借助于問題情境引導學生走上“樂學數學”“會學數學”之路

張潔

[摘? 要] 為了激發學生數學學習興趣，提高教學有效性，引導學生走上“樂學數學”“會學數學”之路，在高中數學教學中必須重視問題情境的創設，進而借助于熟悉的、生活化的情境激發學生的探究欲，借助于啟發性情境、發現性情境促進學生的思維能力、學習能力全面提升.

[關鍵詞] 問題情境;思維能力;學習能力

面對數學學習很多學生是被動的、消極的，因為學生常感覺數學是枯燥無味的，很難激起學習的熱情. 因此，為了調動學生學習的積極性，激發學生的探究欲，筆者認為，在高中數學教學中要重視問題情境的創設，讓學生借助于情境自然地融入數學學習，進而淡化數學的抽象感，消除學生的厭學情緒，增強學習信心，提升學習能力.

[?] 借助于熟悉的情境激發探究欲

從學生熟悉的素材出發創設問題情境，選取與學生息息相關的問題，可拉近學生與問題的距離，使問題情境更具“親和力”，進而更容易使學生產生探究欲，使學生興趣盎然地投入學習，有助于學習效率的提升.

案例1 “平均數”的應用.

某區高三共有學生4000人，在某區組織的一模考試5道填空題中，前3題為必做題，第4題和第5題為選做題，這5道填空題的得分如下：前3題的平均分是12分;第4題共2500人作答，平均分為3分;第5題共1500人作答，平均分為1.5分. 問：某區高三這一模考試的5道填空題的平均分為多少？

教師在講解平均數時“就地取材”，選取了學生熟悉的情境，于是學生很快得出了答案：=14.435（分）.

為了讓學生更加深入地領悟“平均數”的應用價值，教師又設計了一個變式題目：某品牌空調店經銷1匹、1.5匹、2匹三種型號的空調，6月份第二周的銷售情況如表1所示. 問：6月份第二周平均每天的銷售額為多少？

題目給出后，學生很快得到平均每天的利潤為≈785.7（元），進而得出“平均每天的利潤=總利潤÷總天數”.

平均數有著廣泛的應用，教學中教師可精選一些學生看得見的、摸得著的、熟悉的問題情境來激發學生的求知欲，進而達到夯實基礎、激發興趣的目的.

[?] 借助于啟發性情境發展數學思維

雖然表面上看直接灌輸更加高效，然若在知識生成的關鍵點上缺乏思維過程，則將難以形成學習能力，因此可以在知識形成的“關鍵點”或“連接點”處創設啟發性情境，讓學生經歷猜想、聯想、驗證等思維過程促進學習能力提升.

案例2 已知在△ABC中，角A，B，C所對應的三邊a，b，c成等比數列.

（1）求角B的最大值.

（2）滿足三邊a，b，c成等比數列的△ABC是否唯一？

求解第（1）問較簡單，即由a，b，c成等比數列可得b2=ac，所以cosB==≥=，所以0<B≤. 所以角B的最大值為（當且僅當a=c時，取“=”），取“=”時，△ABC為等邊三角形.

求解第（2）問時教師采用了小組合作的模式進行，通過“探究”將問題引向深處，激發學生學習的熱情. 探究后學生給出了這樣的猜想：

生1：當三邊a，b，c分別取1，2，4或1， 3，9或1，，時都不能構成三角形，猜想這個三角形應該是唯一的.

師：很大膽的想法，那你能夠用什么方法加以證明呢？（生1表示不能證明）

師：大家思考一下cosB的取值范圍，看看是否能聯想到什么呢. （教師及時引導，很快有了答案）

生2：由-1<cosB<1，得-1<<1，解得<<. 只要滿足<<這個條件，就會存在滿足三邊a，b，c成等比數列的三角形. 比如：取a=2，c=1，則b==. 這樣可以驗證生1的猜想是不成立的，滿足該條件的三角形并不是唯一的.

本題的第（1）問學生能輕松求解，在第（2）問的求解過程中，部分學生的解題思路中斷，教師及時引導，使第（2）問更加具體化，借助于啟發性的問題，引導學生猜想、推理，進而提升了解題信心，促進了思維發展.

[?] 借助于生活化情境領悟“學以致用”

教師在問題情境創設時要盡量貼近生活，順應時代的發展，不能一成不變地照搬原有情境，那樣會使情境失去應有的活力.

隨著時代的進步，線上理財產品日益多樣化，在教學中可以創設與之相關的情境，讓學生充分體驗數學的應用價值，方便學生為家人提供更加合理的理財規劃，讓學生領會“學以致用”的樂趣，進而培養學生“用數學”的意識.

案例3 某銀行的手機銀行有這樣一個理財產品：該款理財產品是保本投資，其年化利率為5%，10萬元起售，37天到期，若共買了10萬元，37天可以獲得多少利息？

題目給出后，學生很快應用計算平均數的經驗先根據年化利率計算出每天的利息，接下來再乘37即可計算出結果. 通過富有時代感情境的設計，讓學生對理財形成了一個合理的認識，懂得何為“保本投資”，何為“風險投資”. 學習數學的目的不是單純地考一個好成績，“學以致用”才是數學學習的魅力所在. 只有讓學生體會到了“學以致用”的真正意義，學生才有興趣關注生活中的“數”，進而將其抽象為數學問題，借助于數學的概念、公式、定理來解決現實中的問題，使生活與數學相互轉化，既體驗到了“做數學”的快樂，也體驗到了“用數學”的價值，進而拓展學生數學活動的空間，發展學生的應用意識.

[?] 借助于發現性情境培養創新意識

數學學習若僅是“就題論題”，不重視拓展和延伸，那么學生的解題思路就難以拓寬，不利于解題能力的提升. 為此，在教學中教師要重視引導，充分暴露規律發現和探索的過程，進而讓學生發現問題本質，提升解題能力.

案例4 設x>0，y>0，x+y=1，則+的最小值是______.

師：若x>0，x+的最小值是多少呢？

生3：根據基本不等式公式可得x+≥2=2. 當且僅當x=時取“=”，即x=1時取“=”. 所以當x=1時，x+的最小值為2.

師：若x>0，2x+的最小值是多少呢？

生4：根據基本不等式公式可得2x+≥2=8. 當且僅當2x=時取“=”，即x=2時取“=”. 所以當x=2時，2x+的最小值為8.

師：根據上面的兩個小問題，你能得出什么規律呢？

生5：對于x>0，求ax+的最小值問題時，我們都可以應用基本不等式的思路求解.

師：只要當x>0嗎？如果求2x-的最小值，是否也適用呢？

生6：不行，因為利用基本不等式必須保證其值為正，故條件應該為x>0，a>0，b>0.

師：很好！+=

+

（x+y），該等式是否成立呢？為什么？

生7：成立，因為x+y=1，故該等式成立.

按照這個思路，學生將等式+=

+

（x+y）的右側展開，得到4+++1. 利用基本不等式公式可得4+++1≥5+2=5+4=9. 當且僅當=時取“=”，又x+y=1，所以當x=，y=時，+的最小值是9.

講解本題時教師將問題進行了拆分，搭建了一個自由、和諧的問題情境，讓學生輕松地解決小問題后成功求解. x+y=1這一已知條件的巧妙應用為基本不等式的實施奠定了基礎. 在求解本題的過程中，學生不僅收獲了成功的喜悅，而且感受到了數學方法的微妙，進而對此類問題的探究產生了濃厚的興趣. 基于此，教師及時引入了兩個變式題目，讓學生乘勝追擊，創造了下一個驚喜.

變式1：已知函數y=a1-x（a>0且a≠1）的圖像恒過點A，若點A在直線mx+ny-1=0（mn>0）上，則+的最小值為多少？

變式2：已知正項等比數列{a}滿足a=a+2a，若存在兩項a，a，使得=4a，則+的最小值為多少？

對于變式1，學生很快根據“函數y=a1-x（a>0且a≠1）的圖像恒過點A”求得點A的坐標為（1，1），又mn>0，所以m>0，n>0. 接下來，學生利用案例4的解題思路順利求解了——求出+的最小值為3+2. 變式2較案例4和變式1的難度略有增加，學生在求解時遇到了一些小阻礙，這時教師營造了幾個小問題情境加以引導.

師：變式2與原題（案例4）及變式1的結論相似，因此先想一下我們在求解這兩題時求出了什么關系，再思考變式2.

生8：應先求出m，n的等量關系.

師：如何求m，n的等量關系呢？（教師留出時間讓學生獨立思考）

生9：由已知條件“正項等比數列{a}滿足a=a+2a”可得q=2，又=4a，可得m+n=6（m>0，n>0）.

師：很好，求出m，n的等量關系為m+n=6，但等式右側不是1，該如何轉化呢？

生10：（m+n）=1.

接下來，教師請學生板演了求解過程：+=

+

·（m+n）=

5++

≥

5+2

=，當且僅當=時取“=”. 又m+n=6，所以m=2，n=4時，+的最小值為.

通過變式1和變式2的推廣，學生再遇到形如“ax+（x>0，a>0，b>0）”求最值的問題時會格外輕松. 通過問題情境的創設，學生不僅總結出了問題的一般規律，而且學會了創造，進而擁有了“以不變應萬變”的能力. 數學題目雖然是多變的，然其往往蘊含著不變的規律. 通過問題情境的創設，讓學生自己去發現不變的規律，可以使學生感覺到數學越學越有趣，越探究越顯數學的魅力，從而逐漸引導學生走上自我探究和自我創新之路.

總之，要改變數學的枯燥乏味，讓數學學習自然流暢，離不開問題情境的創設. 因此，在教學中教師要根據學生的特點和題目的特征有針對性地創設問題情境，以此提高教學的有效性.