邏輯推理能力在高中數學中的培養策略與教學策略分析

楊晶鳳

【摘要】在教授數學的過程中，傳授基礎知識和訓練基本技能是基礎，提高學生的數學素養是關鍵.數學教學過程是培養學生的數學思維能力，特別是培養邏輯思維能力的過程.如何才能提高邏輯推理的數學素養呢？我的回答是：首先要激發學生的學習熱情，讓學生真正喜歡邏輯推理;其次就是在教學的實際情境中讓邏輯推理在最大限度上發揮它的能力效果，以便更好地完成高中數學教學的任務. 本文以高中數學教學“函數的基本性質”中的邏輯性為例，分析了如何發展學生的邏輯推理技能，以及提高邏輯思維能力的教育戰略.

【關鍵詞】邏輯推理;高中數學;教學策略

一、引言

邏輯嚴謹是數學所具有的一個特點.通俗地說，根據已知條件能夠判斷未知條件的這種思維形式就叫作邏輯推理.它主要分為兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理的形式主要是歸納和類比;另一類是從一般到特殊的推理，并且在很大程度上是推理形式的演繹.數學中邏輯推理能力是指正確使用思維定律和思維形式來分析和綜合數學對象或數學問題的屬性，并通過推理創造的能力.其中一項能力應該是能夠完成學生所需的基礎數學的能力.它對學生的素質要求是：通過對高中數學課程的研究，使學生掌握邏輯思維的基本形式，提高思維的邏輯性，引導學生有邏輯地思考問題;能夠了解更復雜情況下的對象之間的聯系，并了解發展對象的上下文聯系;形成有力的論據、方法、品質，思維上要有邏輯性，要具備理性思維，并提高溝通技巧.邏輯推理素養有三個層次水平，學生從中必須達到能掌握一些基本命題和證明定理方法的能力，以及能用嚴謹的、準確的數學語言系統地表述論證過程的要求.

二、邏輯推理在高中數學中的教學策略分析

在數學中邏輯推理發揮的作用可以說是獨一無二的，它是高中數學課程實施的主要途徑.在人教A版高中數學必修一的第三章第二節中介紹了有關函數的基本性質，其中函數單調性的證明引入了邏輯推理的知識.以下是針對邏輯推理在“函數的基本性質”教學中提出的教學策略，讓學生在研究函數單調性的同時發展邏輯思維，在考慮這類問題時，能夠知道遵循解題的規則.

例題1 已知函數f（x）=ax+bx2+1是（-1，1）上的奇函數，且f12=25.

（1）求f（x）的解析式;

（2）判斷f（x）的單調性，并加以證明;

（3）若實數t滿足f（t-1）+f（t）>0，求t的取值范圍.

教師先要引導學生分析題目中的已知條件和隱含條件，把這些條件都一一列出來，再分析每個小題需要用到有關函數的哪些基本性質以及與那些性質相對應的概念和命題.教師在演示解題步驟的同時，要著重強調邏輯推理的書寫格式， 讓學生有循序漸進的推理基礎，并能在上一個步驟的條件下得出接下來需要用到的結論.

（1）分析：函數有兩個未知數，除了已知條件，只要學生掌握奇函數的特點，就能輕而易舉地找出題目中的另一個條件f（0）=0，從而利用待定系數法求出a，b的值.

解 （1）由已知得

f（0）=0，

f 12=25，

則

b=0，2a+4b5=25，

解得

a=1，b=0，

∴f（x）=xx2+1，x∈-1，1.

（2）分析：在第一問的基礎上，根據函數單調性的定義判斷并證明函數的單調性，需要驗證當x1f（x2）.根據實數大小關系的基本事實，只需要驗證f（x1）-f（x2）與0的大小關系.這一類題目可以用演繹推理的方法來證明，但是要明確使用演繹推理這類方法的前提.演繹推理一般是“三段論”的模式，像“若bc，ab，則ac”這種類型的推理規則稱為三段論推理.它分為三個部分：主要基礎、次要原理和推斷，俗稱大前提、小前提和結論.這類題目還要明確三段論的一般步驟：（1）①bc;②ab;③得出結論ac.

（2）函數f（x）在-1，1上單調遞增.

解 證明如下：任取x1，x2∈（-1，1），且x1>x2，

則

f（x1）-f（x2）

=x1x21+1-x2x22+1

=x1x22+1-x2x21+1x21+1x22+1

=x1x22-x21x2+x1-x2x21+1x22+1

=x1-x21-x1x2x21+1x22+1，

∵x1，x2∈-1，1，

∴1-x1x2>0，

又x1>x2，

∴f（x1）-f（x2）>0，

從而f（x1）>f（x2），

即函數f（x）在-1，1上單調遞增.

（3）分析：在做這種題的時候，對函數的基本性質掌握不熟練的學生第一想法可能是將t-1和t直接代入方程來求解不等式，不能充分利用題目所給出的已知條件.這樣解題就大大增加了運算難度，也間接反映出學生邏輯推理能力方面的弱點.此題可以充分利用函數的奇偶性與單調性，等價轉化不等式，解不等式可得結論.

解 （3）f（t-1）+f（t）>0可化為f（t-1）>f（-t），

即-1-t，

解得012，

∴t的取值范圍為12

例題2 已知定義在區間（0，+∞）上的函數f（x）滿足f x1x2=f（x1）-f（x2），且當x>1時，f（x）<0.

（1）求f（1）的值;3BF5A383-A483-4BF2-A7C3-556E1C681769

（2）證明：f（x）為單調遞減函數;

（3）若f（3）=-1，求f（x）在2，9上的最小值.

（1）分析：題目要求的是f（1）的值，所以可以讓學生把等式f x1x2=f（x1）-f（x2）中x1x2看成一個整體1，也就是讓x1=x2，由此可以求得f（1）的值.

解 （1）令x1=x2>0，代入f x1x2=f（x1）-f（x2）中可得

f（1）=f（x1）-f（x2）=0.

故f（1）=0.

（2）分析：根據函數單調性的定義判斷并證明函數的單調性，需要驗證當x1>x2時，f（x1）f（x2）.由題目中所給出的條件：當x>1時，f（x）<0，我們就可以令x1x2>1，然后再根據實數大小關系的基本事實，去驗證f（x1）-f（x2）與0的大小關系.這一類題目和例題1中的（2）一樣，可以用演繹推理的方法來證明，但是要明確使用演繹推理這類方法的前提.演繹推理一般是三段論的模式，像“若bc，ab，則ac”這種類型的推理規則稱為三段論推理.它分為三個部分：主要基礎、次要原理和推斷，俗稱大前提、小前提和結論.這類題目還要明確三段論的一般步驟：①bc;②ab;③得出結論ac.

證明 （2）任取x1，x2∈（0，+∞），且x1>x2，則x1x2>1，

由于當x>1時，f（x）<0.

所以f x1x2<0，即f（x1）-f（x2）<0.

因此f（x1）

所以函數f（x）在區間（0，+∞）上是單調遞減函數.

（3）分析： 根據第二問的結論，我們已經得出了函數的單調性，而且題目中已經明確給出了函數自變量的取值范圍，所以我們就利用題目中已給的等式f x1x2=f（x1）-f（x2）和f（3）=-1來求最小值. 教師在教學過程中要進行適當的引導，但又不把具體的答案告訴學生，以此來吸引學生的興趣，讓學生學會充分運用已知條件進行邏輯推理，拓展學生的思維，培養其獨立解決問題的能力.

解 （3）∵f（x）在（0，+∞）上是單調遞減函數，

∴f（x）的最小值為f（9）.

∵f x1x2=f（x1）-f（x2），

∴f93=f（9）-f（3）.

∵f（3）=-1，

∴f（9）=-2.

f（x）在[2，9]上的最小值為-2.

從以上例子中我們知道：學生必須清楚邏輯推理的定義、結構、形式和要求. 數學的邏輯推理能力是考核學生數學水平的重要標志，也是數學教師必須重視的教學內容之一.因此，教師在教學過程中，主要從以下幾個方面著重培養.

（1）激發學習興趣，提升學習能力

一方面，在人格上，教師要與學生建立良好的師生關系，教學相長，共同進步，多與學生互動和交流，在發揮教師主導性的同時更要注重發揮學生的主觀能動性，使學生體驗學習的快樂，改變學習態度，進而激發學生的學習興趣，提升學習能力.另一方面，在教學內容上，教師在教學中要學會抓重點、難點及關鍵點，抓住教學內容的主要矛盾，要做好預設與生成，要從學生已有的知識經驗和現實生活出發，多從如何讓學生提升興趣的角度思考.

（2）抓住數學本質，學會舉一反三

邏輯思維的培養是數學教育的重要方面.在本質上，我們可以將思維概括為分析和綜合、推理和應用，在外在表現上就成了速度和效率.教師只有把重心放在培養學生的邏輯思維能力上，使學生對學習數學產生濃厚的興趣，以便更好地促進課程目標的實現.教師要加強對學生數學能力的培養，最重要的是對學生邏輯思維能力的培養和訓練.

首先是對學生思維敏捷性的訓練.對高中生來說，課堂是教師訓練學生思維敏捷性的主要場所.因此，教師要把更多的時間給學生，合理安排課堂教學，采用靈活多變的教學手段，合理利用感知規律，加強直觀教學的效果，從而訓練學生的思維并提高課堂教學的效率.

其次是對學生思維概括性的訓練.要想對學生進行思維概括性的訓練，教師可以在課堂教學中多設置一些討論交流環節.教師通過讓學生表達自己的想法，讓其分析和探索解決問題的各種方式，總結出解決這些問題的方法，進而訓練學生思維的概括性.

再次是對學生逆向思維的訓練.教師要引導學生學會思考面對已知過程以外的其他過程，培養學生反向看問題的習慣，善于思考事物反向的結果.在講解題目時教師要盡可能做到呈現多種解題過程，舉一反三，盡可能地拓展學生的思路.

最后是重視學生對問題的反思.通過對多名學生的訪談，我了解到許多學生在完成家庭作業或進行大量的問題解決的過程中，都嚴重缺乏問題反思的意識.學生在努力思考和解決一道數學題之后，教師必須引導學生認真思考以下問題：題目想考查的知識點是什么？將考查我們的命題和推論，知識和技能的哪些方面？所求答案是否正確？題目中規定的條件是否完全適用？這個問題還有別的解決辦法嗎？這個問題有沒有其他的解決方案？在眾多解決方案中，哪一個是最簡單的？這種思考問題的過程就是反思過程.

在整個數學理論的形成過程中都需要運用邏輯推理.在高中數學的教學過程中，教師要抓住邏輯推理的特點，即教給學生概念、命題、原理和方法.如果我們無法理解理論的本質，就無法理解如何將概念應用于具有理性的概念中去驗證結論.數學教學的重中之重是概念、原理和方法的教學.學生只要掌握了邏輯推理的基本方法，使用邏輯思維工具來進一步理解新事物和解決新問題就容易多了.要想使分析、判斷、推理之類的思考活動順利進行，前提是必須掌握數學概念、原理和方法.

三、邏輯推理能力在高中數學中的培養策略分析3BF5A383-A483-4BF2-A7C3-556E1C681769

學生邏輯推理方法的掌握，解決問題能力的提高，都要具備以下幾個方面的能力：

（1）能夠深刻理解和靈活地使用基本知識的能力.大量的知識積累是我們順利掌握邏輯推理方法的墊腳石.因此我們要做好充足的理論準備，掌握了理論知識，方法自然而然地就會運用了.

（2）發散思維.邏輯思維本身就具有很強的擴展性和靈活性，可以說它和發散思維是密切相關的，思維發散的人的邏輯性肯定是比思維不發散的人的邏輯性要強，因為思維發散的人的知識儲備量大，基礎知識更加牢固，知識運用起來更加得心應手，可以從多方面進行思維活動.當然這并不意味著知識越豐富，思維就越發散，往往還需要具備從多角度考慮問題的思想和能力，把所有可能的結果都想一遍，充分理解各事物之間的聯系.

（3）表達能力.這里的表達能力不僅包括語言表達能力，還包括書面表達能力.學生不僅能把自己心里想的用清晰的語言表達出來，還能準確無誤地在紙上寫出來.學生在進行書面表達時，要掌握命題的規律和邏輯語言符號的運用.因此，表達能力的培養對于邏輯推理能力的形成是極其關鍵的.

（4）圖形識別能力.我們將圖形與數字相結合，提出數字形式的連接思想，使學生在圖形中找到必要的條件，并根據條件畫出所需要的圖形.雖然在這篇文章中沒有提到關于幾何圖形的例子，但是它與幾何圖形還是有很大的聯系的.幾何圖形中包含許多的推理知識，對圖形是否有著深刻的認識，直接影響到問題的解決.所以，在對學生進行邏輯推理能力的培養時，我們自始至終都不要忽略對學生的圖形識別能力的培養.

[BT1]四、結束語

任何事物都是有規律的，邏輯推理也不例外.教師應該總結一些規律、技巧和方法，讓學生理解并掌握這些規律、技巧和方法，以便學生能夠順利地解題，這樣學生在做這一類題目的時候就不會因為沒有頭緒而產生恐懼心理.數學結論的過程教學并不重要，重要的是數學思維的過程.例如，教學生如何進行數學思維，特別是邏輯思維.從古代的“學以思為貴”到笛卡兒的“我思故我在”可以看出，思維能力的培養是學習過程的重中之重.學生的能力需要教師別出心裁地培育和訓練，在當今社會，教師不僅能夠傳播知識，還要能挖掘學生潛能，培育學生的智慧.學生的邏輯思維能力與教師的啟發誘導能力是成正比的.教師越會啟發，學生的自我控制力、自我學習能力和自立能力就越強，這對學生以后的發展會更有幫助.

在平時的教學中，經過較長時間的訓練和鞏固，教師一定要讓學生搞清楚題設與結論及它們之間的關系;正確進行推理的書寫，明確推理的方法.培養學生的邏輯推理能力不是一天兩天的事，需要教師和學生長期共同努力，要讓學生養成多觀察、勤動腦、多動手的習慣，要培養學生對邏輯的興趣、對推理的興趣，及時調整學生的學習策略，要幫助學生總結學習方法，要加強與學生的交流溝通.教師引導學生掌握了這些策略，也就進一步培養了學生的推理能力.

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