高中數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)文化的滲透

黃培琳

【摘要】新課程改革的落實(shí)使數(shù)學(xué)文化的滲透在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中體現(xiàn)出了重要的意義.本文以斐波那契數(shù)列為例，闡述斐波那契數(shù)列的由來(lái)和相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題，說(shuō)明數(shù)學(xué)文化的價(jià)值和作用，并建議通過(guò)課堂教學(xué)、創(chuàng)建多元化評(píng)價(jià)體系、營(yíng)造合適氛圍的方式進(jìn)行數(shù)學(xué)文化的滲透.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)文化;斐波那契數(shù)列;高中數(shù)學(xué)

一、引言

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出，在數(shù)學(xué)教學(xué)中教師應(yīng)該提升學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，用數(shù)學(xué)來(lái)觀察、思考和表達(dá)世界，幫助學(xué)生提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).數(shù)學(xué)不是為一類人而設(shè)定的，而是面向所有人的，要使所有人都能受到良好的數(shù)學(xué)教育，使得每一個(gè)不同的個(gè)體在數(shù)學(xué)方面都能得到不同的收獲.正因如此，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)目的并不是單純地要求學(xué)生對(duì)定理、定義、公式等知識(shí)的掌握，還對(duì)學(xué)生在實(shí)際生活中應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力做出了要求.新課程改革中還提出數(shù)學(xué)課程的教學(xué)應(yīng)以數(shù)學(xué)文化的滲透為主線，在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)做到以學(xué)生的發(fā)展為主要工作，落實(shí)立德樹(shù)人的根本任務(wù).教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生自主思考和學(xué)習(xí)并與他人合作進(jìn)行探索.與此同時(shí)，教師要促進(jìn)數(shù)學(xué)課程、數(shù)學(xué)文化同生活實(shí)際的融合，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，幫助學(xué)生感受和體會(huì)數(shù)學(xué)在科學(xué)、文化、應(yīng)用和審美等各個(gè)方面的重要價(jià)值.

二、數(shù)學(xué)文化概述

“數(shù)學(xué)文化”是指數(shù)學(xué)的思想、精神、語(yǔ)言、方法、觀點(diǎn)以及它們的形成和發(fā)展;還包括數(shù)學(xué)在人類生活、科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中的貢獻(xiàn)和意義，以及與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動(dòng).數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)教育等也都屬于數(shù)學(xué)文化的范疇.同時(shí)，數(shù)學(xué)與社會(huì)、其他學(xué)科以及各種文化之間的聯(lián)系也都能反映出數(shù)學(xué)文化.數(shù)學(xué)文化在我們的學(xué)習(xí)生活中隨處可見(jiàn)，只是需要我們用數(shù)學(xué)的眼光來(lái)發(fā)現(xiàn)，借此來(lái)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的理性思維模式，提高其數(shù)學(xué)素養(yǎng).因此，在由我國(guó)教育部所制定的瘙爯普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）瘙爲(wèi)中明確指出了要在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，提升應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的能力和思維的同時(shí)，也要注重?cái)?shù)學(xué)文化的滲透.數(shù)學(xué)課一般主要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的理論知識(shí)，所以數(shù)學(xué)文化的滲透應(yīng)當(dāng)以數(shù)學(xué)的理論知識(shí)為載體，在抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)上盡可能通俗易懂地滲透一些數(shù)學(xué)文化.教師一般可以以數(shù)學(xué)問(wèn)題、數(shù)學(xué)典故、數(shù)學(xué)觀點(diǎn)來(lái)滲透數(shù)學(xué)文化，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，形成數(shù)學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).本文以斐波那契數(shù)列為例，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化.

三、斐波那契數(shù)列

斐波那契數(shù)列是出現(xiàn)在普通高中教科書《數(shù)學(xué)》（選擇性必修第二冊(cè)）第四章第一節(jié)“數(shù)列的概念”的“閱讀與思考”中的內(nèi)容.其中介紹了斐波那契數(shù)列的由來(lái)和在自然界中的一些與其有關(guān)的現(xiàn)象.起初是意大利的一位知名數(shù)學(xué)家斐波那契（Leonardo Fibonacci，約1175—約1250）在1202年出版的一本著作《算盤全書》，并且他在書中收錄一個(gè)關(guān)于繁殖的問(wèn)題.在問(wèn)題中首先設(shè)1對(duì)成熟兔每月都能生1對(duì)小兔（假設(shè)每次出生的小兔都正好一雌一雄），每1對(duì)小兔都會(huì)在出生的1個(gè)月后成熟，再過(guò)1個(gè)月，成熟兔又能生出1對(duì)小兔，在所有兔都不會(huì)有生病或死亡的情況下，由第1個(gè)月第1對(duì)出生的小兔開(kāi)始，直至第12個(gè)月時(shí)一共能夠有多少對(duì)兔？

在第1個(gè)月的時(shí)候只有1對(duì)小兔而沒(méi)有成熟兔，所以共有1對(duì)兔.在第2個(gè)月的時(shí)候之前的小兔轉(zhuǎn)變?yōu)槌墒焱茫藭r(shí)共有1對(duì)成熟兔.在第3個(gè)月的時(shí)候之前的1對(duì)成熟兔此時(shí)生下1對(duì)小兔，此時(shí)共有2對(duì)兔.在第4個(gè)月的時(shí)候?qū)?huì)有1對(duì)小兔和2對(duì)成熟兔，所以此時(shí)共有3對(duì)兔.在第5個(gè)月的時(shí)候?qū)⒂袑?duì)2小兔和3對(duì)成熟兔，此時(shí)共有5對(duì)兔.以此類推，將會(huì)得到兔子總數(shù)（單位：對(duì)）為1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，….

由這個(gè)問(wèn)題所得到的數(shù)列就被稱作斐波那契數(shù)列，在這個(gè)無(wú)窮數(shù)列中的任意一個(gè)數(shù)都叫作斐波那契數(shù)，同時(shí)可以得到第n個(gè)月時(shí)兔的對(duì)數(shù)Fn的規(guī)律為 F1=F2=1，F(xiàn)n=Fn-1+Fn-2，n=3，4，5，…，一個(gè)數(shù)列，前兩項(xiàng)都等于1，從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)是其前兩項(xiàng)之和，則稱該數(shù)列為斐波那契數(shù)列.

四、自然界中的斐波那契數(shù)

就像數(shù)學(xué)文化不僅僅存在于數(shù)學(xué)這一門學(xué)科之中一樣，自然界中也存在著許許多多與斐波那契數(shù)有關(guān)的現(xiàn)象.例如，向日葵花盤中葵花子的排列就與斐波那契數(shù)有關(guān)，仔細(xì)觀察時(shí)可以發(fā)現(xiàn)向日葵花盤中的葵花子排列呈現(xiàn)為兩組對(duì)數(shù)螺線，一組為順時(shí)針、另一組為逆時(shí)針的交叉排列.這兩條方向相反相互交叉的對(duì)數(shù)螺線條數(shù)往往就為相鄰的兩個(gè)斐波那契數(shù)，一般的向日葵為順時(shí)針34條、逆時(shí)針21條，大一點(diǎn)的向日葵會(huì)有55條順時(shí)針?lè)较虻膶?duì)數(shù)螺線、34條逆時(shí)針?lè)较虻膶?duì)數(shù)螺線，更大的向日葵是144條順時(shí)針螺線、89條逆時(shí)針螺線，在自然界中甚至還發(fā)現(xiàn)過(guò)233條順時(shí)針和144條逆時(shí)針對(duì)數(shù)螺線的超大向日葵.它們都呈現(xiàn)出這樣相鄰斐波那契數(shù)的性質(zhì).除此之外，還有松果的種子也呈現(xiàn)這樣的規(guī)律.經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，這樣的排列使花子的堆集效率達(dá)到了最高.自然界中的大部分花的花瓣數(shù)也為斐波那契數(shù)或者斐波那契數(shù)的整數(shù)倍，我們常見(jiàn)的蘭花和茉莉花就都有3個(gè)花瓣，雛菊屬的植物通常有34，55或89個(gè)花瓣.近年來(lái)我們還發(fā)現(xiàn)樹(shù)枝上樹(shù)杈的數(shù)目也通常為斐波那契數(shù)，第一年、第二年都只有1杈，第三年有2杈，第四年有3杈，第五年有5杈，第六年有8杈，以這樣的形式呈現(xiàn)出斐波那契數(shù)，這種方式可以幫助植物光合作用.大自然不可能理解什么是斐波那契數(shù)列和斐波那契數(shù)，但大自然中的種種現(xiàn)象卻表明它們以斐波那契數(shù)的形式來(lái)增強(qiáng)它們的生存優(yōu)勢(shì)，這也是數(shù)學(xué)同大自然一樣的神奇之處.

五、斐波那契數(shù)列的相關(guān)問(wèn)題

自兔子問(wèn)題中抽象而來(lái)的斐波那契數(shù)列被大自然中的生物選擇的同時(shí)在許多數(shù)學(xué)問(wèn)題中也經(jīng)常出現(xiàn).例如，跳格子游戲，站在樓梯的起始點(diǎn)往上跳，從樓梯外只能先跳入第一階樓梯，每次可以往上跳一階或兩階樓梯，有多少種方法可以跳到第n階樓梯上？在這個(gè)問(wèn)題中我們可以假設(shè)有tn種方法可以跳到第n階樓梯，跳到第一階樓梯的方法只有一種，就是先跳一階，想要跳到第二階樓梯也只有一種方法，就是先跳到第一階再跳到第二階，所以可以得到t1=t2=1.由于一次只能跳一階或兩階樓梯所以想要跳到第n階樓梯，必須從第（n-1）階或第（n-2）階樓梯往上跳，我們可以知道想要跳到第n階樓梯上的方法數(shù)就是跳到第（n-1）階或第（n-2）階樓梯的方法數(shù)之和，即tn=tn-1+tn-2.由此，我們可以得出這個(gè)游戲方法數(shù)的遞推公式t1=t2=1，tn=tn-1+tn-2，n=3，4，5，….可見(jiàn)，數(shù)列tn就是斐波那契數(shù)列.

除此之外，連分?jǐn)?shù)也與斐波那契數(shù)列有關(guān)，例如，x=11+11+11+11+…，可以將其看作x=11+x把x反復(fù)代入右側(cè)，這樣我們就會(huì)得到一個(gè)只由1構(gòu)成的連分?jǐn)?shù).連分?jǐn)?shù)往往無(wú)法求得它的確切數(shù)值，所以我們一般求它的近似值.我們把它從第n條分?jǐn)?shù)線截住，把第（n+1）條分?jǐn)?shù)線上下都刪掉，就能得出這個(gè)連分?jǐn)?shù)第n次的近似值，記作unvn.以我們剛剛提到的全部由1組成的連分?jǐn)?shù)為例，可得u1v1=11， u2v2 = 11+11 = 12，u3v3 = 11+11+11 = 23， u4v4 = 11+11+11+11 = 35 .由這個(gè)規(guī)律我們可以推得unvn= 11+un-1vn-1 .u5v5 = 11+u4v4 = 11+35 = 58， u6v6 = 11+u5v5 = 11+58 =813，….

按照這個(gè)順序可以依次得到連分?jǐn)?shù)的近似值為11，12，23，35，58，813，…，un-1vn-1，unvn，…，這樣我們也可以較為直觀地看到連分?jǐn)?shù)和斐波那契數(shù)列的關(guān)系.還有許多與斐波那契數(shù)列有關(guān)的有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，如黃金矩形等，這里就不再一一列舉了.

六、教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化的建議

（一）在數(shù)學(xué)課堂上滲透數(shù)學(xué)文化

在傳統(tǒng)意義的理解上數(shù)學(xué)課堂一般是枯燥、乏味的，且數(shù)學(xué)的知識(shí)都是較為抽象的，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科中這些難以理解和較為抽象的數(shù)學(xué)的公式、定理、定義都有較大的排斥心理和情緒.這些可能會(huì)使學(xué)生難以理解教師所教授的內(nèi)容或喪失學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣.因此，教師在數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)過(guò)程中可以采用合理的方式方法適當(dāng)?shù)貪B透一些數(shù)學(xué)文化內(nèi)容，以此激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行了解和學(xué)習(xí)的興趣.例如，在學(xué)習(xí)函數(shù)內(nèi)容的時(shí)候，教師可以從函數(shù)的起源講起，函數(shù)最早在清代由我國(guó)的數(shù)學(xué)家李善蘭在翻譯《代數(shù)學(xué)》一書時(shí)所譯出，他將function翻譯成函數(shù)，這是我國(guó)使用函數(shù)一詞的開(kāi)端，并且函數(shù)這一概念最早由萊布尼茨提出，最初這位數(shù)學(xué)家用函數(shù)來(lái)表示冪，后來(lái)慢慢地就形成了我們現(xiàn)在所學(xué)習(xí)的函數(shù).這樣一來(lái)，教師通過(guò)一些數(shù)學(xué)史的小故事可以吸引學(xué)生的注意力，讓學(xué)生更有興趣學(xué)習(xí)新的概念和知識(shí).教師還可以通過(guò)引入一些日常生活中的例子，如買東西時(shí)所花的費(fèi)用和所購(gòu)買的物品數(shù)量之間總是存在著類似于一次函數(shù)的關(guān)系，生物中的有絲分裂和物理中的自由落體通常都類似于二次函數(shù)，生活中物品總數(shù)量和人數(shù)之間往往符合反比例函數(shù)，施工中往往會(huì)用到的三角函數(shù).這些例子不僅可以體現(xiàn)出數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際生活中的應(yīng)用價(jià)值，幫助學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的用處，還能體現(xiàn)出數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生建立起數(shù)學(xué)知識(shí)與物理、生物等其他學(xué)科知識(shí)之間的聯(lián)結(jié)，構(gòu)建更加完整的知識(shí)體系和認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)概念，從而幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的價(jià)值.在學(xué)習(xí)幾何和圖形有關(guān)知識(shí)時(shí)，教師可以利用生活中相關(guān)的多種圖形通過(guò)多媒體向?qū)W生展示，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)就在我們身邊，只要細(xì)心觀察就能感受到無(wú)處不在的數(shù)學(xué)美和數(shù)學(xué)魅力.在一些章節(jié)的教學(xué)中，教師還可以通過(guò)講解數(shù)學(xué)定理和公式的由來(lái)、數(shù)學(xué)家的生平來(lái)滲透數(shù)學(xué)文化.這不僅可以最大限度地激發(fā)學(xué)生對(duì)課堂學(xué)習(xí)內(nèi)容的好奇心和探索欲望，讓學(xué)生改變對(duì)數(shù)學(xué)課程和知識(shí)枯燥乏味的刻板印象，使數(shù)學(xué)課堂變得更加生動(dòng)活潑，還可以幫助學(xué)生構(gòu)建完整的知識(shí)體系，使其數(shù)學(xué)知識(shí)掌握得更加牢固，從而為學(xué)生其他學(xué)科的學(xué)習(xí)和后續(xù)的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ).

（二）構(gòu)建多元化評(píng)價(jià)體系滲透數(shù)學(xué)文化

目前素質(zhì)教育也提倡建立目標(biāo)多元、方法多樣的評(píng)價(jià)體系，單純的數(shù)學(xué)定理、定義、公式的掌握并不能滿足目前社會(huì)所期望的人才培養(yǎng)要求，所以數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用對(duì)學(xué)生整體素質(zhì)的影響尤為重要.成績(jī)并不是唯一度量學(xué)生學(xué)習(xí)結(jié)果的指標(biāo)，許許多多的學(xué)生可能會(huì)應(yīng)用公式定理來(lái)解決試卷中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，但對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的起源、數(shù)學(xué)定理的證明、數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵一無(wú)所知，他們可能擁有較好的數(shù)學(xué)成績(jī)，但他們?nèi)鄙贁?shù)學(xué)的素養(yǎng).一味地培養(yǎng)應(yīng)試數(shù)學(xué)，對(duì)數(shù)學(xué)的思想、數(shù)學(xué)的思維模式、數(shù)學(xué)的精神沒(méi)有了解和掌握，這樣的數(shù)學(xué)是不符合素質(zhì)教育要求的數(shù)學(xué)，也是對(duì)學(xué)生后續(xù)的人生都沒(méi)有實(shí)際價(jià)值的數(shù)學(xué).素質(zhì)教育所要培養(yǎng)的是能夠全面發(fā)展的人.因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中滲透合理的數(shù)學(xué)文化不僅能夠在傳授數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)幫助學(xué)生開(kāi)闊視野，從全新的角度去了解數(shù)學(xué)、認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、構(gòu)建新的數(shù)學(xué)觀念，還能夠培養(yǎng)學(xué)生在數(shù)學(xué)中的創(chuàng)新精神和數(shù)學(xué)的理性思維，以此來(lái)增強(qiáng)學(xué)生各個(gè)方面的素質(zhì)和能力.因此，不光要對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力進(jìn)行考核，學(xué)生的創(chuàng)新能力、思維邏輯、數(shù)學(xué)素養(yǎng)等都可以成為評(píng)價(jià)學(xué)生的標(biāo)準(zhǔn)，從而建立多元化的評(píng)價(jià)體系和在教學(xué)過(guò)程中滲透數(shù)學(xué)文化是相輔相成的.

（三）營(yíng)造合適氛圍滲透數(shù)學(xué)文化

數(shù)學(xué)文化不僅存在于數(shù)學(xué)的定理、定義等知識(shí)之中，數(shù)學(xué)史，數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系、與社會(huì)的聯(lián)系以及其中所蘊(yùn)含的精神、思想、方法和思維模式中都能表現(xiàn)出數(shù)學(xué)文化，所以數(shù)學(xué)文化的滲透也可以從這些方面著手，直接突兀地宣傳數(shù)學(xué)文化可能會(huì)較為生硬，使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)并不能得到正向影響.從班風(fēng)、校風(fēng)、學(xué)風(fēng)等方面都較為容易營(yíng)造數(shù)學(xué)文化氛圍.通過(guò)在教室的文化墻上定期更新一些數(shù)學(xué)家生平、數(shù)學(xué)史中重要事件、有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題等也能潛移默化地向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)文化.在學(xué)校內(nèi)的數(shù)學(xué)家雕塑、舉辦的數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽等，學(xué)生在觀賞和參與的同時(shí)就起到了學(xué)習(xí)的作用.展示學(xué)生親手繪制的相關(guān)內(nèi)容的手抄報(bào)，在課后留下的邏輯小問(wèn)題等不僅可以使學(xué)生主動(dòng)地將注意力和精力投入到對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)中，還能鍛煉學(xué)生的動(dòng)手能力、創(chuàng)新能力和邏輯思維能力.這種潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲的方式不僅可以在不知不覺(jué)間達(dá)到滲透數(shù)學(xué)文化的目的，還能使學(xué)生不排斥對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí).其他學(xué)科課程中對(duì)于數(shù)學(xué)的應(yīng)用，如物理、化學(xué)以及生物等理科課程與數(shù)學(xué)有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，這樣通過(guò)與其他學(xué)科之間建立一定的聯(lián)系來(lái)滲透數(shù)學(xué)文化也可以幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的價(jià)值，體會(huì)到數(shù)學(xué)的重要性，使數(shù)學(xué)更加有吸引力.

七、結(jié)束語(yǔ)

在數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中滲透數(shù)學(xué)文化符合數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的理念，也是目前數(shù)學(xué)教學(xué)的一大趨勢(shì).在未來(lái)的教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化也將成為必然，而且數(shù)學(xué)文化的合理滲透可以幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的精髓，深入理解數(shù)學(xué)的概念內(nèi)涵;掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，產(chǎn)生探究數(shù)學(xué)的好奇心.因此，提高學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，同時(shí)增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新能力、應(yīng)用能力和邏輯思維能力等，幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)的理性思維，體會(huì)數(shù)學(xué)的精神，并獲得較好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，從而使學(xué)生成為更符合社會(huì)和教育目的所要求的全面發(fā)展的人.滲透數(shù)學(xué)文化的同時(shí)可以提高數(shù)學(xué)教師的教學(xué)能力，幫助教師活躍課堂，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，從而使教師和學(xué)生都終身受益.

【參考文獻(xiàn)】

[1]陳平. 高中數(shù)學(xué)文化教學(xué)現(xiàn)狀調(diào)查及對(duì)策研究[D].南寧：廣西民族大學(xué)，2019.

[2]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[3]徐進(jìn)勇.數(shù)學(xué)教學(xué)要體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2017（1）：5-8.

[4]羅奇.數(shù)學(xué)文化課堂滲透辨析：以數(shù)學(xué)教育專業(yè)為例[J].桂林師范高等專科學(xué)校學(xué)報(bào)，2019，33（6）：137-141.

[5]顧沛. 數(shù)學(xué)文化：第2版[M].? 北京：高等教育出版社，2017.