數學視野下的冬奧冰雪運動

宋亦然 童莉

[摘? 要] 會用數學的眼光觀察世界，是數學素養的一個重要體現. 研究者從以下6個方面帶領大家用數學的眼光看冬奧會：雪花曲線與分形幾何、奧運五環與紐結理論、高山滑雪與最速降線、空中滑雪與斜拋運動、短道速滑運動員力爭走內道、花樣滑冰中旋轉的數學秘密. 感受到了用數學的眼光看世界的魅力.

[關鍵詞] 數學眼光;冬奧會;雪花曲線;紐結理論;最速降線

在我國舉行的第24屆冬奧會雖然已經落下帷幕，但它留下了太多的精彩令世人回味. 數學核心素養強調會用數學的眼光觀察世界，當我們嘗試用數學的眼光看冬奧會及其冰雪運動時，會在體育之外引發另一番有意義的思考[1]. 如滿滿數字感的開幕式就將數字“24”運用到了極致：第24屆、2月4日、20：04開始、中國代表隊在21：24亮相、中國傳統二十四節氣等，使“24”不再是一個枯燥數字，而是被獨具匠心地賦予了豐富的含義，數字成了關聯各種意義的靈魂. 下面，我們進一步用數學的眼光再看冬奧會及其冰雪運動[2].

雪花曲線與分形幾何

冬奧會展示的是冰雪運動，當然離不開雪花. 人們常常感嘆雪花的精美，有一個重要原因是它具有曲線美，而這種曲線的形成卻有其數學的緣由.

數學中有一類曲線因其形狀類似雪花而得名，被稱為“雪花曲線”. 它可以這樣得到：把一個等邊三角形的每條邊三等分，并將每條邊三等分后的中段向外作新的等邊三角形，但要去掉與原等邊三角形疊合的邊. 接著對每個等邊三角形尖出的部分繼續上述過程，即將每條邊三等分后的中段向外作新的尖形. 不斷重復這樣的過程，便產生了雪花曲線（如圖1所示）.

從數學的角度來看，雪花曲線吸引人之處在于：它具有有限的面積，卻有著無限的周長. 即雪花曲線的周長持續增加而沒有界限，但整條曲線卻可以畫在一張很小的紙上，它的面積是有限的，其值為原等邊三角形面積的倍.

設原等邊三角形的邊長為a，則依次計算得到圖1所示圖形的周長及面積如表1所示：

雪花曲線從外表就能看出來的一個特性就是其任何部分都與整體相似，對這種圖形上的自相似性的研究形成了一門學科叫“分形幾何”. 其實，大千世界很多對象都可以運用“分形”來研究，如云層的邊緣、山脈的輪廓、海岸線等.

奧運五環與紐結理論

每屆奧運會都因東道國的不同而設計了不同的會徽，但所有會徽都帶有“五環”標志，這一標志是由奧運會創始人顧拜旦提議設計的. 根據《奧林匹克憲章》的規定，奧林匹克標志在每屆奧運會會徽中必須完整出現，不得改動.

盡管人們從人文意義上對奧運“五環”標志作了多種含義的解讀，但其核心意義卻是公認的，即象征著五大洲的團結以及全世界的運動員以公正、公平、坦率的比賽和友好的精神在奧林匹克運動會上相見. “五環”環環相扣的形象生動地表現了這一意境.

這五個圓環是如何環環相扣的呢？可以用數學的紐結理論來解釋.

紐結理論是數學學科代數拓撲的一個分支，按照數學術語來說，是研究如何把若干個圓環嵌入三維歐氏空間中的數學分支. 紐結理論的特別之處是它研究的對象必須是三維空間中的曲線. 其實，這也是繩結魔術的數學道理. 如果考慮的不是一條閉曲線，而是n條閉曲線，要求它們既不自交也不互交，那么就得到了n圈鏈環的概念，奧運“五環”標志就是一個典型的5圈鏈環[3].

紐結理論被廣泛應用于各種藝術設計，如圖2所示就是一個6圈鏈環的設計方式：

紐結理論越來越引起人們的興趣. 它除了被廣泛應用于各種藝術設計外，還被應用于其他學科研究，如化學中的大分子空間結構的研究、遺傳物質DNA的研究等.

高山滑雪與最速降線

高山滑雪是以滑雪板、雪鞋、固定器和滑雪杖為主要用具，從山上向山下沿著旗門設定的賽道滑下的雪上競速運動項目. 從場地設計來看，什么樣的滑行曲線才能使運動員獲得最快的速度呢？這涉及數學上的“最速降線問題”（Brachistochrone Problem）[4]. 此問題是1696年瑞士數學家約翰·伯努利在寫給他哥哥雅克布·伯努利的一封公開信中提出的. 問題的提法是：設A和B是鉛直平面上不在同一鉛直線上的兩點，在所有連接A和B的平面曲線中，求出一條曲線，使僅受重力作用且初速度為零的質點從A點到B點沿這條曲線運動時所需時間最短.

人們想象：在一個斜面上，擺兩條軌道，一條是直線，一條是曲線，起點高度以及終點高度都相同. 兩個質量、大小一樣的小球同時從起點向下滑落，應該是直線上的小球先到終點. 但實驗證明曲線上的小球反而先到終點（如圖3所示）.

這是由于曲線軌道上的小球先達到最高速度，所以先到達終點. 然而，兩點之間的直線只有一條，曲線卻有無數條，那么，哪一條曲線才是最快的呢？伽利略于1630年提出這條曲線應該是一條圓弧，可是后來人們推翻了這個結論. 1696年，約翰·伯努利從理論上證明了這條最速降線是一條旋輪線.

數學中的旋輪線是如何形成的呢？其實，當一個圓沿一條直線運動時，圓周上的一個定點M所形成的軌跡就是旋輪線. 如圖4所示，設滾動的圓的半徑是r，φ是圓的半徑所經過的弧度（滾動角），則可以得到旋輪線的參數方程為x=r（φ-sinφ），y=r（1-cosφ）.

旋輪線又稱鐘擺線. 擺鐘的擺錘所劃過的弧線就是鐘擺線，它其實是倒過來的旋輪線（如圖5所示）. 當擺鐘的擺錘沿這樣的弧線擺動時，每個擺動周期的時間都是相等的. 正因如此，鐘擺線也叫等時線[3].

空中滑雪與斜拋運動

這里所指的空中滑雪運動主要指跳臺滑雪、自由式滑雪空中技巧. 這兩個項目有一個共同特點，就是運動員先要通過一段距離的滑行，獲得一定速度后通過跳臺躍向空中. （如圖6所示）

影響這兩項運動比賽成績的因素除了運動員在空中的技巧外，還有運動員在空中滑行的高度和滑行的距離. 那么，運動員如何才能獲得理想的滑行高度和距離呢？以下從數學的角度進行分析.

我們可以將運動員從跳臺滑向空中的運動視為物體的斜拋運動. 斜拋運動有斜上拋和斜下拋之分，顯然，這里討論的兩項運動都屬于斜上拋運動. 根據運動獨立性原理，可以把斜拋運動視為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的上拋運動的合運動來處理.

這個二次函數所對應的函數圖像即圖7中的拋物線，可以通過上式求得做斜拋運動的物體在水平方向上最大的位移s和豎直方向上最大的高度h.

短道速滑運動員力爭走內道的數學秘密

在短道速滑比賽時，我們看到在轉彎處領先的運動員總是想把內道的位置牢牢控制住，而在很多情況下，速滑運動員為爭奪內道的位置常發生碰撞和其他犯規情況. 在彎道時為什么內道的位置這么重要呢？

從這個結果可以看到，彎道半徑R是決定彎道滑行時間t的唯一變量，R越小，滑行時間t越小，所以在短道速滑中，搶占內道就顯得極其重要了.

花樣滑冰中旋轉的數學秘密

旋轉是花樣滑冰中一個非常重要的技術動作，也是花樣滑冰中極具美感和具有觀賞性的動作之一. 在欣賞花樣滑冰時，你會觀察到一個現象：運動員在原地旋轉時，雙手展開時轉速不快，但將雙手收回接近身體時旋轉速度會變快. 這是為什么呢？

物體以一定的角速度旋轉時要形成一定的動能，并遵守角動量守恒定律. 以花樣滑冰旋轉為例，該定律通俗一點的解釋就是：在忽略質量的情況下，運動員旋轉的速度和運動員旋轉的手臂（或其他肢體）形成的旋轉半徑的乘積是一個常量（如圖9所示）.

運用到運動員的旋轉技巧上：開始旋轉時，若運動員將手臂伸開，這樣旋轉半徑R變大，旋轉速度會慢一些;然后收回手臂，或將原來伸開的手臂逐漸向上伸舉，這樣整個身體的旋轉半徑R變小，根據角動量守恒定律，此時旋轉速度就會增大. 所以就會看到花樣滑冰運動員收回手臂時旋轉速度會越來越快.

以上從數學的角度欣賞了冬奧會的某些場景和冰雪運動，其實還有一些冰雪運動也蘊含著深刻的數學原理，如“U型池尺寸的設計”“冰壺運動的技術要點”等，如果用數學去分析它們，用數學模型去解決它們，那么將會有驚人的發現. 這一切讓我們感受到了數學與生活的聯系以及數學無窮的魅力.

參考文獻：

[1]? 馬蒂亞斯·路德維希. 數學與體育：數學視角下的奧林匹克項目[M]. 徐斌艷，譯. 上海：上海教育出版社，2012.

[2]? 黃翔，童莉，史寧中. 談數學課程與教學中的跨學科思維[J]. 課程·教材·教法，2021，41（07）：106-111.

[3]? 普通高中課程標準選修課程用書數學D類. 體育運動中的數學[M].北京：人民教育出版社，2021.

[4]? 馬文東. 從光學極值思想到最速降線問題[J]. 數學通報，2019，58（04）：51-53.

[5]? 曾文藝. 定點投籃中的數學問題[J]. 數學通報，1994（07）：44-46.

作者簡介：宋亦然（2001—），浙江省溫州肯恩大學理工學院數學系在讀本科生.

通訊作者：童莉（1976—），博士，教授，曾獲全國數學碩士優秀導師稱號、全國教育碩士教學成果二等獎，從事數學教育測評、數學教師專業發展研究工作.