， 成都 611756)

信源數是眾多信號處理算法中的關鍵參數，影響著波達方向估計(direction of arrival，DOA)、盲源信號分離(blind signal separation，BSS)等算法技術的最終實現效果。在雷達、聲吶、無線通信、地震預測以及生物醫學等數據信號分析領域多以DOA技術對目標信號進行定位、通過BSS技術從混合信號中提取目的信號等。然而，無論是DOA估計中經典的(multiple signal classification，MUSIC)[1]、(estimating signal parametersviarotation invariance techniques，ESPRIT)[2]算法，還是BSS中常用的(independent component analysis，ICA)[3]等盲分離技術，都需要關于信號源數目(信源數)的先驗信息。當不準確的信源數作為參數被代入相應算法時，可能導致如目標參數估計錯誤、信號檢測失敗、算法性能急劇降低甚至完全失效等問題。因此，估計信源數在陣列信號處理過程中是一項十分必要且極具研究價值的基本任務。

基于假設檢驗的算法是最初解決信源數估計問題的算法，但此算法對人的主觀經驗判斷依賴性較強并且估計效率低下。Wax等[4]提出的基于赤池信息量(Akaike information criterion，AIC)準則與最小描述長度(minimum description length，MDL)準則的信源數估計算法避免了主觀依賴性問題并具有良好的估計性能，從而該算法及其改進算法被廣泛研究使用[5-7]。但基于信息論準則的算法僅適用于高斯白噪聲環境，在其他色噪聲環境中算法性能急劇下降。但實際環境中，噪聲背景往往是復雜的、非平穩的空間色噪聲。目前，關于色噪聲背景下的信源數估計算法主要包括蓋氏圓盤估計(Gerschgorin’s disk estimation, GDE)算法[8]，基于高階累計量的信源數估計算法[9]，基于協方差矩陣對角加載的算法估計算法[10]以及與現代智能算法結合的估計算法等[11-12]。其中，由張杰等[10]提出的基于協方差矩陣對角加載技術的信源數估計算法為解決信息論準則不能用于色噪聲環境的問題提供了新的思路，保留了基于信息論準則的信源數估計算法的優良性；但此方法中加載量的確定十分困難，目前關于加載量的研究[13-15]相對較少且沒有統一的確定方法。

現針對在基于協方差矩陣對角加載技術的信源數估計算法中對角加載量難以確定的問題，通過考慮混合信號協方差矩陣對角元素值與噪聲功率的協同變化情況，并結合協方差矩陣特征值的分布情況，給出一種附加計算量較小的加載量確定方法，并將對角加載后的協方差矩陣運用于基于信息論準則的源數估計算法中，得到修正后的信息論準則算法。以期自動獲取加載量對數據協方差矩陣進行對角加載處理，以修正基于信息論準則的估計算法不能用于色噪聲環境的問題，而且極大程度地保留并優化基于信息論準的源數估計算法的估計性能。

1 信號模型

在信號接收傳感陣列中，信號傳感器被稱為陣元；當各陣元呈直線排列且陣元間距相等時，則稱此信號接收陣列為均勻線性陣列(uniform linear array，ULA)。假設在某一固定時刻，有K個獨立遠場窄帶源信號S，記為S=[s1,s2,…,sK]T，分別以K個不同角度θ=(θ1,θ2,…,θK)入射到一個由M(M>K)個陣元構成的ULA中時，該ULA的瞬時接收信號模型為

X=A(θ)S+N

(1)

式(1)中：X=[X1,X2,…,XM]為ULA的混合接收數據矩陣；N=[n1,n2,…,nM]T為獨立于源信號的加性高斯白噪聲；A(θ)=[a(θ1),a(θ2),…,a(θK)]是M×K階的陣列方向矩陣，a(θi)表示A(θ)的第i個方向矢量，具體表示為

(2)

式(2)中：λ為源信號的波長；d為陣元間距。

由于在上述ULA瞬時接收信號模型中，僅混合信號X已知，一般從接收數據的協方差矩陣入手分析。令RX為混合信號X的協方差矩陣，由模型中各矢量之間的獨立性有

RX=A(θ)RSA(θ)H+σ2I

(3)

式(3)中：RS為源信號的協方差矩陣，RS=E(SSH)；σ2為噪聲信號對應的功率；I為單位矩陣；(*)H表示*的復共軛轉置。

假設RX的特征值為{λ1,λ2,…,λM}(降序排列)，對應特征向量構成的特征矩陣為U；A(θ)RSA(θ)H的特征值為{μ1,μ2,…,μM}，特征矩陣為US;則RX與A(θ)RSA(θ)H的特征值分解可分別表示為

RX=UΔXU

(4)

A(θ)RSA(θ)H=RX-σ2I=USΔXUSH

(5)

式中：ΔX=diag{λ1,λ2,…,λM}和λi=μi+σ2分別為由RX與A(θ)RSA(θ)H特征值構成的特征值對角矩陣,i=1,2,…,M。由于特征矩陣是單位正交矩陣，將I=USUSH代入式(5)可知U=US和ΔX=ΔS+σ2I，特征值之間存在關系等式為

λi=μi+σ2,i=1,2,…,M

(6)

由于RS的秩為K，RS的前K個特征值為非零而后M-K個特征值為零，由式(6)即有

λ1≥…≥λK>λK+1=…=σ2

(7)

由此可知，理想條件下，RX的前K個較大的特征值對應源信號而后M-K個較小特征值對應噪聲信號。當信噪比較大時，可通過判斷RX的主特征值個數從而估計信源數。

在實際情況中，由于快拍數(陣列傳感器采樣次數)有限，RX的理論值不能被獲取，通常由樣本協方差矩陣近似代替為

(8)

2 預備知識

2.1 基于MDL準則的信源數估計算法

信息論準則本質上是一種基于極大似然思想的模型選擇方法，即在一組參數化的概率密度模型中選擇一個與實際觀測數據擬合度最高的概率模型，客觀性較強。關于信息論準則的數學模型主要由兩個部分組成的代價函數，即

(9)

在基于信息論的信源數估計算法中，假定 ULA模型中的源信號與噪聲從高斯分布，由高斯分布的可加性可知，混合數據X服亦從高斯分布。故當混合信號X中存在k個源信號(k為未知數，0

(10)

式(10)中：Θk=(λ1,…,λk,v1,…,vk,σ2)T為未知參數矢量，vi為RX的第i個特征向量。

其中，式(10)對應的負對數似然函數項為

(11)

信息論中的AIC準則與MDL準則的擬合優度項相同，僅罰函數項存在差異，表達式為

PAIC(k)=2k(2M-k)

(12)

(13)

將式(11)分別與式(12)、式(13)對應的罰函數組合得到相應代價函數和最小化代價函數,得到基于AIC準則與MDL準則的信源數估計值為

(14)

(15)

基于信息論準則的信源數估計算法不需要人為設置參數，具有較好的估計性能；但此類算法只能用于理想化的高斯白噪聲環境，當噪聲特征值受快拍數、信噪比、噪聲類型等因素影響而發散時，算法的估計性能將急劇下降。

2.2 對角加載技術

在色噪聲環境中，噪聲特征值發散,RX的特征值大小關系由式(7)轉變為

λ1≥…≥λK>λK+1≥…≈σ2

(16)

為改善噪聲特征值發散對信息論準則在信源數估計問題中帶來的影響，張杰等[10]引入對角加載技術對噪聲特征值進行修正、降低噪聲特征值的發散程度。

利用對角加載技術修正特征值的方法實際上是對混合數據協方差矩陣注入白噪聲的過程，數學表達式為

(17)

λ′i=λi+λload

(18)

當加載量λload滿足λK?λload?λK+1時，噪聲特征值的發散性得到抑制并且噪聲特征值與噪聲特征值之間的差異也被保留。但由于K是未知量，加載量的確定十分困難。

3 本文算法

3.1 算法的提出

在基于對角加載技術優化信息論準則的源數估計算法的基礎上，分析陣列接收數據協方差矩陣的對角元素的變化情況，結合特征值的分布特性，給出一種可根據數據特征自動調節的自適應加載量確定方法，與信息論準則結合得到基于自適應對角加載的源數估計算法。

由于基于協方差矩陣對角加載技術的信源數估計算法是通過添加對角矩陣對協方差矩陣進行修正的，對角加載前后矩陣僅對角元素發生變化，分析協方差矩陣RX的對角元素， 即

diag{RX}=diag{A(θ)RSA(θ)H}+

(19)

(20)

(21)

由式(21)可知，RX的對角元素的變化情況與噪聲功率的變化情況一致；故利用此特點判斷噪聲功率的大致平均值與加載量。

由于噪聲信號功率值與數據協方差矩陣較小的M-K個特征值對應，因此當ULA模型中存在至多M-1個源信號時，RX的最小特征值λM對應某一噪聲信號并與之相等。由于RX經特征值分解后，其特征值常按大小順序排序而RX的對角元素的順序只與混合信號的排列順序有關，從而關系式λM=rM不是必然成立的。

(22)

(23)

在對協方差矩陣進行對角加載過程中，為使得加載量λload盡量滿足λK?λload?λK+1，根據噪聲特征值小于信號特征值的特點，初步判定λload大于最大噪聲功率估計值。考慮到噪聲功率估計值與實際值之間存在偏差以及信號特征值與噪聲特征值之間的差距變換與信噪比(signal to noise ratio，SNR)有關，假設加載量與最大噪聲功率估計值及SNR有關，即有

(24)

(25)

將協方差矩陣對角加載處理后的特征值代入到基于AIC與MDL準則的信源數判決函數中，即得到新的基協方差矩陣自適應對角加載的AIC準則與MDL準則的源數估計算法，分別記為DLAIC與DLMDL準則算法。

由DLAIC準則與DLMDL準則得到信源數估計值分別為

(26)

(27)

相比AIC準則與MDL準則，修正后的準則中僅對應代價函數中的似然函數項發生了變換而罰函數未有改變，故修正前后準則的估計一致性不受影響。

3.2 算法步驟總結

步驟 4由式(25)得到對角加載量λload。

步驟 5對樣本協方差進行對角加載處理得到加載后的矩陣RXload，并計算其對應的特征值{λ′1,λ′2,…,λ′M}。

4 仿真實驗

為驗證本文方法的有效性與可行性，設計仿真實驗對算法性能進行對比實驗。在以下實驗中，以經典AIC準則、MDL準及GDE算法作為對比算法，GDE準則的調整因子取為0.4。設定基本實驗條件：ULA模型的陣元間距d=λ/2，陣元數M=8；入射陣列的獨立源信號個數K=8，入射角度θ=(-28°,0°,13°,42°,60°)。以下實驗結果均由MATLAB軟件經1 000次模特卡洛模擬得到。

4.1 仿真實驗一

在基本實驗條件下，固定快拍數為200次(即L=200)；SNR以2 dB為步長，從-10 dB增長到20 dB。分別在高斯白噪聲環境與高斯色噪聲環境下，比對各算法估計性能隨SNR的變化情況。

由圖1可知，當SNR>4 dB時，除AIC準則外的4種準則的正確率均達到1；當SNR<4 dB時，DLAIC準則的正確率下降，這是因為DLAIC準則的罰函數較小并且對角加載量的確定受SNR影響，從而出現過估計導致正確率下降。GDE準則的估計效果優于DLAIC準則，但GDE準則的估計性能受調整因子影響且調整因子需人為設定。當SNR<-4 dB時，DLMDL準則的估計正確率低于AIC準則但高于MDL準則，這是由于MDL準則受快拍數影響，罰函數項較大，在低信噪比條件下容易出現欠估計問題，而DLMDL準則通過對角加載技術修正了低SNR條件下噪聲特征值的混亂情況，加強了似然函數項的決定作用，減弱了罰函數項的影響，正確率提升；但由于DLMDL準則中的對角加載量確定受SNR影響，從而其在低SNR條件下仍存在估計問題，正確率低于AIC準則。

由圖2可知，在高斯色噪聲環境中，基于AIC準則與MDL準則的估計算法基本失效，但DLMDL、DLAIC及GDE準則仍能發揮較好的估計作用，這是因為AIC、MDL準則的擬合優度項是以噪聲特征值的平穩性為基礎，而在色噪聲環境中噪聲特征值發散從而失效。當SNR<6 dB時，受信噪比影響，自動確定的對角加載量對噪聲特征值發散性的抑制力度較小；并且受罰函數影響，DLMDL準則易出現過估計問題，而DLAIC準則易出現欠估計問題，從而估計正確率受影響；當SNR>10 dB時，DLMDL、DLAIC、GDE準則的正確率均達到1。整體而言，DLMDL準則的估計正確率整體最優，優于DLAIC準則，高于GDE準則。

圖1 在白噪聲環境中SNR對算法性能的影響Fig.1 SNR effect on algorithm performance in white noise

圖2 在色噪聲環境中 SNR對算法性能的影響Fig.2 SNR effect on algorithm performance in colored noise

綜合分析本實驗可知，DLAIC準則與DLMDL準則能同時在高斯白噪聲與色噪聲環境下較好地進行估計；上述5種算法中，DLMDL準則隨SNR變化的估計性能最優。

4.2 仿真實驗二

在基本實驗條件下，設定快拍數為15 dB(即SNR=15 dB)；快拍數以50次為步長，從50變化到500。在高斯白噪聲與色噪聲環境中，對比各算法的估計性能隨快拍數的變化情況。

由圖3和圖4可知，在SNR較高的高斯白噪聲環境中，當快拍數大于50時DLMDL準則和DLAIC準則與MDL準則、AIC準則的估計準確率穩定在1附近，整體估計性能優于AIC準則與GDE準則。在高斯色噪聲環境下，MDL準則與AIC準則失效；DLMDL準則在快拍數大于100后估計正確率穩定于1，在快拍數小于100時受罰函數項影響估計易出現欠估計問題；而DLAIC準則在快拍數較大時則受罰函數項影響出現過估計問題，從而導致估計正確率下降；色噪聲環境中經典GDE準則的整體估計正確率在0.9以上但不具備估計穩定性。

圖3 在白噪聲環境中快拍對算法性能的影響Fig.3 SNR effect on algorithm performance in white noise

圖4 在色噪聲環境中快拍數對算法性能的影響Fig.4 SNR effect on algorithm performance in colored noise

由實驗得出，提出的DLMDL準則與DLAIC準則在不同快拍數下的算法估計性能較好，整體優于其他3種對比算法。

5 總結

利用協方差矩陣對角元素及其特征值分布特點，給出了一種自適應的對角加載量確定方法，并將基于此自適應加載量的對角加載技術與信息論準則結合提出了一種基于自適應對角加載的信源數估計算法，解決了信息論準則不能用于色噪聲環境的問題，優化了相應算法的估計性能。經理論分析及仿真模擬實驗分析驗證，總結如下。

(1)基于混合信號協方差矩陣對角元素與噪聲功率的協同變化關系，提出自適應對角加載量的確定方法，解決了基于對角加載的源數估計算法中加載量確定困難的問題。

(2)利用基于自適應加載量的對角加載技術修正了信息論準則算法不能用于色噪聲環境的缺陷，并且估計性能整體優于經典的GDE準則算法；白噪聲環境中,修正后算法的估計性能在不同程度上得到優化提升。

(3)由仿真實驗比對分析，本文算法相較于基于AIC準則的源數估計算法，基于DLAIC準則的算法在低信噪比條件下的估計正確更低，但在高信噪比條件下具備更好的穩定性且可用于色噪聲環境；綜合對比，DLMDL算法在不同噪聲環境下的不同信噪比及快拍數條件下的估計準確率及穩定性更好，整體估計性能更優。