理解數(shù)學(xué)運(yùn)算對象 培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)

許光英

[摘? 要] 文章以解析幾何教學(xué)為例，著重從理解數(shù)學(xué)運(yùn)算對象這個(gè)環(huán)節(jié)入手，利用數(shù)形結(jié)合思想多角度去分析和理解運(yùn)算對象，利用函數(shù)方程思想去優(yōu)化代數(shù)運(yùn)算過程，通過模式識別促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)運(yùn)算方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 運(yùn)算素養(yǎng);運(yùn)算對象;運(yùn)算思路;優(yōu)化運(yùn)算

引言

在新課改背景下，如何貫徹落實(shí)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》[1]對學(xué)生素養(yǎng)的要求以及對應(yīng)的《中國高考評價(jià)體系》[2]對學(xué)生關(guān)鍵能力的重點(diǎn)考查內(nèi)容，是我們教師面臨的教育教學(xué)重要課題.由于《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》對每個(gè)教學(xué)主題單元的學(xué)科素養(yǎng)要求側(cè)重點(diǎn)不一樣，如對人教A版選擇性必修主題二“幾何與代數(shù)”的要求是“重點(diǎn)提升直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)”[1]，所以在這個(gè)主題單元教學(xué)中，筆者著重以培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)為出發(fā)點(diǎn)，融合貫穿對其他素養(yǎng)的培養(yǎng).

“運(yùn)算幾乎滲透到數(shù)學(xué)的每一個(gè)角落，是貫穿數(shù)學(xué)的基本脈絡(luò)，是貫穿數(shù)學(xué)課程的主線.”[3]

“數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)對其他數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展具有基礎(chǔ)性、全局性的影響. 強(qiáng)化數(shù)學(xué)運(yùn)算教育有助于學(xué)生更好地把握數(shù)學(xué)的發(fā)展脈絡(luò)、基本結(jié)構(gòu)與基本原理，有助于為學(xué)生其他數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ). 基于運(yùn)算素養(yǎng)培育，明晰運(yùn)算的邏輯主線，有助于提高數(shù)學(xué)教學(xué)的整體性、深刻性、合理性和有效性.”[4]提升運(yùn)算能力可以從“理解運(yùn)算對象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果”[1]等環(huán)節(jié)去落實(shí). 在實(shí)施這幾個(gè)環(huán)節(jié)時(shí)，我們可以根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的側(cè)重點(diǎn)著重強(qiáng)調(diào)其中幾個(gè)環(huán)節(jié)的落實(shí)，突破運(yùn)算的難點(diǎn).

解析幾何教學(xué)中學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算存在的問題

解析幾何是“以代數(shù)方法研究幾何問題”，對運(yùn)算能力的要求較高.“對學(xué)生而言，代數(shù)運(yùn)算是主要攔路虎之一. 解題過程中，許多學(xué)生都是因?yàn)椴荒茼樌瓿纱鷶?shù)運(yùn)算而導(dǎo)致失敗.”[5]

“沒有一定的運(yùn)算技能，與之相關(guān)的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)思維只能是無法落到實(shí)處的空中樓閣.”[4]

筆者在教學(xué)實(shí)踐中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在運(yùn)算上對某些“運(yùn)算方法”的應(yīng)用只是停留在表面的模仿，沒有抓住“運(yùn)算方法”的本質(zhì)，從而造成不能靈活應(yīng)用的情況.? 由于解析幾何中的運(yùn)算是建立在幾何背景下的代數(shù)運(yùn)算，所以在教學(xué)中提高運(yùn)算能力不僅要從代數(shù)角度入手，還要從理解運(yùn)算對象入手，利用數(shù)形結(jié)合思想，“從幾何、代數(shù)的不同角度去分析，使對問題的條件、結(jié)論以及它們的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化方式有了多角度的理解，從而也就可以使條件、結(jié)論得到不同形式的表達(dá)，形成多樣化的解題方法，使得幾何直觀、代數(shù)推理綜合地發(fā)揮作用，這就是解析幾何中解決問題的方法總是不唯一，且有方法的難易、代數(shù)運(yùn)算的繁簡之分的原因.”[5]

因此，筆者在解析幾何教學(xué)中從多角度、多層次去引導(dǎo)學(xué)生理解運(yùn)算對象，得到不同的表達(dá)形式，選擇合適的運(yùn)算方法，優(yōu)化運(yùn)算程序，提高模型識別能力，提高運(yùn)算能力. 采用“問題情境+變式題組+模式提煉”的設(shè)計(jì)思路，通過變換運(yùn)算對象，落實(shí)運(yùn)算環(huán)節(jié)，使教學(xué)活動(dòng)有層次地推進(jìn)，逐步突破運(yùn)算難點(diǎn)，培養(yǎng)和提升學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng). 正如顧泠沅先生指出的，“通過對問題的多層次的變式構(gòu)造，使學(xué)生對問題解決過程及問題本身的結(jié)構(gòu)有一個(gè)清晰的認(rèn)識，是學(xué)生積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、提高問題解決能力的一條有效途徑.”[6]

教學(xué)片段

為了讓學(xué)生能理解并掌握解析幾何運(yùn)算，常用兩種代數(shù)化簡方法——“點(diǎn)乘雙根法”和“構(gòu)造齊次式法”. 這兩種代數(shù)化簡方法的實(shí)質(zhì)是代數(shù)運(yùn)算中應(yīng)用韋達(dá)定理時(shí)對煩瑣的運(yùn)算程序的簡化，也是對運(yùn)算方法的優(yōu)化，所以教學(xué)中著重從“理解運(yùn)算對象”“探究運(yùn)算思路”“選擇運(yùn)算方法”這三個(gè)運(yùn)算環(huán)節(jié)去理解這兩種“方法”之間的聯(lián)系. 再利用一題多解、一題多變的設(shè)計(jì)策略，構(gòu)造相同問題情境，變換運(yùn)算對象，加強(qiáng)分析運(yùn)算方法適用的條件，達(dá)到舉一反三的目的，提高學(xué)生的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)建模能力. 由于研究對象是幾何圖形，所以教學(xué)中較重視“幾何要素的分析”這一環(huán)節(jié)[5]，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力.

1. 構(gòu)造問題情境

2. 設(shè)計(jì)運(yùn)算對象

問題1：過點(diǎn)M（4，0）的直線l交橢圓C：x2+4y2=4于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)，且λ=MA·MB，求λ的取值范圍.

（1）轉(zhuǎn)化運(yùn)算對象（形數(shù)轉(zhuǎn)化）.

（2）運(yùn)算思路及方法（利用韋達(dá)定理化簡）.

（3）優(yōu)化運(yùn)算方法（利用函數(shù)方程思想進(jìn)行優(yōu)化）.

識別模式1：

高考鏈接：

（1）求C的方程;

3. 變換運(yùn)算對象

（1）轉(zhuǎn)化運(yùn)算對象（形數(shù)轉(zhuǎn)化）.

（2）運(yùn)算思路及方法（利用“點(diǎn)乘雙根法”化簡）.

識別模式2：

4. 再次變換運(yùn)算對象

（1）轉(zhuǎn)化運(yùn)算對象（形數(shù)轉(zhuǎn)化）.

（2）運(yùn)算思路及方法（利用方程思想優(yōu)化）.

識別模式3：

高考鏈接：

（1）求C的方程;

反思

參考文獻(xiàn)：

[1]? 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[S]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]? 教育部考試中心. 中國高考評價(jià)體系及說明[S]. 北京：人民教育出版社，2019.

[3]? 王尚志，高定量. 普通高中數(shù)學(xué)課程分析與實(shí)施策略[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2010.

[4]? 李昌官. 數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)及其培養(yǎng)[J]. 數(shù)學(xué)通訊，2019（09）：1-5.

[5]? 章建躍. 核心素養(yǎng)立意的高中數(shù)學(xué)課程教材教法研究[M]. 上海：華東師范大學(xué)出版社，2021.

[6]? 鮑建生，黃榮金，易凌峰，顧泠沅. 變式教學(xué)研究（續(xù)）[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)，2003（02）：6-11.