細化高中數學教材，發展學生能力，提升數學素養

洪鑫 展國培

[摘? 要] 從“教材”到“學材”，其生命力就在于“學”. 教師要將教材中的一些空間進一步細化，使其更貼近學生的認知基礎和已有的數學活動經驗.細化變式問題的產生過程，讓學生了解數學問題的關聯性;細化教材中例習題的分析過程，讓學生感悟解法的合理性;細化問題解決后的數學解釋、表達的過程，讓學生認識數學的實用性.

[關鍵詞] 教材;細化;過程;問題

史寧中教授指出，學生數學學科核心素養的形成和發展，是在教師的啟發和引導下，學生通過獨立思考、與他人交流，最終自己“悟”出來的，是一種逐漸養成的思維習慣和思想方法[1]. 指向核心素養的課堂教學，要求我們一定要轉變教與學的方式，確立以“學生為中心”的教學理念，將“教材”變為“學材”.從“教材”到“學材”，其生命力就在于“學”[2]. 因此，教師在備課時，要結合授課對象的具體情況，將教材中的一些空間進一步細化，使其更貼近學生的認知基礎和已有的數學活動經驗.具體到教學過程中，就是要通過問題引領，激發學生主動參與的熱情. 我們要細化變式問題的產生過程，讓學生了解數學問題的關聯性;細化教材中例習題的分析過程，讓學生感悟解法的合理性;細化問題解決后的數學解釋、表達的過程，讓學生認識數學的實用性. 文章以蘇教版數學教科書（2019年版）（下文簡稱“新版”）中的幾個問題為例，作了一些探討.

細化變式問題產生的過程

變式教學曾稱為“促進有效數學學習的中國方式”. 然而，在變式教學中，教師習慣把自己精心設計的變式問題一個個地拋給學生，教學的重點放在解決這些問題上，而忽視了向學生解釋變式的起因和過程. 學生僅僅是靜態問題的解答者，而非動態問題的參與者，更談不上設計者. 美國著名心理學家布魯納說：“學習者不應是信息的被動接受者，而應該是知識獲取過程中的主動參與者.”新修訂的課程標準強調“四能”的培養，讓學生從數學角度發現和提出問題，是培養“四能”的第一步. 教師可以從構成數學命題系統的要素（條件、依據、方法、結論）出發，教會學生逆向思考、類比歸納、深入探究、強化或弱化條件等手段，對原命題進行變式，培養學生發現和提出問題的能力.

教學時引導學生分析問題的表征信息，并展開如下變式研究：

（1）改變條件呈現的方式.

變式1：若tanα，tanβ是方程6x2-5x+1=0的兩根，α，β均為銳角，求α+β的值.

（2）弱化條件：只給出tanα，tanβ滿足的關系式或省略兩個角的限制范圍.

變式2：已知（tanα+1）（tanβ+1）=2，α，β均為銳角，求α+β的值.

（3）改變圖形形狀.

變式4：如圖2所示，在△ACD中，DB⊥AC，B為垂足，若AB∶BC∶DB=2∶3∶6，求∠ADC的度數.

變式5：如圖3所示，在△ABC中，D是BC邊上一點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F. 已知∠A=45°，BE=1，DE=2，DF=3，求CF的長.

（4）改變問題背景，包裝成應用題.

變式6：如圖4所示，在某開發區內新建了兩棟高樓AB，CD（AC為水平地面），P為AC的中點，在點P處測得兩樓頂的張角∠BPD=45°，AB=AC=50 m.①求樓CD的高度（測量儀器的高度不計）. ②當測角儀在AC上什么位置時，兩樓頂的張角最大？

說明：該題第①問是新版蘇教版必修第二冊第61頁的習題;第②問是視角最大問題，在2010年江蘇高考中出現過，視角最大問題對高一學生難度偏大，適宜高三復習課使用.

細化問題的分析過程

教材中的分析：把角α看成α+β與β的差，即α=（α+β）-β，再用兩角差的正弦公式展開.配套的教學參考書中這樣講道：“‘拆角是三角變換中的常用技巧，它體現了化歸思想.”教學時，可以把教材中的解法與從cos（α+β）的展開式中解出sinα的方法相比較，讓學生體會“拆角”法的簡潔和思路的合理性.

第一步，方程組能不能解？（意圖：體會方程思想，兩個方程可以解出sinα，cosα的值.）

第二步，方程組怎么解，可使得計算簡單一些？（意圖：在解析幾何中還會遇到這類方程組.解不出方程組的主要原因有兩方面：一是學生的算法不合理，算理不清楚;二是怕繁畏難.學生的數學素養及意志品格的培養要在細微處著力.）

第三步，解法受阻的原因是什么？有沒有其他思路？（意圖：分析受阻成因，謀求突破途徑.）

第四步，消除差異法是處理三角恒等變換常用的方法.已知角α+β，β與欲求的角α之間具有何種關系呢？（意圖：滲透研究三角恒等變換的一般觀念，讓學生觸摸“拆角”的技巧.）

通過上述細化分析，讓學生經歷“受挫—析因—突破”的過程，使他們既能“明算理”又能“悟方法”，不斷提升他們分析問題和解決問題的能力，同時數學運算素養也能得到提升.

細化問題的表達過程

目前，數學應用題教學大多停留在“得到數學結果”這一步，而忽視了對數學模型實際意義的解釋. 為培養學生“能用數學的語言表達世界”，不僅要重視建模過程和求解過程的教學，還應當讓學生明白數學模型的應用價值.

例3 在經濟學中，函數f（x）的邊際函數Mf（x）定義為Mf（x）=f（x+1）-f（x）. 某公司每月最多生產100臺報警系統裝置，生產x臺（x∈N*）的收入函數R（x）=3000x-20x2（單位：元），其成本函數C（x）=500x+4000（單位：元），利潤是收入與成本之差.（1）求利潤函數P（x）及邊際利潤函數MP（x）;（2）利潤函數P（x）及邊際利潤函數MP（x）是否具有相同的最大值？（出自新版蘇教版必修第一冊第226頁例5）

略解：（1）P（x）=R（x）-C（x）=-20x2+2500x-4000，其中，1≤x≤100，x∈N*;MP（x）=P（x+1）-P（x）=2480-40x，其中，1≤x≤100，x∈N*.FA9076BA-9649-4BF9-B042-1848487C2436

邊際函數是經濟學中的一個基本概念. 針對本題可以提出如下問題：

（1）本題中，利潤函數和邊際利潤函數的實際意義分別是什么？

生：利潤函數是生產x臺報警系統裝置的總利潤，而邊際利潤函數是生產第（x+1）臺報警系統裝置的利潤.

（2）邊際利潤函數MP（x）=2480-40x是減函數，說明了什么實際意義？

生：說明隨著產量的增加，每臺報警系統裝置的利潤與前一臺的利潤相比在減少. 當x=1時，第2臺的利潤與第1臺的利潤相差最大，也就是說，生產第2臺報警系統裝置的利潤最大.

（3）你怎么理解利潤函數P（x）與邊際利潤函數MP（x）不具有相同的最大值？

生：從數學角度來講，利潤函數P（x）是二次函數，邊際利潤函數MP（x）是遞減的一次函數，從圖像（如圖5、圖6所示）可以看出，它們不具有相同的最大值. 從實際角度來講，當產量x∈[1，62]（x∈N*）時，隨著產量的增加，盡管每臺報警系統裝置的利潤在下降，但邊際利潤函數值是正數，說明每臺報警系統裝置仍有利潤，因此總利潤是上升的;當x∈[63，100]（x∈N*）時，邊際利潤函數值是負數，且每多生產一臺，企業就多虧損40元，因此總利潤呈下降趨勢，但總利潤還是正數，說明企業總體沒有虧損.

（4）企業何時會出現虧損？

生：因為P（1）=-1520<0，P（2）=920，P（100）=46000>0. 說明生產第1臺報警系統裝置時企業虧損1520元，從生產第2臺起，企業開始盈利. 由于P（123）=P（2）=920>0，P（124）=P（1）=-1520<0，所以當企業生產第124臺報警系統裝置時就會出現虧損.

（5）請分別計算邊際成本函數和邊際收入函數，你有什么發現？

生：邊際成本函數MC（x）=C（x+1）-C（x）=500，邊際收入函數MR（x）=R（x+1）-R（x）=2980-40x，當MR（x）=MC（x），即x=62時，利潤函數P（x）取得最大值. 也就是說，當邊際收入函數等于邊際成本函數時，企業獲得最大利潤. （如圖7所示）

（6）邊際函數對企業生產決策有哪些幫助？

生：邊際利潤函數的主要用途：①決定企業的某個產品是否應該停產.當產品的邊際利潤函數值是負數時，就要考慮停產該產品. ②判斷企業產品結構是否合理.若所有產品均有邊際利潤，說明產品結構是合理的.

結語

深入了解學生的內在需求，不斷激發學生的求知欲望，有效提升學生的數學素養是數學教育的任務和目標. 因此，無論選擇哪種版本的教材，我們都要理解教材的思想、精神、靈魂;要依據學生思維活動的水平、思維活動的發展規律，細化某些環節的學習“過程”，切實有效地將“教材”變為“學材”.

參考文獻：

[1]? 史寧中，王尚志. 普通高中數學課程標準（2017年版）解讀[M]. 北京：高等教育出版社，2018.

[2]? 李善良. 教科書：從“教”材到“學”材[J]. 中學數學月刊，2019（08）：1-4.

作者簡介：洪鑫（1983—），本科學歷，中學一級教師，江蘇省數學奧林匹克一級教練員，曾獲“杏壇杯”蘇派青年教師課堂教學展示一等獎.FA9076BA-9649-4BF9-B042-1848487C2436