初中二年級 第2試

一、選擇題

1.化簡代數式3+22+3-22的結果是（）

（A） 3.（B） 1+2.

（C） 2+2.（D） 22.

2.已知多項式ax3+bx2+cx+d除以x-1時，所得的余數是1，除以x-2時所得的余數是3，那么多項式ax3+bx2+cx+d除以（x-1）（x-2）時，所得的余式是（）

（A） 2x-1.（B） 2x+1.

（C） x+1.（D） x-1.

3.已知a<1且a-ba+b=a，那么（）

（A） ab<0.（B） ab>0.

（C） ab≤0.（D） a+b<0.

4.若|a|<|c|， b=a+c2， |b|<2|a|， S1=a-bc，S2=b-ca，S3=a-cb，則S1、 S2、 S3的大小關系是（）

（A） S1S2>S3.

（C） S1S3>S2.

5.若一個三角形的一個外角的平分線平行于三角形的一條邊，則此三角形肯定是（）

（A） 直角三角形. （B） 等邊三角形.

（C） 等腰三角形.（D） 等腰直角三角形.

6.若△ABC的三邊長是a、b、c，且滿足a4=b4+c4-b2c2，b4=c4+a4-a2c2，c4=a4+b4-a2b2，則△ABC是（）

（A） 鈍角三角形. （B） 直角三角形.

（C） 等腰直角三角形.（D） 等邊三角形.

7.平面內有n條直線（n≥2），這n條直線兩兩相交，最多可以得到a個交點，最少可以得到b個交點，則a+b的值是（）

（A） n（n-1）.（B） n2-n+1.

（C） n2-n2.（D） n2-n+22.

圖1

8.In Fig.1， let△ABC be an equilateral triangle， D and E be points on edges AB and AC respectively， F be intersection of segments BE and CD， and∠BFC=120°， then the magnitude relation between AD and CE is （）

（A） AD>CE.（B） AD

（C） AD=CE.（D） indefinite.

（英漢詞典：equilateral 等邊的;intersection 交點;magnitude 大小，量;indefinite 不確定的）

9.已知兩個不同的質數p、q滿足下列關系：p2-2001p+m=0， q2-2001q+m=0，m是適當的整數，那么p2+q2的數值是（）

（A） 4004006.（B） 3996005.

（C） 3996003.（D） 4004004.

10.小張上周工作a小時，每小時的工資為b元，本周他的工作時間比上周減少10%，而每小時的工資數額增加10%，則他本周的工資總額與上周的工資總額相比（）

（A） 增加1%.（B） 減少1%.

（C） 增加1.5%.（D） 減少1.5%.

二、填空題

11.化簡：2+5-3230-62+43的結果是.

12.已知p、q為實數，且q>3，滿足p2q+12p-12≤3p2+4pq-4q，那么p-2q-3的值等于.

13.無理數（1+2）4的整數部分是.

14.設a、b、c均為不小于3的實數，則a-2+b+1+|1-c-1|的最小值是.圖2

15.如圖2，直線AB∥CD， ∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，則∠GHM的大小是.

16.代數式x2+4+（12-x）2+9的最小值是.

17.有大小兩個杯子，大杯中盛滿48升純酒精，第一次倒出一小杯純酒精后，用水加滿大杯，第二次又倒出一小杯混合溶液，再用水加滿大杯，這時大杯中還剩余27升純酒精，那么小杯的容積是.

18.If p and q are unequal primes， m and n are unequal positive integers satisfying m2-pm+q=0 andn2-pn+q=0，then the value of p+q is.（英漢詞典：prime 質數.）

圖3

19.如圖3，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，點D、E分別在AB、AC上，且DE⊥AB，若DE將△ABC分成面積相等的兩部分，那么線段CE與AE的長度的比是.

圖4

20.如圖4，將矩形ABCD的四個角向內折起，恰好拼成一個既無縫隙又無重疊的四邊形EFGH，若EH=3， EF=4，那么線段AD與AB的比等于.

三、解答題

21.6個排球隊參加小組循環賽，取前4名參加第二階段比賽，每賽一場，勝隊得一分，負隊不得分，且沒有平局，結果有3個隊并列第一名，1個隊得第四名，他們得到了小組出線權，請寫出各隊得分的情況，并說明理由.

22.從甲站到乙站共有800千米，開始400千米是平路，接著300千米是上坡路，余下的是下坡路，已知火車在上坡路、平路、下坡路上的速度的比是3∶4∶5.

（1） 若火車在平路上的速度是80千米/小時，那么它從甲站到乙站所用的時間比從乙站到甲站所用的時間多多少小時？

（2） 若要求火車來回所用的時間相同，那么火車從甲站到乙站在平路上的速度與乙站到甲站在平路上的速度的比是多少？

圖5

23.如圖5，等邊△ABC的邊長a=25+123，點P是△ABC內的一點，且PA2+PB2=PC2， 若PC=5，求PA、PB的長.

參考答案

一、選擇題

題號12345678910

答案DABACDDCBB

提示

1.設y=3+22+3-22，

y>0，

所以y2=3+22+23+22·

3-22+3-22

=6+29-8

=8.

所以y=22.

故選（D）.

2.設ax3+bx2+cx+d

=（x-1）（x-2）（ax+m）+px+q，

因為ax3+bx2+cx+d分別除以x-1，x-2時所得余數是1和3.

所以當x=1時，px+q=1，即p+q=1，

當x=2時，px+q=3，即2p+q=3，

解得p=2，q=-1.

所以ax3+bx2+cx+d除以（x-1）（x-2）時，所得余式是2x-1.

故選（A）.

3.因為a<1且a-ba+b=a，

所以0≤a<1，

若a=0，則a-b=0，即a=b=0與分母a+b≠0矛盾.

所以a≠0.

所以0

所以|a-b|<|a+b|，

兩邊平方，得

a2-2ab+b2

所以4ab>0，ab>0.

故選（B）.

4.因為b=a+c2，

所以S1=a-bc=a-[SX（]a+c[]2[SX）]c=a-c2c，

S2=b-ca=[SX（]a+c[]2[SX）]-ca=a-c2a，

因為|a|<|c|，

所以S1

又|b|<2|a|，

所以S3=a-cb>a-c2a=S2，

所以S1

故選（A）.

圖6

5.如圖6，△ABC中，外角∠ACD的平分線CE∥AB.

所以∠ACE=∠CAB，

∠ECD=∠ABC.

因為∠ACE=∠ECD，

所以∠CAB=∠ABC，

所以AC=BC，

所以△ABC是等腰三角形.

故選（C）.

6.在△ABC中，a4=b4+c4-b2c2，且

b4=c4+a4-a2c2，c4=a4+b4-a2b2，

三式相加得a4+b4+c4

=2a4+2b4+2c4-b2c2-a2b2-a2c2，

所以a4+b4+c4-a2b2-b2c2-c2a2=0.

所以2a4+2b4+2c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2=0.

所以（a2-b2）2+（b2-c2）2+（c2-a2）2=0.

所以a2=b2=c2，

即a=b=c，

所以△ABC為等邊三角形.

故選（D）.

7.平面內n條直線兩兩相交，最少有一個交點，而n條直線都經過一個定點有b=1.

若每兩條直線相交，交點均不重合，可以有n（n-1）2個交點，即a=n（n-1）2.

所以a+b=n（n-1）2+1=n2-n+22.

故選（D）.

8.在△BFC中，∠BFC=120°，

所以∠FBC+∠FCB=60°，

又△ABC是等邊三角形，

所以AC=BC，∠ACB=60°，

所以∠ACD=∠CBE，

在△ACD和△CBE中，

∠ACD=∠CBE，AC=BC，∠DAC=∠ECB，

所以△ACD≌△CBE，

所以AD=CE.

故選（C）.

9.由題意得p≠q，且p、q互為質數.

又p、q是二次方程x2-2001x+m=0的根，

由韋達定律得

p+q=2001，

因為p、q均為質數且p、q中有一個是奇數，另一個是偶數.

所以p、q中有一個為2，

不妨設p=2，則q=1999.

所以p2+q2=4+19992=3996005.

故選（B）.

10.小張上周的工資總額為ab元，他本周的工作時間為a（1-10%）小時，每小時工資金額為b（1+10%）.

所以a（1-10%）·b（1+10%）=0.99ab.

所以本周工資與上周工資相比，減少1%.

故選（B）.

二、填空題

題號1112131415

答案6120332+240°

題號1617181920

答案1312升56-222524

提示：

11. 2+5-3230-62+43 =2+5-3230-18+12

=2+5-3265+2-3

=126=612.

12.因為p2q+12p-12≤3p2+4pq-4q，

所以p2（q-3）+4p（3-q）-4（3-q）≤0，

所以（q-3）（p2-4p+4）≤0，

即（q-3）（p-2）2≤0，

因為q>3，

所以q-3>0，

所以（p-2）2≤0，

又（p-2）2≥0，

所以p=2.

所以p-2q-3=0.

13.1+24=（1+2）22

=（3+22）2，

又 （3+22）2+（3-22）2

=9+122+8+9-122+8

=34.

且0<3-22<1，

0<（3-22）2<1，

所以（1+2）4的整數部分是33.

14.因為a≥3，

所以a-2≥1，a-2≥1，

又b≥3，

所以b+1≥4，b+1≥2.

因為c≥3，

所以c-1≥2，c-1≥2，

所以1-c-1=c-1-1≥2-1，

所以a-2+b+1+1-c-1

≥1+2+2-1=2+2，

所以a-2+[KF（]b+1[KF）]+1-c-1的最小值是2+2.

圖7

15.如圖7，過G作RG∥AB，過點H作ST∥CD，交MN于T.

因為AB∥RG，

所以∠FGR=∠EFA

=30°，

因為RG∥SH，

所以∠SHG=180°-∠HGR

=180°-（90°-30°）

=120°.

因為HT∥CD，

所以∠HTN=∠CNP=50°.

又∠HTN是△HTM的外角，

所以 ∠MHT=∠HTN-∠HMT

=50°-30°

=20°.

∠GHM=∠GHT-∠MHT

=60°-20°=40°.

圖8

16.如圖8，作線段AB=12，在AB上取AC=x，則BC=12-x，以AC為長，2為寬作長方形ACDE，則

CE=x2+4.

在AB的另一側作長方形BCGF，使BF=3則

CF=（12-x）2+9.

所以 x2+4+（12-x）2+9=EC+CF.

由圖可知，當E、C、F不在一條直線上時，

EC+CF>EF.

當E、C、F三點在同一直線上時，

EC+CF=EF=122+52=13.

所以x2+4+（12-x）2+9的最小值是13.

17.設小杯的容積是x升，第一次倒出一小杯后，大杯中剩余純酒精為（48-x）升，加滿水后，此時酒精濃度為48-x48;第二次倒出一小杯后，大杯中剩余的純酒精為

（48-x）·48-x48（升）.

所以（48-x）·48-x48=27，

所以（48-x）2=1296，

所以48-x=36，x=12（升），

所以小杯的容積是12升.

18.因為m≠n且m，n是二次方程x2-px+q=0的根.

所以m+n=p， mn=q，

又q為質數，m、n為正整數，

所以m、n中必有一個數為1.

不妨設m=1，則1+n=p， n=q，

所以p=q+1，

又p、q均為質數，

所以q=2， p=3.

所以p+q=5.

圖9

19.如圖9，設BC=a，則

AB=2a，AC=3a，

S△ABC=12·a·3a=32a2.

在Rt△ADE中，∠A=30°.

設AE=x，則

DE=12x，AD=32x，

S△ADE=12×12x×32x=38x2，

因為S△ADE=12S△ABC，

所以34x2=32a2，

所以x=2a，

因為AC=3a，AE=2a，

所以CE=（3-2）a，

所以CEAE=3-22=6-22.

圖10

20.如圖10，將△AEH折起與△MEH重合.

所以AE=EM，

同理，將△BEF折起與△MEF重合.

所以BE=EM，

所以AE=BE，

E是AB的中點.

同理可得G是CD的中點，連結EG，

EG=[HT7][KG-1*3]∥[JX*2/3][HT]AD.

又EG是矩形EFGH的一條對角線.

所以EG=HF，AD=HF.

在矩形EFGH中，EH=3，EF=4，

所以HF=5.

所以AD=5.

又在Rt△EFH中，

S△EFH=12·EM·HF=12EH·EF.

所以EM=EH·EFHF=125.

又E是AB中點，

所以AB=2AE=2EM=245.

所以ADAB=5245=2524.

三、解答題

21.設各隊得分分別是x， x， x， y， z， w，且

x>y>z≥w≥0.

因為6個隊之間共比賽6×52=15場，

所以3x+y+z+w=15.

首先，最后兩名之間也有一場比賽，

所以z與w不可能都得0，

因而z≥1， y≥2，

即y+z+w≥3.

當y+z+w=3時，3x=15-3=12，

所以x=4， y=2， z=1， w=0.

當y+z+w>3時，y+z+w=15-3x，

則y+z+w可以被3整除，

因此y+z+w≥6，

所以3x≤9，x≤3.

因為x>y，

所以y≤2，

此時y+z+w<2+2+2=6與y+z+w≥6矛盾，

所以當y+z+w>3時無解，

因此6個隊得分分別是4， 4， 4， 2， 1， 0.

22.（1） 甲乙兩地之間的距離是800千米，開始400千米是平路，接著300千米是上坡路，所

以下

坡路是100千米，火車在平路上的速度是80千米/小時，所以火車在上坡路上的速度是60千

米/小時，在下坡路上的速度是100千米/小時.所以，火車從甲地到乙地用的時間為

40080+30060+100100=11（小時），

火車從乙地到甲地用的時間為

40080+300100+10060=923（小時），

所以從甲地到乙地用的時間比從乙地到甲地用的時間多43（小時）.

（2） 設火車從甲地到乙地在平路上的速度是4V1千米/小時，則它在上坡路上的速度是3V1千米/小時，在下坡路上的速度是5V1千米/小時，則火車從甲地到乙地用的時間為

4004V1+3003V1+1005V1=220V1小時.

同樣，設火車從乙地到甲地在平路上的速度是4V2千米/小時，則它在上坡路上的速度是3V2千米/小時，在下坡路上的速度是5V2千米/小時，則火車從乙地到甲地用的時間為

4004V2+3005V2+1003V2=5803V2小時.

依題意有220V1=5803V2，

所以V1V2=3329.

圖11

23.設△ABC、△PAB、△PBC、△PAC的面積分別是S、S1、S2、S3，線段PA、PB、PC的長分別是x、y、z，如圖11，把△APC繞點A順時針旋轉60°，得△AP′B，連結PP′，

則△APP′是等邊三角形且邊長AP=x.

因為PC2=PA2+PB2，

即z2=x2+y2，

又P′B=PC=z，

PP′=x，

所以在△PP′B中，滿足

P′B2=PP′2+PB2，

即△PP′B是直角三角形.

于是S四邊形APBP′=S1+S3

=S△P′AP+S△P′PB，

即S1+S3=34x2+12xy①

將△APB繞B順時針旋轉60°，將△APC繞C逆時針轉60°，可分別得

S1+S2=34y2+12xy②

S3+S2=34z2+12xy③

①+②+③得

S=S1+S2+S3

=1234（x2+y2+z2）+32xy

=34z2+34xy.

又S=34a2，

所以34a2=34z2+34xy，

即3xy=a2-z2④

又由已知和④得

x2+y2=25，3xy=（25+123）2-25.

所以x2+y2=25，xy=12⑤⑥

因為x>0， y>0，

解方程組得x=4，y=3;或x=3，y=4.

所以PA=4， PB=3，

或PA=3， PB=4.