突出真實情境 聚焦數學推理

段素芬

摘? 要：PISA2022以數學為主要測評領域，數學素養直面21世紀技能. 基于PISA2022數學素養測評示例的視角，參照情境、內容、過程三個維度，于真實情境中聚焦數學推理核心能力. PISA2022為了迎接未來的挑戰和發展的理念和追求始終不變，同時也在與時俱進地思變. 審視我國數學學業測評試題的編制，建言應重視真實情境的試題構建，突出問題解決的試題主旨，加強數學推理的試題思維.

關鍵詞：PISA2022;數學素養;示例;真實情境;數學推理

PISA（Program for International Student Assessment，簡稱PISA）是由經濟合作與發展組織（The Organization for Economic Cooperation and Development，簡稱OECD）實施的每三年一輪的國際評估項目. 數學作為主要測評領域經歷了PISA2003，PISA2012，即將到來的是PISA2022. 立足于PISA2022數學素養，以試題為切入點分析PISA2022的示例特征，對我國數學學業試題編制有很大的啟示.

一、PISA2022數學素養之“隅”

PISA2022數學素養是指個體在真實世界的不同情境中進行數學推理，并表達、應用和闡釋數學解決問題的能力. 由PISA2022數學素養測評框架（如圖1）可以看出：數學推理是軸心，數學情境是背景，數學內容是載體，數學問題是指向. 突出數學推理的核心地位，強調數學情境的真實世界，重視數學內容的知識領域，關注數學問題的實際解決. 同時，PISA2022關注到世界范圍對于21世紀的知識及技能在教育中的增長，關注到教育和技能的未來.

1. 數學情境之“真”

關注現實與面向未來是PISA數學素養觀的基調. PISA測試一以貫之地重視現實世界的真實情境，關注現實世界的數學化，強調數學內容與真實情境的關聯，將對數學的理解置于現實世界的真實情境中，強調學生在具體情境中運用數學解決問題的能力. PISA2022依然延續情境的四種類型——個人情境、職業情境、社會情境、科學情境，并更加清晰地展現如下性質：第一，全面性，即基本上涵蓋了學生應對真實世界的問題;第二，層次性，即首先是最貼近學生的個人生活情境，其次是學生即將面對的職業情境，然后是學生日常生活中遇到的社會情境，最后是距離學生最遠的科學情境;第三，不連貫性，即信息技術的突飛猛進與大數據時代的迅速發展都對學生的真實世界構成了巨大影響，時代發展的跳躍性決定了現實世界真實情境的不連貫性.

2. 數學推理之“重”

從數學本質來講，任何數學問題都離不開數學推理. 數學推理（mathematical reasoning）是數學素養的核心，貫穿于解決問題的整個過程. 從實際問題中抽象數學問題，在解決問題中選擇數學方法，于詮釋問題中凝練數學表達，無一例外都涉及數學推理. 數學推理作為PISA2022數學素養的第一要素，具有深刻的內涵和意義，包括六大核心要素：（1）理解數字系統及其代數性質;（2）領會數學抽象與符號表征的意義;（3）理解數學結構及其規律;（4）識別數量之間的函數關系;（5）使用數學模型理解現實世界;（6）理解變化是統計學的核心. PISA2022將數學推理與問題解決的三個過程（數學表述、數學應用、數學詮釋）聯系在一起，凸顯數學推理的核心位置，目的是通過數學推理驅動“表述、應用、詮釋”，以反映數學問題的解決過程. PISA2022通過問題解決對學生的數學推理提出具體、明確的要求. 例如，在問題解決的“表述”維度中要求學生“在一個模型中識別關鍵變量”;在問題解決的“應用”維度中要求學生“計算新的表達式的結果”;在問題解決的“詮釋”維度中要求學生“做出簡單總結”或“給出合理的理由”等.

二、PISA2022數學示例之“貌”

PISA2022數學示例，可以幫助解釋數學素養測評框架. PISA2022將完全采用基于計算機的數學測評，所有測試題都將在計算機端呈現. 這種方式更加契合21世紀公民信息素養的訴求，同時更為生動、豐富、動態，更貼近真實世界的情境，得以在計算機上實現模擬仿真.

1. 四個示例

案例1：智能手機的使用.

表1是亞洲部分國家的人口數量與智能手機用戶數量，試回答下列三個問題.

問題1：（1）若要計算表1中D列中的結果，下面哪一個表達式是正確的？

○[BC]? ? ?○[B+CC]? ? ○[CB]? ? ?○[BB+C]

（2）點擊表2中A，B，C，D列右側的排序按鈕▽，依據此列對表格進行重新排序.

判斷表3中的表述是正確（True）還是錯誤（False）.

（3）圖2、圖3中給出9個國家的兩幅散點圖，分別以人口數量（Population，如圖2）和最低小時工資（Min hourly wage，如圖3）為橫坐標，均以智能手機用戶的比例（Proportion of smartphone users）為縱坐標.

試根據圖2選擇：國家智能手機用戶的比例是隨著哪個變量的增加而增加的？并說明理由.

○ 人口數量? ? ? ○ 最低小時工資

案例2：冪之美.

當對相同的數進行連乘時，可以用“冪”的形式來簡寫. 例如，[8×8×8×8=84]和[7×7×7×7×7×7=76.]

問題2：（1）判斷表4中的表述是正確（True）還是錯誤（False）.

（2）選擇表達式[-543+-143+543] 的計算結果.80253BB6-C083-4B3F-B36D-B6DC0592CF56

○ -1? ? ? ○ 1? ? ? ? ○ 0? ? ? ○ 5

（3）觀察如圖4所示的“7的冪”的結果中的最后一位數字，從中探索規律：

選擇[7190]的最后一位數字是：

○ 1? ? ? ○ 3? ? ? ? ○ 7? ? ? ○ 9

案例3：鋪瓷磚.

工人師傅正在用瓷磚鋪地板. 他有如圖5所示的兩種不同的瓷磚可以使用：瓷磚A和瓷磚B.

只使用瓷磚A，可以鋪出圖6;只使用瓷磚B，可以鋪出圖7.

參考圖8的圖案. 使用鼠標來拖放瓷磚A或瓷磚B，并完成下列問題.

問題3：（1）圖8的圖案是使用兩種類型的瓷磚組合創建的. 試繼續以同樣的方式來鋪地板，使用鼠標拖放瓷磚到合適的位置來完成地板的其他部分.

（2）工人師傅想給圖8的方案做一套鋪磚指令. 試將下面的幾個詞語拖放到相應的空格處，以完成可以生成圖8的指令.

[如果] [那么] [否則] [瓷磚A] [瓷磚B]

鋪磚指令：

若行 = 1至4，

則從左手邊第一塊磚開始鋪：

如果行是奇數行，

那么第一塊磚鋪?? ，

否則第一塊磚鋪?? ;

然后繼續往右鋪：

如果左面的是?? ，

接著靠右鋪?? ，

就鋪?? .

接下來繼續鋪.

（3）參考圖9的“平鋪圖案”，點擊選項回答下列問題.

工人師傅希望能夠預測在網格上的任何位置是哪種瓷磚. 例如，他想知道在標記的位置（m，n）上是哪一種類型的瓷磚. 觀察圖9的規律，特別是用邊框標出的4塊瓷磚，從表5的選項中選擇正確的規則，以預測網格位置為（m，n）的瓷磚類型.

（4）另一種描述圖案規律的方法是在相應的網格位置上寫出與每塊瓷磚對應的字母. 用字母來記錄如圖10所示的瓷磚的圖案，如圖11所示.

圖13是使用如圖12所示的B和C兩種瓷磚組合創建的.

觀察圖13的鋪設規律. 圖13、圖14中用邊框標出的部分是對應一致的. 試在圖14的網格中用字母B或字母C來記錄用邊框標出的部分內的每個位置的瓷磚類型.

（5）圖15是某種圖案中的一部分，這個區域是由如圖16所示的三種瓷磚組合創建的：瓷磚A、瓷磚B和瓷磚C.

表6中哪個字母表示正確描述了圖15中圖案的一個3 × 3的瓷磚單元？

案例4：購買決策.

Andrea準備從網上購買一副新耳機. 但是，網上對該耳機的評論的總數較少，且該產品收到了許多差評：1星和2星的評論共占25%（如圖17）.

網上對該耳機的評價

為了決定是否購買該產品，Andrea研究了1星和2星的所有評價，發現這些評價與產品的質量或功能沒有關系. 她將1星和2星的差評進行匯總并概括（如表7）.

Andrea查看了所有用戶的評價，發現只有1星和2星的評價用戶對產品質量差、產品送達延遲或根本沒有送達進行了評價. 試利用已知信息和電腦內置的計算器解答下面的問題.

問題4：（1）關于產品質量差的評價所占的百分比是多少？所有1星和2星的評價中，耳機延遲送達或根本沒有送達所占的百分比是多少？

（2）Andrea擔心耳機會延遲送達或不送貨. 根據表7的信息，發生這樣的情況的可能性有多大？試用分數或百分比的形式來表述你的答案.

2. 分析與思考

PISA測評一直貫徹從情境、內容和過程三個維度測評學生的數學素養. 數學情境是測試題的嵌入之處，數學內容是測試題的素材和載體，數學過程是將情境與內容相互聯系進而解決問題的核心所在，三個維度相互關聯、相互融合. 參照PISA2022數學示例中的情境、內容和過程，可在變與不變中尋得PISA測評理念的始終堅守和與時俱進.

（1）變中之不變——突出真實情境.

PISA2022數學情境仍突出真實性、豐富性、創新性. 真實性是情境性的首要條件，體現在將數學問題置于學生熟悉的真實生活環境之中，注重學生熟悉的、直接的生活經驗在問題解決中的基礎性和引導性作用. 情境越真實，越能有效地測評學生對生活、社會和科技的關注及真實體驗. 例如，PISA2022數學示例中的智能手機、鋪瓷磚、網上購物都是學生生活中的真實情境. 測試題就是學生真實的學習與生活的實際場景，緊緊圍繞“數學無處不在，就在我們身邊”的測評理念. 豐富性體現在測試情境能靈活、新穎地將測試內容巧妙地融入學生的個人生活、工作與休閑、社區與社會、科學與技術等豐富的問題情境中. 例如，PISA2022數學示例中智能手機的使用是學生的個人生活的真實情境，但作為社會層面來講，更是社會情境普遍存在的現實情境;鋪瓷磚屬于未來職業的工作范疇，而網上購物更是現實生活中離不開的真實情境. 真實情境的多角度、全方位容易引起學生的探究興趣，進而可測學生的真實性知識和技能. 創新性是情境性面向未來的體現，PISA測評是“為迎接未來的挑戰”的測試，在測試題的獨創性和新穎性上可謂耳目一新、前瞻十足. 例如，網絡是當前學生感興趣并且接觸頻繁的重要工具，網上購物更是學生喜愛并熟悉的真實情境，大數據的時代背景更為網上購物的鑒別和判斷提供了有力依據，數學知識與技能的測評在真實與豐富中與時俱進、不斷創新.80253BB6-C083-4B3F-B36D-B6DC0592CF56

結合數學內容、強調不同主題，使得數學內容與實際情境伴隨著時代的變遷更好地結合，體現了時代更迭信息在PISA數學素養測評中的落地. 從PISA2022數學示例的數學情境、內容、主題分布（如表8）中可以看出，真實情境與具有時代性的主題內容融合是示例呈現的整體之貌. 雖然測評內容突出強調了四大主題，但PISA測評與時俱進的理念和方向一直未變，而是導向新時代的不斷演進. 這“變”中之“不變”是PISA測評一直以來的始終堅守：為了迎接未來的挑戰和發展.

（2）不變中的變——聚焦數學推理.

分析示例問題解決的過程，進一步看到PISA2022數學素養在多輪測評之后“不變”中的“變”. 首先，是對數學素養闡釋與評估的加強. PISA2022評估將降低數學素養測試對解決純數學問題的考查，也即降低了純粹數學背景下的問題思考與解決. 測試示例在指向數學與實際情境的深層次緊密結合的基礎上，更加關注數學的解釋功能. 這本身體現的是數學的角色定位：用數學來解決實際問題，即淡化技能測試的導向，突出數學解釋的功能. PISA強調“用數學”，重視數學知識和技能在社會生活中的應用，這也是現實數學教育的觀點. 這與測試題的真實情境步調一致，利用情境搭建數學世界與現實世界的橋梁，利用問題聚焦數學建模的數學過程，在解決問題的過程中重視數學對現實世界的解釋、評估和預測功能. 例如，四個示例真實的問題情境都很好地指向“用數學去解釋生活”，問題的真實情境使得數學的現實功能得以發揮. 其次，是對數學推理的重視. 從真實情境的現實問題，到用數學去解釋建模，再到數學推理的過程，這實際上是問題解決的環環相扣、層層深入. PISA2022強調數學推理貫穿于問題解決的整個過程，對數學推理的考查落實到具體測試題目中，增強了表述、應用和闡釋數學的解決問題的根本目的. 數學推理的六要素，針對數學概念、公式、關系、結構，涉及識別、領會、理解、應用，結合示例每道小題考查的數學推理要素進行分析，可得表9.

PISA2022對數學推理的重視體現在數學推理六個要素的覆蓋全面，其中對“領會數學抽象與符號表征”“使用數學模型理解現實世界”和“理解數學結構及其規律”的要素考查比例是最高的，這也很好地印證了PISA2022對“理解數學”“用數學去理解現實世界”的關注和強調. 考查數學闡釋過程中數學推理的比重最大，且對“理解數字系統及其代數性質”及“識別數量之間的函數關系”雖有考查，但對于純數學技能的考查并非PISA的主旨. 數學表述、數學應用、數學闡釋都不可缺失數學推理，數學推理是整個數學過程的軸心. 由圖18可見，數學推理貫穿數學的表述、應用和闡釋等過程，尤其在數學闡釋中占比最多，數學應用與數學闡釋兩個過程中都全面涵蓋數學推理的六個要素. 圖19顯示，數學內容的每個知識領域中都至少涵蓋3個以上的數學推理要素，數學推理以內容為載體，與數學內容相互融合. 以示例“鋪瓷磚”為例，從特殊到一般、由具體到抽象逐步升級的5個問題，都涉及“理解數學結構及其規律”和“使用數學模型理解現實世界”，其中4個問題涉及“領會數學抽象及符號表征”，這正是現實問題解決中數學推理的魅力聚焦.

三、變與不變中的啟示

PISA2022沿襲了以往測評中的不變：關注現實世界的真實情境，順應時代發展的共性理念，以未來生活需要的數學素養為根基，聚焦問題解決的數學過程. 亦在“不變”中謀“變”：不斷強化和落實數學素養中的21世紀技能，不斷修訂數學素養的多維度考量，不斷發展和突出數學素養與信息技術的整合. PISA2022在不變中始終堅守，在變中與時俱進.《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下統稱《標準》）中明確指出：數學素養是現代社會每個公民應該具備的基本素養. PISA2022數學素養的測評對數學課程改革的啟示是多方面的，涉及課程內容、課程規劃、教學過程、教學評價等，但萬變不離其宗，這個“宗”就是“以評促改”的有力武器和考試評價. 雖然理論上課程是先導，有什么樣的課程，才相應有什么樣的考試評價，但往往在實踐中，考試評價歷來被看作課程與教學的“指揮棒”，考試評價“指到哪里”，課程與教學就“打到哪里”. 而在考試評價中，最重要的莫過于試題，試題對課程與教學評價發揮著高度的導向作用. 通過對PISA2022數學示例的分析與思考，基于發展學生數學素養的訴求，需要在數學學業試題編制的“情境—問題—推理”中重點著力.

1. 重視真實情境的試題構建

PISA試題在真實情境中解決數學問題，囊括多種現實世界的真實情境，貼近學生的學習和生活實際. 學校數學課程體系，以純數學的科學邏輯為主，體現的是數學知識和邏輯，對于真實世界的呼應較少. 作為現代公民，應該在關心社會、善于思考，用數學眼光看世界，用數學能力解釋現實，用數學素養發展社會. 隨著知識經濟與信息社會的迅猛發展，學生面對的社會與時代也在瞬息萬變，創設符合時代發展的數學情境是促使學生理解數學、理解現實的必然趨勢. 基于情境視角落實數學素養的培養，首先應該重視真實情境的試題構建. 在目前的教學實踐中，一線教師依然把情境看作數學學科知識的“外衣”，其根本原因就在于“考試不考或考得少”.《標準》中設置了“綜合與實踐”模塊，但在真正的教學一線，很多教師都把這部分內容“大事化小，小事化了”了. 探及教師是否認可真實情境在數學學習中的重要性，答曰：無可厚非，毋庸置疑. 但為什么會出現理論與實踐的不統一、思想與行動的不一致呢？究其根本原因，就在于考試指揮棒的作用發揮不到位. 如果在數學學業測評中加大真實情境的試題力度，進而蔚然成風，可想而知，教學一線會對真實情境的高度重視和大力實踐.

2. 突出問題解決的試題主旨

數學一直很重要. 數學是以科學、技術和工程為創新原動力的經濟發展基礎，是理解現實世界和公民身份的基石. 不同行業對數學的需求越來越大，OECD發布的《不同行業中的數學》報告中指出，不同行業中的問題解決對數學的知識水平與能力提出了更高的要求，更加強調為適應未來社會與發展的數學素養. PISA指出：一個具有數學素養的人，能認識和理解數學在現實世界中所起的作用，能利用數學做出有根據的判斷和決策，是一個具有建設性、參與意識和反思能力的公民. 數學應該成為年輕人的基礎，就像運動、音樂和繪畫一樣，如果數學基礎堅實，人類就會更堅實. 全球數學競賽試題都是貼近實際生活的題目，“電商銷售”“外賣小哥送貨路徑”等都是運用數學知識和能力解決的實際問題. PISA測評數學素養的根本目的在于問題解決，這些問題通常是有趣而富有挑戰性的問題. 反思當前我們的數學測試題，考查純數學知識與技能的題目仍占很大比例，偶爾配套的應用題也很難引發學生的興趣，學生在知識學習的過程中見到并嘗試解決真實問題的機會也較少，對跨學科、跨領域的真問題的真思考并不多，學以致用的“真刀真槍”的磨練尤顯不足. 因此，數學課程改革中應突出問題解決的試題主旨，加強問題解決的試題導向，強化從“知識理解”到“問題解決”的試題評價理念.80253BB6-C083-4B3F-B36D-B6DC0592CF56

3. 加強數學推理的試題思維

PISA測評重視學生運用數學推理解決實際問題的能力. 在數學中，使用嚴密的邏輯推理從已知到結論需要“證到明處”“由因導果”“執果索因”，這就是最常用的數學推理. 數學教師在知識講授上較為重視學生數學推理能力的培養，但在數學學業評價試題中對知識運用推理的體現還較為薄弱. 從學生視角來看，他們不喜歡簡單計算或僅憑記憶就能解決的題目，反而很喜歡面對有趣、有意思的問題進行挑戰，而有趣、有意思的題目中往往不可缺失的是數學推理. 最常用的七種尋找正確推理方法的推理工具是：① 比較;② 比例推理;③ 應用乘法量表;④ 拆分;⑤ 歸并;⑥ 由簡入繁;⑦ 概率推理和邏輯推理. 前三種屬于數學表述的范疇，后四種屬于數學應用的范疇，都屬于數學解釋與評估的范疇. PISA2022評估框架中對數學推理的要素內涵分析及這七種推理工具，都值得對數學學業試題的編制進行很好地反思與借鑒.

每一道數學測試題雖小，但其整體卻關系到考試評價所起的“杠桿”作用，它衡量、調節甚至掌控著課程與教學的方向與實踐. 任何一個知識都由相互聯系的三部分組成：從哪里來，到哪里去，從“來”到“去”的過程. 在培養學生數學素養的課程與教學理念下，實際上這就是教學過程的三部曲：知識是怎樣產生的？知識是什么？知識有什么用？其實，教學過程的三部曲與PISA測評的三個維度也是一致的：數學試題從現實情境中來，經歷與數學內容緊密相連的數學推理過程，最后到達對現實問題的判斷、解釋、決策或評估. PISA2022是一條新的準繩，更是一面新的鏡子. 參照準繩，我們應該嚴格自身的標準;對照鏡子，我們應該更好地反觀自身. PISA2022測評的示例，對編制與時俱進的各地數學中考試題提供了很好的思路，值得借鑒. 但路漫漫其修遠兮，需要數學教育工作者們上下求索、砥礪前行.

參考文獻：

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