例談啟發性提示語在數學解題教學中的應用

劉軍

【摘 要】 經常聽到有學生說：“老師講的我都懂，但自己做就不會了.”原因在于老師沒有把“讓他自己會做”的方法教給學生，“讓他自己會做”的方法就是教給學生“解題思路是怎么想到的”，本文筆者結合三道試題的講評談談啟發性提示語在解題教學中的應用.

【關鍵詞】 數學解題;解題思路;解題教學

1 追本溯源，從源頭獲取靈感

1.1 案例回放

例1 如圖1，在正十邊形A1A2A3A4A5A6A7A8A9Aio中，連接A1A4 、A1A7，則∠A4A1A7=_____°.

師 分析此題背景，考察了什么知識點？

生 正多邊形.

師 談談對于正多邊形我們應該掌握哪些知識點？

生 我們把所有邊相等且所有角也相等的多邊形稱之為正多邊形.

師 相關的公式有哪些？

生 內角和公式為180°（n=2），外角和為360°.

師 還有哪些？

生 多邊形的每個外角的求角公式是360°/n，每個

內角的求角公式是180°-360°/n

師 還有沒有？正多邊形的每個中心角的求角公式是什么？

生 360°/n

師 此題與什么公式相關？

生 中心角公式（思考片刻）.

師 為什么？

生 如果將該正十邊形的中心記為O點，那么該正十邊形可以看作是以O為圓心，OA1為半徑的圓的

內接正十邊形，所以∠A1=1/2∠A4OA7

師 很好！能否說說此題帶給你的啟示？

生 一定要想想本題聯系的數學知識是什么，關于這個知識有哪些重要的結論，還缺少什么.當然這就必須牢記相關的概念及公式，當遇到不會解的題目時，可以將有關的公式羅列出來，一一思考，找出與本題聯系緊密的，然后依此作為突破口，進行解題嘗試.

1.2 案例感悟

遇到一個陌生的問題應該怎么去想？剛才的案例啟示我們，要教會學生善于運用一些啟發性提示語來尋求解題思路：（1）它是關于什么研究對象的問題？——問題的范疇;它要求（證）的是什么？——緊盯目標;（2）現有哪些材料？——題設中的條件;（3）已有哪些工具？

一已經學過的相關概念、命題、公式和方法;（4）還需要哪些條件？還缺少什么材料？能否從現有的材料中找到？（5）如何運用這些條件和工具？其實，這些都是我們人類本原的思想，解題教學應學會追本溯源，從源頭獲取靈感.

2 窮則思變，讓未知與己知發生關聯

2.1 案例回放

例2 如圖2，△ABC內接于⊙O，半徑為5，BC=6，CD⊥AB，則tan/ACD的值為____ ..

師 題目要求的是什么？

生 ∠ACD的正切值.

師 要求∠ACD的正切值，需構造什么三角形？

生 直角三角形.

師 圖中找得到嗎？

生 找得到∠ADC=90°，直角三角形為△ACD.

師 好，在此直角三角形中，∠ACD的正切值可以表示為？

生 AD/CD的值，

師 AD、CD的值能否求得出？

生 求不出.

師 當我們求不出的時候，怎么辦？

生 轉化（在老師的提示下）.

師 轉化成什么？是不是要與題干中的已知數據發生關聯？

生 是的.

師 觀察圖形，結合已知數據看看能否突破？需構造什么？

生 直角三角形，老師可以連接OB、OC，再過O點作BC的垂線（如圖3）.

生 還可以延長BO（或CO），利用直徑所對的圓周角等于90度.

師 很好，能否說說此題給予你的啟示？

生 在進行求解時，一定要知曉解決此問題的前提是什么，如果缺少前提，則我們需要構造輔助線，當直接求解不好求時，我們一定要學會轉化，轉化成已知數據相關聯的問題

2.2 案例感悟

美國著名數學家和數學教育家G.波利亞在<怎樣解題》中說過，解題的第一步：你必須弄清問題.已知是什么？未知是什么？要確定未知數，條件是否充分？第二步即找出已知與未知的聯系.能否轉化成一個相似的、熟悉的問題？作為教師的我們應該培養學生轉化的意識——“窮則思變，教會學生轉化的方法和目標——讓未知與已知發生關聯.

3 明察秋毫，對已知條件深加工

3.1 案例回放

例3 如圖4，坐標系中，O（0，0），A（6，6），B（1 2，O）.將△OAB沿直線CD折疊，使點A恰好落在線段OB上的點E處，若OE=24/5，則CE：DE的值是______.

師 哪位學生幫助老師把題目讀一遍.

生 坐標系中，O（0.0），A（6，6），B（12，0）.

師 好，暫停一下！結合數據說說你有哪些發現？

生 OA=OB=12.

師 除了邊之外，還有哪些發現？

生 ∠AOB=60°，噢！△ABO為等邊三角形.

師 好，非常好！繼續讀下去，

生 將△OAB沿直線CD折疊，使點A恰好落在線段OB上的點E處.

師 對于折疊問題，我們要注意找哪些問題？

生 找全等，找對應邊、對應角.

師 非常好！說說哪些邊相等，哪些角相等？

生 AC=EC、AD=ED，∠ACD=∠ECD、∠ADC=∠EDC、∠A=∠CDE.

師 很好，結合圖形以及剛才的結論，能不能進一步說說你的發現？

生 我看到了一個基本圖形（思考片刻后）.一線三等角，即“K"型相似基本圖形.

師 很好，哪兩個三角形相似？

生 △OCE∽△BED.

師 好！這個結論很關鍵，題目最后需要求解的是什么？

生 若OE= 24/5 求 CE與DE的比值.

師 CE、DE的值求得出來嗎？

生 求不出來.

師 前面我們提到了當直接求解的時候無法求解，我們可以轉化？關鍵怎么轉？

生 前面我們得到了△0CE∽△BED，所以有OC/BE=OE/BD=CE/ED，但是題目中除了OE.BE的值之外，其他的并不知道.

師 如果CE、BE的值我們用參數m.n來表示，我們有怎樣的等式？怎樣的啟示？

生 我們在讀題分析條件時，一定要對條件進行再深究、再加工，挖掘條件背后更多的東西.

3.2 案例感悟

在讀題審題時，不能儀限于接受表而的、淺層次的信息，一定要培養學生對相應的信息進行深究加工的能力，從而挖掘條件背后更多深層次的信息.讀題不是文字的簡單瀏覽和思想上的一掠而過，而應是深究：由題設中的條件能夠推出什么？還能推出什么？題日中還有什么隱含條件或基本圖形？中途結論之間有什么關系？它們可以怎樣利用？通過學會深究題意從而尋求解題思路，幫助學生積累思維的經驗，提高分析問題、解決問題的能力.

4 結語

解題教學的重點不在于“解題”，而在于“學解題”.“學解題”的核心在于“學思路的尋找”，即讓學生學會如何思考，關鍵在于有意識地應用一些啟發性提示語，解題的啟發性提示語可以為解題提供有效的指導思維操作的程序.