深度教學(xué)視角下高中數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)

胡兵

[摘? 要] 以素養(yǎng)為核心的數(shù)學(xué)教學(xué)，對教師提出了更高的要求，為實現(xiàn)深度教學(xué)，切實培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，教師需做好以下幾方面：（1）注重概念教學(xué)，夯實思維根基;（2）建立知識體系，疏通思維脈絡(luò);（3）開展變式練習(xí)，提高思維深度;（4）滲透數(shù)學(xué)思想，提高思維高度.

[關(guān)鍵詞] 深度教學(xué);深度學(xué)習(xí);思維能力

高中數(shù)學(xué)是一門具有高度抽象性、嚴謹性、完整性的學(xué)科.很多學(xué)生對于數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)思想方法等掌握不熟，容易對數(shù)學(xué)失去信心.面對這種不良的教學(xué)局面，教師需要及時改變教學(xué)策略，積極開展深度教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生進行深度學(xué)習(xí)，提高學(xué)生的思維能力.

深度教學(xué)不是指無限增加知識難度和知識量，不是對知識表層的學(xué)習(xí)，不是對知識的簡單掌握和機械訓(xùn)練，而是基于知識的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，通過對知識的完整處理，引導(dǎo)學(xué)生從符號學(xué)習(xí)走向?qū)W科思想和意義系統(tǒng)的理解與掌握，是對知識的深度學(xué)習(xí).深度教學(xué)強調(diào)為理解而教、為理想而教、為意義而教、為發(fā)展而教 .在深度教學(xué)的視角下，數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)不可忽視.數(shù)學(xué)思維是指通過提出、分析、解決和推廣數(shù)學(xué)問題等一系列工作，從而獲得數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)和規(guī)律這一認知過程.思維能力是學(xué)生理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的根本.當學(xué)生具備了數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、空間想象等數(shù)學(xué)思維能力時，便能夠?qū)W(xué)科知識進行高效學(xué)習(xí).

深度教學(xué)強調(diào)的是以學(xué)生為中心，促進學(xué)生掌握對于概念、定義、定理的探究能力，掌握以理解和領(lǐng)悟為核心的解決問題的思路和方法，提高學(xué)生的思維能力、創(chuàng)新能力、學(xué)習(xí)能力. 為此，教師要做到以下幾方面.

注重概念教學(xué)，夯實思維根基

數(shù)學(xué)的概念、定義、定理等是數(shù)學(xué)大廈的根基，是知識發(fā)生的原點，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基石. 對于數(shù)學(xué)概念教學(xué)，數(shù)學(xué)教師不應(yīng)追求以合作探究、分組協(xié)作等形式進行教學(xué)，更不應(yīng)以學(xué)生頻頻點頭視為學(xué)生已理解并掌握，而應(yīng)以學(xué)生的認知障礙、原有知識為基礎(chǔ)，從數(shù)學(xué)概念的“本源”進行教學(xué). 教師可將教材中的概念、定義的每一個關(guān)鍵要點分解為層次遞進的小目標，讓學(xué)生在體驗數(shù)學(xué)知識的發(fā)展過程中，學(xué)會新的知識，掌握概念的核心本質(zhì)，加深對概念的認識和理解.

在函數(shù)的概念教學(xué)中，學(xué)生容易對函數(shù)的概念感到困惑不解，故需要教師幫助學(xué)生細細分析函數(shù)的基本概念，將其細分成小目標：（1）連續(xù)型函數(shù)和離散型函數(shù)的判斷;（2）什么是函數(shù)定義中的對應(yīng)法則“f”;（3）如何在解析式、列表和圖像中判斷函數(shù).

根據(jù)以上設(shè)想，教學(xué)時教師可以先提出問題1：

（2）求x=1，x=-1時對應(yīng)的函數(shù)值y;（3）你能得到x和y的取值集合嗎？

對于問題1的第（1）問，學(xué)生認為是函數(shù)關(guān)系，但對于函數(shù)的具體定義描述不清，經(jīng)過師生合作探究，可以得到關(guān)系式是函數(shù)的判斷依據(jù)中的一個要點，即對每一個自變量x，均有唯一的y與之對應(yīng). 對于問題1的第（2）問，學(xué)生能根據(jù)式子計算出對應(yīng)的函數(shù)值y，于是借此可以向?qū)W生介紹自變量x經(jīng)過計算得到y(tǒng)值的過程就是對應(yīng)法則，讓學(xué)生突破對應(yīng)法則這個難點. 為厘清函數(shù)的概念，教師可進一步追問：

問題2：（1）y=x2+x+1，x∈{-1，0，1，2}是函數(shù)嗎？

（2）已知某商場9月前9天銷售的電腦臺數(shù)如表1所示，y是x的函數(shù)嗎？

基于問題2，學(xué)生判斷時會產(chǎn)生猶豫，對于是否是函數(shù)沒有把握.這是在具體的函數(shù)概念上的進一步抽象，教師需分析離散型函數(shù)與連續(xù)型函數(shù)的相同點，并讓學(xué)生把握兩點：函數(shù)是否是同一函數(shù)，僅看對應(yīng)法則是不夠的;函數(shù)的判斷不一定需要有具體的解析式，通過列表也可以實現(xiàn).學(xué)生認識函數(shù)的概念還需要繼續(xù)激發(fā)認知沖突，可借此提出問題3：

（1）請問氣溫T是時間t的函數(shù)嗎？

（2）你能在圖中找到不同的t對應(yīng)的相同的T嗎？反之可以嗎？

通過問題3的提出，教師幫助學(xué)生進一步完善了函數(shù)的概念，為抽象出一般函數(shù)的定義奠定了基礎(chǔ).對于函數(shù)的概念，由于其概念的抽象，故需要回歸到學(xué)生思維發(fā)展的順序，由函數(shù)解析式入手，重點介紹函數(shù)的對應(yīng)法則、定義域和值域，通過列表法和圖像法使學(xué)生能夠從特殊到一般理解函數(shù)，進一步明確和掌握函數(shù)的基本概念.

教師只有從概念、定義、定理的要點出發(fā)，分析出其邏輯上的難點，才能設(shè)置合理有效的問題，讓學(xué)生在不斷探索、反思、總結(jié)中成長，使自身思維由感性走向理性.教師只有通過長期的熏陶，才能真正為學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)核心概念、定義、定理奠定基礎(chǔ).

建立知識體系，疏通思維脈絡(luò)？搖

高中數(shù)學(xué)課程具有整體性，每個知識點與其他知識點都有聯(lián)系，但學(xué)生學(xué)習(xí)的知識點卻較片面、零散. 因此，教師教學(xué)時需要跳出“題海”訓(xùn)練的思路，做到不僅會用教材，更會對教材進行改造和加工，同時要提高學(xué)生對教材的重視程度，從整體角度全面了解教材章節(jié). 教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用思維導(dǎo)圖等工具建立知識體系、疏通思維脈絡(luò)，切實提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

筆者復(fù)習(xí)“統(tǒng)計”的知識體系時，不是反復(fù)教學(xué)生已經(jīng)知道或者片面的知識點，而是引導(dǎo)學(xué)生重新結(jié)合教材認識“統(tǒng)計”的作用. 經(jīng)過師生的合作探究，教材中“統(tǒng)計”章節(jié)的編排意圖徐徐展現(xiàn)在學(xué)生眼前：首先，通過學(xué)習(xí)總體和樣本明確抽樣的范圍，并根據(jù)需要，通過隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣等方式進行合理抽樣;接著，根據(jù)抽樣的數(shù)目，對樣本進行數(shù)據(jù)分析，采用的方法有莖葉圖、頻率分布直方圖、條形圖等，形成樣本和總體的初步認識;最后，對抽樣的數(shù)據(jù)進行檢驗，以線性回歸為例進行合理假設(shè)，并評估假設(shè)檢驗的合理性. 通過思維導(dǎo)圖等工具使學(xué)生真正了解“統(tǒng)計”章節(jié)的整體性，明確“統(tǒng)計”教學(xué)的“四步走”方式——提出問題、收集樣本、數(shù)據(jù)分析、合理檢驗. 具體如圖2所示.

開展變式練習(xí)，提高思維深度

教師講授多種數(shù)學(xué)知識、各種解題方法，容易導(dǎo)致知識碎片化，不容易形成系統(tǒng)性，學(xué)生無法舉一反三，掌握不了具有深刻思維的知識點. 教師需要在教學(xué)中以變式為驅(qū)動，引導(dǎo)學(xué)生探索某類問題的真諦，并借此引申至不同的方法，讓所學(xué)的知識更加深刻且富有創(chuàng)造性. 筆者在變式教學(xué)中堅持回歸題目本身，從精心選題開始，做到層次豐富，既有區(qū)別又有聯(lián)系，串聯(lián)起一系列數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生真正體會到數(shù)學(xué)的美. 同樣，筆者認為在變式教學(xué)中，應(yīng)根據(jù)題目本身所具有的難度，設(shè)置不同層次的變式，引發(fā)學(xué)生思考. 例如，函數(shù)極值點和函數(shù)值常有相關(guān)性，時常讓學(xué)生無法找到解題思路，而變式分層有助于學(xué)生認知逐步深入，提高分析能力. 筆者上復(fù)習(xí)課時，喜歡運用開放式習(xí)題進行復(fù)習(xí)，學(xué)生學(xué)完知識后，若以單個知識點進行零散復(fù)習(xí)，不僅不利于學(xué)生掌握學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法，更難培養(yǎng)學(xué)生獨立創(chuàng)新、整合知識的能力.

例如，筆者在高三“導(dǎo)數(shù)極值和最值”的復(fù)習(xí)公開課中，設(shè)置了開放的探究題：已知函數(shù)f（x）=x-alnx，你能根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)從易到難提出2～3個問題并證明嗎？

在課堂上，學(xué)生開始對于這類問題并不適應(yīng)，但學(xué)生根據(jù)解題經(jīng)驗，還是很快掀起了探究蓋頭，學(xué)生提出了如下問題：

問題1：當a=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間、極值、最值.

問題2：求函數(shù)f（x）在[1，e]上的單調(diào)區(qū)間、極值、最值.

開放式問題看起來和變式教學(xué)毫無關(guān)系，但本質(zhì)卻是一致的. 它是一個需要學(xué)生通過對函數(shù)的認識并結(jié)合實踐，提出自己想法的過程. 只有真正的深度教學(xué)，才能在師生的互動交流中，將學(xué)生自身的學(xué)習(xí)感悟融入課堂教學(xué)，促進學(xué)生舉一反三、觸類旁通，真正達到培養(yǎng)學(xué)生思維能力的目的.

教師要引導(dǎo)學(xué)生多讀教材，從教材的編排入手，啟發(fā)學(xué)生思考教材中知識點設(shè)置的原因，通過思維導(dǎo)圖等工具建立整個高中數(shù)學(xué)知識體系，加深對知識體系的認識，才能讓學(xué)生厘清知識之間的聯(lián)系，走出知識誤區(qū)，真正學(xué)會將知識運用于實際生活，解決實際生活中的問題，疏通數(shù)學(xué)思維脈絡(luò).

滲透數(shù)學(xué)思想，提高思維高度

數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)理論本質(zhì)的認知，數(shù)學(xué)思想是思維能力的外在體現(xiàn)，只有當學(xué)生具備了一定的數(shù)學(xué)思想，才能進行深度學(xué)習(xí). 數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，包含著讓學(xué)生領(lǐng)悟并掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能，學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光看待世界. 數(shù)學(xué)思想是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵，但要讓數(shù)學(xué)思想成為學(xué)生得心應(yīng)手的工具可能比預(yù)想的要相差甚遠，主要原因是數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)知識內(nèi)容在更高層面上的理解，是知識體系中蘊含的寶藏，需要挖掘和逐步推進. 教師在教學(xué)中，不能將數(shù)學(xué)思想和方法混為一談，不能一味地強調(diào)應(yīng)用，需要對數(shù)學(xué)思想有較為深刻的理解，進而將每種數(shù)學(xué)思想劃分為幾個層次，通過細化將其不斷滲透，達到一葉成林的效果.

比如我們常提的數(shù)形結(jié)合思想，它是“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化，如同事物的一體兩面，是抽象的數(shù)學(xué)語言與圖形語言的互化，是抽象思維與形象思維的交替變化，有助于學(xué)生把握數(shù)學(xué)本質(zhì). 數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)的函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、解析幾何中被廣泛應(yīng)用，具有普遍性.

例如，在圓中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想時筆者將其分為三個層次：

層次1：給出具體的圓方程如x2+y2-2x+2y+1=0，能畫出相應(yīng)的圓，反之也一樣.

層次3：能在跨區(qū)域的范圍內(nèi)找到隱藏的“圓”并應(yīng)用. 如：（1）△ABC中，BC=2，AC=2AB，求△ABC面積的最大值;（2）已知過定點P（4，0）的直線與y2=4x相交于兩點A，B，OD⊥AB，垂足D在線段AB上，求△OPD面積的最大值.

通過三個層次滲透數(shù)形結(jié)合思想，使學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想的形式、內(nèi)涵有了進一步的了解，能真正運用其解決一類問題，使之達到核心所在.教學(xué)中，教師需要對數(shù)學(xué)思想進行合理分類，細分教學(xué)層次，根據(jù)需要不斷進行滲透與整理，結(jié)合平時的有效訓(xùn)練，才能真正讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想、運用數(shù)學(xué)思想，讓數(shù)學(xué)思維能力得到極大提升.

深度教學(xué)能切實體現(xiàn)教學(xué)過程的價值，豐富學(xué)生的課程履歷和學(xué)習(xí)過程，引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力. 教師既要“負責任”，又要“講科學(xué)”;既要幫助學(xué)生“得高分”，又要講課“有味道”. 雖然有時這種深度教學(xué)不一定能馬上見成效，但是教育本身就是細水長流、潤物細無聲的工作. 相信經(jīng)過時間的沉淀，學(xué)生必將有更大的作為，取得更好的成績，相信這樣的深度教學(xué)也會贏得更多認可.