融合數學文化， 構建生命課堂

林運蓉

【摘要】七年級學生在學習有理數這一章節時，其中“實驗與探究”中的“填幻方”游戲很符合他們的年齡特點.學生在探尋游戲答案的過程通過調試數字、獲得規律能感受到數學知識的魅力.對學生來說，探究奇妙幻方的數學知識是展示數學智慧的愉悅過程.

【關鍵詞】幻方;數學文化;生命課堂

數學課堂教學中關注數學文化的滲透融合，學生能用數學眼光領悟知識中的數學思想方法;數學價值在數學知識與現代技術結合中呈現出來，學生更能深刻感受數學魅力.我們的數學課堂在“目標導航，樂趣為先，探究為重，實驗為主，素養為上”的核心引領下呈現出學習、研究、生命的凝聚力，激發師生生命潛能，提升師生互動的教學效果.下面筆者以“填幻方”為核心問題，引入幻方學習來進行說明，以期得到同行的批評與指正.

一、提出趣題，追蹤溯源

“填幻方”是人教版七年級數學第一章有理數章節中“實驗與探究”的一個課題學習，它要學生借助有理數的加法法則與運算律以及字母表示數等相關知識，使所填的數符合幻方的要求.學生在感受圖形的對稱美的同時，經歷實踐活動的過程，多角度嘗試，積累了構造三階幻方的經驗.學生對其中蘊含的規律進行分析，能學會尋找數學思考的著眼點，領悟數學思想方法.

例1 填幻方：我們要將1—9這9個數字填到三行三列的九個格子中，要求：每行、每列及兩條對角線上的和都相等.

【設計意圖】教師在給出題目后布置了兩個任務：一是會填，二是找其歷史來源.

（一）洛書的傳說

相傳大禹治水時期，洛陽西洛寧縣洛河中浮出長九尺的神龜，背上馱著美妙的圖案“洛書”，大禹依此治水成功，遂劃天下為九州.將1—9這9個數字填到三行三列的九個格子中，如圖1所示，使其中任意一行、任意一列及兩條對角線上的和都相等，即橫、豎、斜的三個數相加都得15（其和稱為幻和），這是世界上最早的矩陣，史稱“幻方”，其在數學上屬于三階幻方，起源于中國，是世界上第一個幻方.歐洲14世紀才開始研究幻方，比中國晚約2000年.

（二）武俠小說與幻方游戲

《射雕英雄傳》中郭靖、黃蓉兩人被裘千仞追到黑龍潭，躲進瑛姑的小屋.瑛姑雙手捧頭，苦苦思索，發問：“將一至九這九個數字排成三列，不論縱橫斜角，每三字相加都是十五，如何排法？”黃蓉回答道：“我爹爹經營桃花島，五行生克之變，何等精奧？這九宮之法是桃花島陣圖的根基，豈有不知之理？口訣為‘九宮之義，法以靈龜，戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，五居中央.”黃蓉邊說邊在沙上畫了一個九宮圖，進一步說道：“不但九宮，即使四四圖，五五圖，以至百子圖，亦不足為奇.就說四四圖吧，以十六字依次作四行排列，先以四角對換，一換十六，四換十三，后以內四角對換，六換十一，七換十，這般橫直上下斜角相加，皆是三十四.”如圖2所示.

【設計意圖】教師以洛書和《射雕英雄傳》這兩個故事為課堂導引，讓學生在查找閱讀的同時增強民族自豪感，增強學習數學的興趣.

二、有趣幻方例舉，學科育人

幻方的研究史：幻方是中國傳統游戲，自漢唐以來，統一的中國在對外經貿與文化交流過程中，幻方古算題漂洋過海，東傳日本，西播歐美.

①魔鬼幻方1：它除了每行、每列、每條對角線上4個數和相等是34以外，任意由四個方格或九個方格組成的正方形四個角4個數的和也相等，是34，真是非常奇特.（如圖3）

②魔鬼幻方2：它刻于11世紀的印度太蘇神廟石碑上，妙不可言的是把幻方邊上的行或列，挪動到一邊去，所得到的仍是一個幻方，任意四個方格中4個數的和也是34.它也稱為完美幻方.（如圖4）

③丟勒幻方：它是歐洲現存最古老的幻方，是公元1514年德國畫家丟勒在銅版畫《憂郁》上刻的圖，創作年份1514嵌入底層中間兩個數中.它的每行、每列、每條對角線上4個數和相等，都是34.（如圖5）

④玉掛幻方：上海陸家嘴公園陸深墓出土文物有一件玉掛，它的反面是一個四階泛對角幻方.（如圖6）

⑤歐拉的馬步幻方：它由1—64個自然數組成，每行或每列數的和是260，而半行或半列數的和都是130，按照國際象棋棋盤的“馬走日”的規定，從1出發，馬可以不重復走遍整個棋盤.（如圖7）

⑥六角幻方：1962年，阿當斯填出了他耗費了52年心血換來的六角幻方.1969年滑鐵盧大學阿萊爾證明得出六角幻方只有一個.（如圖8）

⑦安西王府幻方鐵板：它是元代西安受阿拉伯文化影響的重要見證，是我國數學史上應用阿拉伯數字的最早實物資料.它是1957年在西安東郊元代安西王府遺址出土的，這個六階幻方每行、每列及兩條對角線上6個數的和都是111，它是一個二次幻方，第一行和第六行6個數的平方和相等，都為3095，第一列和第六列6個數的平方和相等，都為2947.這個六階幻方去掉最外面一層，中間剩下的部分仍是一個由11—26這16個數字組成的四階幻方，這個四階幻方每行、每列以及兩條對角線上的4個數的和都是74.（如圖9）

⑧百子回歸圖：它是由1—100這100個數字組成一個十階幻方，其每行、每列、兩條對角線上10個數的和均相等，它是我國第一座數字碑，代表一部數字化的澳門簡史，中央四數連讀即“1999·12·20”，標示澳門回歸日期， “49”年中華人民共和國成立，從此中國人民站起來了;“97”年香港回歸祖國;“79”年中葡兩國正式建立外交關系，澳門主權歸屬是建交談判中的主要問題;“88”年中葡兩國互換關于澳門問題的《中葡聯合聲明》批準書，從此澳門踏上了回歸祖國的陽光大道.（如圖10）

【設計意圖】經過尋找探究奇妙的幻方，學生從中接受中國傳統數學文化的熏陶，對數學學科的思考更加深入.學生在質疑、點撥、拓展中感悟幻方的魅力.

三、構造、規律探索，掌握知識

（一）幻方的構造E1DED967-DD3A-4EB8-9231-50DDE54DC5DF

師：對幻方的構造法，你能談一談嗎？

生：我國南宋數學家楊輝是最早系統研究幻方的，他在自己著作的《續古摘奇算法》里介紹了一種幻方的構造方法：“九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出.”其意思為：只要將九個自然數按照從小到大的遞增次序斜排，然后把上、下兩數對調，左、右兩數對調，最后再把中部四數各向外面挺出，就構造出一個三階幻方.

生：從旋轉的方法來看，發現：5在中間，2，4，6，8這四個偶數在四個角，而1，3，7，9這四個奇數在以5為圓心的一個圓上.

（二）幻方的規律探尋

師：幻方的定義是什么？

生：n階幻方的定義：幻方又稱縱橫圖、奇方或方陣、魔陣等.n階幻方是把1至n2的自然數排列成正方形，使它的縱橫均有n個數，而把每行、每列，有時還包括兩條對角線上的數加起來，它們的和都是相等的，這個和叫作幻和.幻方的幻和等于 n （n2 +1） ÷2 .

師：以三階幻方為例來探索規律，你能得出哪些結論？期待你的發現，總結出規律.

生：三階幻方最中間的數是中間格（幻心），四個角為角格，還有四個數是邊格.

生：幻和是4+9+2=3+5+7=8+1+6=4+5+6=2+5+8=15，這9個數的平均數（幻心）為1+2+3+4+5+6+7+8+99=5，每對數的和：4+6=2+8=9+1=3+7=5×2=10.

生：得出規律一類：

9個數內部存在的規律：①每行、每列、每條對角線上的3個數的和都相等，并且都等于幻和.②9個數的中位數在幻方的中間格位置.③幻和是這9個數的中位數（幻方中間格的數）——幻心的3倍.④以中間格的數（幻心）為中心，與其對應的上下、左右、對角的兩個數的和分別是幻方中間格的數的2倍，每對數的連線都經過幻方中間格（即幻方的“中心”）.

生：得出規律二類：

幻方運算存在的規律：①幻方中每一個數都加上同一個數，所得的方格仍是幻方.②幻方中每一個數都減去同一個數，所得的方格仍是幻方.③幻方中每一個數都乘同一個不為0的數，所得的方格仍是幻方.④幻方中每一個數都乘同一個不為0的數后，再加上（或減去）另一個相同的數，所得的方格仍是幻方.

師：幻方中圓圈的兩個數與三角形框內的數之間有什么關系？

生：從圖中觀察發現，8是角格上的數，9和7是邊格上的兩個數，且8×2=9+7，同理2×2=3+1，4×2=1+7，6×2=3+9，從而得出：與這個角格不相鄰的兩個邊格上的數加起來的和是這個角格上的數的2倍，即：角格上的數=不相鄰兩個邊格上的數的和的一半.

【設計意圖】教師從三階幻方的構造談起，引發學生對9個數之間的規律進行細致探討，進而能自行構造出符合題意的幻方來.

四、學以致用，提升鞏固

學生對三階幻方的規律進行全方位的探尋.接下來教師可以設置循序漸進的練習，以發揮學生的數學智慧，從而使其對規律進行實質上的記憶并應用.教師嘗試設計以下題組，供學生參考.

練習1：請你將下面三組數分別填入3×3的方格中設計一個三階幻方，使得每行、每列、每條對角線上的3個數之和相等.（1）-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4.（2） 2，4，6，8，10，12，14，16，18.（3） 1，4，7，10，13，16，19，22，25.

參考答案：

練習2：挑戰幻方填空：請你在下面的3×3的方格中設計一個三階幻方，使得每行、每列、每條對角線上的3個數之和相等.你能正確填出幾個？認真思考，定能全部闖關，你是最棒的！

練習3：設計幻方大挑戰：①試一試：將9個連續偶數構造為三階幻方，其幻和是30.②想一想：構造三階幻方，幻和為48 .③做一做：編出一個三階幻方，幻和為60，有幾種？

【分析】①由幻和=中心數×3，得出中心數為10，進而得出這9個數為：2，4，6，8，10，12，14，16，18.②方法1：由幻和=中心數×3，得出中心數為16，進而得出這9個數為：12，13，14，15，16，17，18，19，20.由①啟示得，方法2：這9個數還可以為：8，10，12，14，16，18，20，22，24.③方法1：由幻和=中心數×3，得出中心數為20，進而得出這9個數為：16，17，18，19，20，21，22，23，24.方法2：這9個數為：12，14，16，18，20，22，24，26，28.方法3：這9個數為：4，8，12，16，20，24，28，32，36.還可以寫出很多種呢！

【設計意圖】三階幻方的練習是在規律的探索基礎上，學生即學即用.幻方有多種構造方法，學生嘗試得出構造方法的同時，體會數學思考的樂趣.幻方的多種構造也讓學生感悟到高中的等差數列的概念.

五、幾點反思感悟

在填幻方這一節課上，學生對幻方的研究史、奇妙的幻方有了初步的理解，但還意猶未盡.有些學生還提前查詢了幻方的其他知識，使數學視野變得更加開闊.

幻方是一種中國傳統游戲，古時在官府與學堂里常見.幻方具有智力開發功能，在《奧林匹克數學》書中是一個重要內容.幻方在數學應用領域為組合分析、實驗設計、圖論、數論、群、對策論、程序設計、人工智能等.圍棋盤是19階方陣，象棋盤是八階方陣，走法原理與幻方的布局原理有聯系.西方建筑學家勃拉東運用幻方的對稱性設計組成許多魅力的圖案.

幻方的分類：①完全幻方：每行、每列、每條對角線上的數的和相等.②乘幻方：每行、每列、每條對角線上的數的乘積相等.③反幻方：每行、每列、每條對角線上的數的和都不相等.

n階幻方中三階幻方屬于奇數階幻方，對于四階幻方這樣的偶數階幻方，它的構造是怎樣的呢？以1—16這16個數字構造四階幻方，構造①：一字排開，對角不動，上下交換，左右交換;構造②：一字排開，外對角交換，內對角交換;構造③：對構造②縱向對半切開，交換后再接起來;構造④：對構造②橫向對半切開，交換后再接起來.這4種構造的幻方的幻和都是34.

數學文化在數學歷史的長河中不斷注入前進、延伸拓展，有效使用數學史料，追尋數學的生命氣息，打造數學生命課堂，用數學眼光進行數學思維，能夠增強學生對數學的認同感，提升其數學素養.數學文化和生命課堂的和諧共處，能夠增強學生的愛國情操和文化自信，豐富數學課堂的文化底蘊.

【參考文獻】

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