HPM視角下“平面及其基本性質”高三專題復習教學與反思

鐘萍

[摘? 要] 在高三專題復習課“平面及其基本性質”中融入平面概念形成的三個歷史階段，即通過古希臘哲學家巴門尼德、古希臘數學家歐幾里得、德國數學家克雷爾、法國數學家傅里葉、匈牙利數學家波爾約等對平面的定義，引導學生概述出平面的特征;然后基于數學家希爾伯特的公理化體系，剖析三個公理及其推論;最后在主動探究點、線、面位置關系中，充分鍛煉空間想象能力、邏輯推理能力和數學表達能力.

[關鍵詞] HPM;平面;專題復習

[?] 教學背景

直接將空間中的基本元素——點、直線、平面之一介紹給學生，是高中數學最常見的教學方式之一. 其理論支撐就是19世紀數學家希爾伯特的幾何公理化系統，他沒有給出相應的概念，而是直接通過公理化系統定義了點、線、面的位置關系，人們廣泛接受并遵循此公理化系統. 但教學中簡單帶過平面概念會帶來一些問題：學生在多大程度上理解這些基本概念？學生能理解這些基本概念背后的數學思想嗎？再者，公理化系統是一門學科發展到一定程度經人們系統化整理后的結果和形式化的產物，正如數學教育家弗賴登塔爾（Hans Freudenthal，1905—1990）所說，“沒有一種數學思想，以它被發現時的那個樣子發表出來，一個問題被解決后，相應地也發展成一種形式化的技巧，結果火熱的思考變成了冰冷的美麗.”將平面概念直接告知學生，就會剝奪學生展開火熱思考的機會，而只能感受到數學冰冷的美麗.

有關實證研究表明，處于現代教育和不同文化背景下的我國高中學生對于平面的許多認識具有歷史相似性，正如弗賴登塔爾的論斷：“年輕的學習者重蹈人類的學習過程，盡管方式改變了.”因此數學家曾經在認識平面過程中所存在的不足以及產生的各種困惑，學生也會出現類似的現象. 基于此，筆者遵循歷史相似原理進行教學設計與施教.

[?] 平面概念的歷史及其運用

1. 平面概念的歷史發展

歷史上數學家對平面概念的認識經歷了漫長的過程，其發展大致可以分為三個階段.

（1）直觀描述性定義（古希臘時期）.

公元前5世紀的古希臘哲學家巴門尼德（Parmenides，公元前5世紀中葉左右）刻畫過平面，他認為：“平面就是一個二維對象，是直的表面.”到了公元前3世紀的歐幾里得（Euclid，約公元前330年—公元前275年），則將平面定義為“與其上的直線一樣平放著的面”. 公元1世紀的古希臘數學家海倫（Heron，公元62年左右）給出了平面的新定義：“平面是具有以下性質的面，它向四周無限延伸，平面上的直線都與之相合，且若一條直線上有兩點與之相合，則整條直線在任意位置與之相合.”顯然，古希臘時期的數學家都注意到了平面“直”的特征，然后用“直”去刻畫平面.

（2）動態構造性定義（17世紀—19世紀初）.

17世紀的德國數學家萊布尼茨（G.W.Leibniz，1646—1716）對平面給出了一個定義：“平面是具有下列性質的面……通過其上任意兩點的直線完全包含在該面上.”實際上，比較一下就發現這個定義與海倫給出的定義是完全等價的. 法國數學家傅里葉（B.J.Fourier，1768—1830）也給出了平面的構造性定義：“平面由經過直線上一點且與直線垂直的所有直線構成的.”但由于“垂直”這個概念先于平面給出，使人們有所懷疑.

在19世紀初，又有許多數學家對平面概念給出了自己的定義. 比如德國數學家克雷爾（A. L. Crelle，1780—1855）是這樣定義的：“平面是包含所有通過空間中一個定點并與另一條直線垂直的直線的面.”而高斯（C.F.Gauss，1777—1855）把平面定義為：“過一個定點，且垂直于一條直線的所有直線構成的面.”匈牙利數學家波爾約（W. Bolyai，1775—1856）把平面定義為：“一條直線繞著另一條與之垂直的直線旋轉而成的面.”

上述數學家都是從構造角度給平面下的定義，可分成兩大類：一類如萊布尼茨那樣利用對稱來構造平面，另一類如傅里葉那樣利用互相垂直或平移或旋轉來構造平面.

（3）公理化體系（19世紀中期—20世紀）.

19世紀中期后，在前面數學家關于平面的構造性定義的基礎上開始了“包含”形式的定義. 如意大利數學家皮亞諾（G. Peano，1858—1932）用不同尋常的方式把平面定義為：“給出三個不共線的三點，我們稱之為平面ABC，這一平面包含所有連接點A和直線BC上的點，點B和直線AC上的點，點C和直線AB上的點.”而德國數學家希爾伯特（D. Hilbert，1862—1943）受到數學抽象化和公理化趨勢的影響，對平面沒有進行定義，而是把它作為一個原始概念，就如同點和直線. 于是公理就這般扮演了定義的角色. 公理可決定原始概念之間的聯系，概念的意義只有在公理中才能得到體現，這樣任何衍生的概念都可由這些原始概念得到. 希爾伯特對平面概念用公理化思想進行處理后，不僅被大部分數學家接受，同時也被數學教育界接受，從而在教材中開始出現“平面”作為原始概念不加定義. 比如西蒙·紐科姆（Simon Newcomb，1835—1909）在《幾何學基礎》中就不再定義平面，而是用“像靜止的水面、光滑的地板”等描述性的語言來表示，然后直接給出三個公理.

由此可見，歷史上對平面的認知也是從低到高逐漸發展起來的，期間經歷了許多認識上的缺陷后才慢慢完善.

2. 平面史料的運用

在復習“平面及其基本性質”之前進行問卷調查，在分析學生對平面認識現狀的基礎上，從他們的認識出發，基于歷史相似性原理進行重構式教學. 結合平面概念形成的三個歷史階段，即融入古希臘哲學家巴門尼德、古希臘數學家歐幾里得、德國數學家克雷爾、法國數學家傅里葉、匈牙利數學家波爾約等對平面的定義，引導學生水到渠成地概述出平面的特征;之后基于希爾伯特的公理化體系，剖析三個公理及其推論，并在理解的基礎上討論點、線、面的位置關系.

[?] 教學設計與實施

1. 教學分析

本專題是高三數學一輪復習課，從課前的問卷調查情況進行分析，學生雖然在高二已經學習了立體幾何，但還有許多疑問：平面是如何從現實生活中逐漸抽象而來的？為什么可以把平面畫成三角形、平行四邊形或者其他平面幾何圖形？為什么可以將三個公理及其推論看成是平面的基本性質？由于三個公理及其推論的抽象性，學生將其完全融入自己的認知結構需要一定的訓練. 首先，要實現文字語言、符號語言和圖形語言的順利轉換;其次，要能判斷空間中的點、線、面的位置關系并能用洗練的語言加以描述;再次，對于點共線、線共點或點線共面問題要能想象其幾何關系，并能邏輯嚴密地進行推理. 這些都需要學生對三個公理及其推論有深刻的理解，對空間想象能力、邏輯推理能力和數學語言的表達能力等有較高的要求. 基于以上分析，為了充分發揮高三專題復習課的作用，筆者明確了本節課的教學目標和教學重難點.

教學目標：（1）鞏固和理解平面的概念，會用文字語言、符號語言和圖形語言表示平面及點、直線和平面的關系;

（2）經歷運用平面的基本性質判斷和推理空間中點、線、面的位置關系的過程，理解并能運用平面及其基本性質進行邏輯推理;

（3）經歷直觀感知、心理運算等過程，逐步歸納出平面的基本性質并學習數學家的思維，提高自身認知水平，提升數學核心素養.

教學重點：平面的基本性質——三個公理及其推論.

教學難點：運用平面的基本性質進行推理和論證.

2. 教學過程

（1）探尋發生過程，促進概念理解.

師：在幾何中最基本的概念非平面莫屬了，提到平面，同學們在生活中會聯想到哪些事物或對象？與我們高二學習的空間立體幾何中的平面有何不同？

生1：比如書面、平坦的桌面、玻璃面等.

師：嗯，很形象，再比如一碧萬頃的海平面，想象一下它的“平”和無限延展的氣勢，令人震撼！這與古希臘哲學家巴門尼德對平面的認識非常類似，巴門尼德就將平面定義為一個二維對象：它是“直”的表面.

生2：數學上的平面和我們生活中的平面有所不同，它經過了數學抽象.

師：如何抽象？課前我們發放了問卷，關于什么是平面以及怎么描述平面的概念做了書面解答. 同學們對平面的描述用“豐富多彩”來形容都不為過（大家“哈哈”大笑）. 能用合適的語言來描述什么是平面嗎？

生3：平面是平的，可以無限延展且無厚薄的幾何圖形.

師：描述得不錯，但總有一種模糊的感覺，且不確定平面是否一定存在啊. 怎么得到平面的“平”或者體現這個“平”？（這個問題一追究起來，教室一下陷入了沉默，頗為虐心?。?/p>

師：問卷中倒是有同學說“用一條直線將另外一條直線垂直撐起來，然后旋轉一周，就能體現所得平面的‘平’和‘無限延展’”. 這個想法與數學家高斯以及波爾約不謀而合，這些同學都是了不起的數學家?。〉f得再明白一點，這其實是構造平面的一種方式，這個想法的可貴之處是借助于直線的旋轉來構造平面. 那么同學們可否嘗試借助于直線的特征來描述平面的特征呢？

生4：可以借助于我們熟悉的直線來類比敘述，直線是“直得不能再直，長得不能再長，細得不能再細”的幾何圖形.與此相應，平面是“平得不能再平，寬得不能再寬，薄得不能再薄”的幾何圖形.

師：這個類比和概括非常了不起！歷史上也有許多數學家是這樣構造平面的，但顯然還是缺乏邏輯上的嚴密性. 經過不斷研究，19世紀德國數學家希爾伯特認為平面同集合一樣是一個原始概念，是一個基本元素，無法給出定義，可以用三個基本性質來刻畫它，同時又給出了三個公理及三個推論進行了描述，實現了人類對平面比較全面且科學的認識.

師：請同學們回憶并敘述平面基本性質的三個公理. （若學生用自然語言敘述不規范，教師及時糾正.）

設計意圖：從學生的日常生活和切身感受出發，結合他們的學習經驗，感受平面的概念，探尋和體驗平面概念來之不易的發展過程，體會數學家們篤學踐行、科學求真的務實精神.

（2）激發學生討論，活躍課堂氣氛.

師：德國數學家希爾伯特在其著作《幾何基礎》中將平面作為不加定義的概念，用三個公理描述了平面的基本性質. 請同學們思考：怎么用符號語言和圖形語言表達這三個公理？其推理模式是什么？有什么作用？公理3可以用來確定一個平面，除此以外，我們還可以得到它的三個推論，大家能用剛才的方法表述三個推論嗎？（課堂上充分調動學生的自主性，展開討論.）

師：為了更透徹理解平面的基本性質并能探討空間中的位置關系，請同學們展開想象的翅膀，討論以下問題：

問題1：兩個平面相交可以把空間分成4個部分，那么三個平面相交，最多可以把空間分成幾個部分？

生5：三個平面兩兩相交，當三條交線相交于同一個點時，可把空間分成8個部分.

師：非常好！請同學們將這個空間圖形畫出來，并一起交流.

問題2：將下列符號語言轉化為圖形語言：①A∈α，B∈β，A∈l，B∈l;②a?α，b?β，a∥c，b∩c=P，α∩β=c.

師：讀題、想象與畫圖，一般來說我們往往要先考慮平面，再考慮點和直線.

生6：①圖有兩種情況：α與β平行（如圖1所示），α與β相交（如圖2所示）.

生7：②如圖3所示.

問題3：若α∩β=l，A，B∈α，C∈β，試畫出平面ABC與平面α，β的交線.

生8：平面ABC與平面α的交線即直線AB，解決這道題的關鍵就是畫出平面ABC與平面β的交線. 平面ABC與平面β的相交情況取決于直線AB與平面α，β的交線l的位置關系：①當AB∥l時（如圖4所示），平面ABC與平面β的交線即過點C且與直線l平行的直線;②當AB∩l=P時（圖5所示），平面ABC與平面β的交線即直線CP.

設計意圖：引導學生用三種語言——文字語言、符號語言、圖形語言表達平面及其基本性質，增進課堂互動，激發學生大膽思考并積極討論問題1、問題2、問題3，展開空間想象的翅膀;為讓學生切身感受三個公理的重要作用，但由于三個公理及其推論學生理解起來比較抽象，因此設計具體的問題2和問題3，一是鼓勵學生用形象的思維思考三維空間中的點、線、面的位置關系，二是實現三種語言的互相轉換.

（3）經歷數學證明，發展理性思維.

師：我們能否運用三個公理及其推論分析點、線、面的位置關系？能否在大中見小，比如平面中的點與線？又以小見大、以少見多，比如兩點確定一條直線、三點確定一個平面？能否在空間與平面之間游刃有余地“降維”“升維”分析問題？能否用洗練的符號語言規范敘述？為了讓同學們能得到充分的鍛煉，請大家認真分析以下問題.

問題4：如圖6所示，△ABC在平面α外，它的三條邊所在的直線AB，BC，AC分別交平面α于點P，Q，R. 求證：點P，Q，R共線.

師：怎么分析三點共線問題？

生9：可以先由其中兩點確定一條直線，然后說明第三點在這條直線上;或者通過其他條件確定一條直線，再說明這三點都在這條直線上.

生10：設平面ABC∩α=l，由于P∈AB∩α，所以P∈l，即點P在直線l上.同理可證點Q，R在直線l上.故P，Q，R共線，共線于直線l.

問題5：正方體ABCD-ABCD中，對角線AC與平面BDC相交于點O，AC，BD相交于點M. 求證：點C，O，M共線.

師：這是在正方體中討論點、線、面的位置關系，解決的關鍵在于要在三維空間和二維平面內的點、線關系之間自如切換.

生11：如圖7所示，AA∥CC?平面AACC，AC∩BD=M?平面

BCD∩

平面

AA

CC=M

C

直線

AC∩平面

BCD=O?O在平面AACC與平面BCD的交線MC上，得證.

設計意圖：在希爾伯特的幾何公理體系下，學生應用三個公理及其推論證明了多點共線（面）、多線共面或多線共點的問題，學生歷經了抽象的“數學證明”，進行了理性的“演繹推理”，有了嚴謹邏輯推理的意識，養成了會“說理”的良好習慣.

（4）鍛煉邏輯思維，鑄就理性精神.

師：經過前面的畫圖練習，同學們充分鍛煉了空間想象能力，實現了自然語言、幾何語言與圖形語言的轉換，為促進邏輯思維能力的提升，請繼續分析以下問題.

問題6：在棱長為4的正方體ABCD-ABCD中，M，N分別是AB，CC的中點，設過D，M，N三點的平面與BC相交于點P，求PM+PN的值.

生12：如圖8所示，延長DN，DC相交于點E，連接ME交BC于點P，N為CC的中點，從而EC=CD. 又M為AB的中點，所以EC=2MB?CP∶BP=2∶1，所以CP=，BP=，所以PM+PN=+=.

問題7：在棱長為10的正方體ABCD-ABCD中，P為左側面ADDA上一點，已知點P到AD的距離為3，P到AA的距離為2，則過點P且與AC平行的直線相交的表面是（? ）

A. AABB B. BBCC

C. CCDD D. ABCD

師：在正方體ABCD-ABCD中找到與平面APC相交的表面的關鍵是什么？

生13：關鍵是根據公理2找到平面APC與正方體表面的交線. 如圖9所示，由點P到AD的距離為3，P到AA的距離為2，可得P在△AAD內，過P作PE∥AD，PF∥AA，且PE∩AA=E，PF∩AD=F. 在平面ADDA中，連接AP并延長交AD于Q，連接CQ，則EP∥AQ，則===?AQ=<10. 故點Q在線段AD上，所以線段QC在四邊形ABCD內. 過P作PR∥AC交QC于R，顯然點R在四邊形ABCD內，即過點P且與AC平行的直線相交的表面是ABCD.

設計意圖：以熟悉的正方體為載體，以經驗直觀為基礎，以三大公理為依據，鍛煉學生在空間中運用平面的基本性質解決實際問題的能力，提升學生空間想象能力與邏輯思維能力.

[?] 教學反思

本專題選擇了高三復習階段易被一筆帶過的概念“平面”，該案例的數學史價值主要體現在：

（1）重構式教學融入了平面概念發展的三個歷史階段，在此基礎上水到渠成地抽象出平面的特征，又進一步提煉出希爾伯特的三大公理以及推論的體系，改變以往學生“被告知”的生硬的概念生成過程，以史為鑒、教法自然，歷史與邏輯緊密聯系，絲絲入扣，體現了“知識之諧”.

（2）基于學生對直線的認識，引導學生類比探究，發揮學生在課堂活動中的主人翁地位，主動思考平面的基本性質，并運用其性質解決相關的點、線、面的位置關系問題，充分鍛煉空間想象能力和邏輯推理能力，體現了“探究之樂”.

（3）學生通過自身對平面的認識，對比歷史上數學家的認識，同時利用平面基本性質解決相關的數學問題——總是以一種有趣且有望激發思考的方式呈現在學生眼前，喚醒學生的心靈，啟迪其智慧. 本專題教學既創造了機會讓學生體驗思考和研究的快樂，又培養了學生的學習自信心，體現了“德育之效”.