直角坐標(biāo)系下圖形的面積問題

崔恒劉中學(xué)高級(jí)教師，在《數(shù)理天地》、《中小學(xué)數(shù)學(xué)》等雜志發(fā)表文章多篇，其中有兩篇論文被中國人民大學(xué)書報(bào)資料中心編輯出版的《初中數(shù)學(xué)教與學(xué)》全文轉(zhuǎn)載，喜歡研究解題和指導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)寫作。

坐標(biāo)確定位置，將圖形置于平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合函數(shù)圖象背景，幾何與代數(shù)相互滲透，數(shù)形結(jié)合，共同研究圖形的面積是中考數(shù)學(xué)試卷壓軸題中常見的問題，本文在分析2021年全國中考數(shù)學(xué)卷的基礎(chǔ)上，從中提取兩題為例，說明平面直角坐標(biāo)系下圖形面積問題的解決策略.

1 面積最值問題

例1 圖1

如圖1，在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為M2，-233，拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（4，0），點(diǎn)B（2，23）與點(diǎn)C關(guān)于y軸對稱.

（1）判斷點(diǎn)C是否在該拋物線上，并說明理由;

（2）順次連接AB，BC，CO，判斷四邊形ABCO的形狀并證明;

（3）設(shè)點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PC，AC，△PAC的面積S隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而變化，請?zhí)骄縎的大小變化并填寫表格①～④處的內(nèi)容;當(dāng)S的值為②時(shí)，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的值.

直線AC的函數(shù)表達(dá)式S取的一個(gè)特殊值滿足條件的P點(diǎn)的個(gè)數(shù)S的可能取值范圍

①64個(gè)③

②3個(gè)＼

102個(gè)④

分析 （1）已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M2，233，

設(shè)拋物線表達(dá)為

y=a（x-2）2-233，

再由拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（4，0），將A（4，0）代入拋物線表達(dá)中，得

0=a（4-2）2-233，

解得a=36，

所以拋物線的解析式為

y=36（x-2）2-233=36x2-233x，

由點(diǎn)B（2，23）與點(diǎn)C關(guān)于y軸對稱，得點(diǎn)

C（-2，23）.

當(dāng)x=-2時(shí)，代入拋物線表達(dá)得

y=36（-2-2）2-233=23，

所以點(diǎn)C在該拋物線y=36（x-2）2-233上.

圖2

（2）看圖2，直覺：四邊形ABCO是菱形.有了目標(biāo)，證明不是問題.

證明 因?yàn)锽（2，23），C（-2，23），

所以BC∥x軸，

BC=2-（-2）=4，

因?yàn)锳（4，0），

所以O(shè)A=4，BC=OA，

所以四邊形ABCO是平行四邊形，

因?yàn)镺C=（-2-0）2+（23-0）2=4，

所以O(shè)C=OA，

所以平行四邊形ABCO是菱形.

（3）①設(shè)直線AC的函數(shù)表達(dá)式為

y=kx+b，

因?yàn)锳（4，0），C（-2，23），

所以4k+b=0，-2k+b=23，

解得k=-33，b=433，

直線AC的函數(shù)表達(dá)式為

y=-33x+433.

圖3

②當(dāng)點(diǎn)P在直線AC下方的拋物線上時(shí)，如圖3，

設(shè)Pt，36t2-233t，過點(diǎn)P作PH∥y軸交直線AC于點(diǎn)H，

則Ht，-33t+433，

PH=-33t+433-36t2-233t

=-36t2+33t+433，

因?yàn)闈M足條件的P點(diǎn)有3個(gè)，

所以在直線AC下方的拋物線上只有1個(gè)點(diǎn)P，即S△PAC的值最大，

S△PAC=S△PHC+S△PHC

=12PH·[4-（-2）]=3PH

=3-36t2+33t+433

=-32（t-1）2+932，

所以當(dāng)t=1時(shí)，S△PAC取得最大值932.

③由②知，當(dāng)0

④因?yàn)闈M足條件S△PAC=S的P點(diǎn)只有2個(gè)，而在直線AC上方的拋物線上一定有2個(gè)點(diǎn)P，滿足S△PAC=S，

所以在直線AC下方的拋物線上沒有點(diǎn)P滿足S△PAC=S，

由②知，當(dāng)S>932時(shí)，在直線AC下方的拋物線上沒有點(diǎn)P滿足S△PAC=S，符合題意.

解題經(jīng)驗(yàn)積累 本題中求平面直角坐標(biāo)系中三角形的面積問題，在近幾年的全國各地中考中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)，值得我們總結(jié)積累解題經(jīng)驗(yàn)：

如圖4，過點(diǎn)B作BD⊥x軸，垂足是B1，交直線AC于點(diǎn)D，

過點(diǎn)A作AE⊥BD，垂足是E，過點(diǎn)A作AA1⊥x軸，垂足是A1，

過點(diǎn)C作CF⊥BD，垂足是F，過點(diǎn)C作CC1⊥x軸，垂足是C1，

則AE=A1B1，CF=C1B1.

圖4圖5

如圖4，S△ABC=S△ABD+S△CBD

=12×BD×AE+12×BD×CF

=12×BD×A1B1+12×BD×C1B1

=12×BD×（A1B1+C1B1）

=12×BD×A1C1

=12×（yB-yD）×（xA-xC）.

如圖5，S△ABC=S△CBD-S△ABD

=12×BD×CF-12×BD×AE

=12×BD×C1B1-12×BD×A1B1

=12×BD×（C1B1-A1B1）

=12×BD×A1C1

=12×（yB-yD）×（xA-xC）.

這種方法求平面直角坐標(biāo)系中三角形的面積問題比用割補(bǔ)法在列式上簡單一點(diǎn)，因而不易出差錯(cuò).

2 面積比問題

例2 圖6

如圖6，拋物線y=ax2+32x+c與x軸交于點(diǎn)A（1，0），B，與y軸交于點(diǎn)C（0，-2），連接AC，BC.

（1）求拋物線的表達(dá)式和直線AC的表達(dá)式;

（2）將△ABC沿BC所在直線折疊，得到△DBC，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)D是否落在拋物線的對稱軸上？若點(diǎn)D在對稱軸上，請求出點(diǎn)D的坐標(biāo);若點(diǎn)D不在對稱軸上，請說明理由;

（3）若點(diǎn)P是拋物線上位于第三象限圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，連接AP交BC于點(diǎn)Q，連接BP，△BPQ的面積記為S1，△ABQ的面積記為S2，求S1S2的值最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

分析 第1問直接用待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式，熱身題，也是為后面的問題作準(zhǔn)備;第2問沿斜線段BC所在直線折疊三角形，看上去嚇人，其實(shí)作圖準(zhǔn)、幾何直覺好的同學(xué)一眼可看出△ABC是直角三角形，將△ABC沿BC所在直線折疊，點(diǎn)D一定落在直線AC上，有了這個(gè)感覺，便有了解題的方向.第3問是本題的重點(diǎn)，求兩個(gè)三角形的面積比，新穎的問題，從圖形來看，△BPQ和BAQ如果以PQ，AQ為底計(jì)算面積，則它們的高是同一條垂線段，因此兩個(gè)三角形的面積比便轉(zhuǎn)化為線段的比，而線段的比通常與三角形的相似有關(guān)，我們構(gòu)造相似三角形，直角坐標(biāo)系中，橫平豎直方向利于用點(diǎn)的坐標(biāo)表示線段的長度.由此構(gòu)造一對相似△PGQ、△ABQ，利用相似比建立二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.

解 （1）因?yàn)閽佄锞€y=ax2+32x+c過點(diǎn)A（1，0），C（0，-2），

所以0=a+32+c，-2=c，

解得a=12，c=-2.

拋物線的表達(dá)式為

y=12x2+32x-2.

設(shè)直線AC的表達(dá)式為y=kx+b，

則k+b=0，b=-2，

解得k=2，b=-2.

直線AC的表達(dá)式為y=2x-2.

（2）點(diǎn)D不在拋物線的對稱軸上，理由是：

由拋物線的表達(dá)式為y=12x2+32x-2得點(diǎn)B坐標(biāo)為（-4，0）.

因?yàn)镺A=1，OC=2，

所以O(shè)AOC=OCOB.

又∠AOC=∠BOC=90°，

所以△AOC∽△COB.

所以∠ACO=∠CBO.圖7

從而 ∠ACO+∠BCO

=∠CBO+∠BCO

=90°，

所以AC⊥BC.

因此將△ABC沿BC所在直線折疊，點(diǎn)D一定落在直線AC上，延長AC至D，使DC=AC，過點(diǎn)D作DE⊥y軸于點(diǎn)E，如圖7.

又∠ACO=∠DCE，

所以△ACO≌△DCE（AAS）.

所以DE=AO=1，

則點(diǎn)D橫坐標(biāo)為-1，

因?yàn)閽佄锞€的對稱軸為直線x=-32.

故點(diǎn)D不在拋物線的對稱軸上.

圖8

（3）分別以PQ，AQ為底計(jì)算△BPQ和△BAQ的面積（同高不等底），如圖8，

則△BPQ與△BAQ的面積比為PQAQ，

即S1S2=PQAQ.

過點(diǎn)P作PG∥x軸交直線BC于G，

則△PGQ∽△ABQ，

所以PQAQ=PGAB=15PG，

設(shè)過點(diǎn)B，C的直線表達(dá)式為

y=px+q，

因?yàn)镃（0，-2），B（-4，0），

所以-2=q，0=-4p+q，

解得p=-12，q=-2.

所以過點(diǎn)B，C的直線解析式為

y=-12x-2.

設(shè)點(diǎn)Pm，12m2+32m-2，則點(diǎn)G的縱坐標(biāo)是12m2+32m-2，代入直線BC的解析式，得

12m2+32m-2=-12x-2，

得點(diǎn)G的橫坐標(biāo)x=-m2-3m，

所以G（-m2-3m，12m2+32m-2），

PG=-m2-3m-m=-m2-4m，

所以S1S2=PQAQ=PGAB=15PG

=15（-m2-4m）

=-15（m+2）2+45.

由于-15<0，所以當(dāng)m=-2時(shí)，S1S2的值最大，其值為45，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（-2，-3）.