圓的“切線”在中考

李孝英中教一級教師，1998年畢業于山東師范大學，1998年至今在山東省棗莊市第二中學從事數學教學工作， 棗莊市骨干教師，曾獲得棗莊市優質課一等獎，師德標兵。

在歷年各地的中考試卷中，有關圓的證明與計算型問題中，多數都涉及圓的切線，總結起來主要有以下幾種題型.

題型1 直線與圓位置關系的判定

例1 已知平面內有⊙O和點A，B，若⊙O半徑為2cm，線段OA=3cm，OB=2cm，則直線AB與⊙O的位置關系為（）

（A）相離. （B）相交.

（C）相切.（D）相交或相切.

分析 根據點與圓的位置關系的判定方法進行判斷.

解 ⊙O的半徑為2cm，線段

OA=3cm，OB=2cm，

即點A到圓心O的距離大于圓的半徑，點B到圓心O的距離等于圓的半徑，

所以點A在⊙O外，點B在⊙O上，

所以直線AB與⊙O的位置關系為相交或相切，

故選（D）.

題型2 利用切線的性質進行計算或證明

例2 圖1

如圖1，在△ABC中，AB=6，以點A為圓心，3為半徑的圓與邊BC相切于點D，與AC，AB分別交于點E，G，點F是優弧GE上一點，∠CDE=18°，則∠GFE的度數是（）

（A）50°.（B）48°.

（C）45°.（D）36°.

分析 要求圓周角∠GFE，可先求圓心角∠GAE，可以連接AD， 這樣∠GAE=∠GAD=∠DAE，而∠GAD可在Rt△BAD中求得，∠DAE可在等腰三角形ADE中求得.

圖2

解 如圖2，連接AD，因為BC與⊙A相切于點D，

所以AD⊥BC，

所以∠ADB=∠ADC=90°，

因為AB=6，

AG=AD=3，

所以AD=12AB，

所以∠B=30°，

所以∠GAD=60°，

因為∠CDE=18°，

所以∠ADE=90°-18°=72°，

因為AD=AE，

所以∠AED=∠ADE=72°，

所以∠DAE=180°-∠ADE-∠AED

=180°-72°-72°

=36°，

所以∠GAE=∠BAD+∠DAE

=60°+36°

=96°，

所以∠GFE=12∠GAE=12×96°=48°，

故選（B）.

題型3 利用添加輔助線來輔助證明圓的切線

例3 圖3

如圖3，O為線段PB上一點，以O為圓心，OB長為半徑的⊙O交PB于點A，點C在⊙O上，連接PC，滿足PC2=PA·PB.

（1）求證：PC是⊙O的切線;

（2）若AB=3PA，求ACBC的值.

分析 （1）已知條件PC2=PA·PB可轉化為

PAPC=PCPB，

能說明△PAC∽△PCB，

再根據相似三角形的對應角相等以及直徑所對的圓周角是直角證明過點C的半徑OC⊥PC.

（2）由AB=3PA可得PB=4PA，OA=OC=1.5PA，根據勾股定理求出PC=2PA，根據相似三角形的性質即可得出ACBC的值.

圖4

解 （1）如圖4，連接OC.

因為PC2=PA·PB，

所以PAPC=PCPB，

因為∠P=∠P，

所以△PAC∽△PCB，

所以∠PCA=∠B，

因為∠ACB=90°，

所以∠CAB+∠B=90°，

因為OA=OC，

所以∠CAB=∠OCA，

所以∠PCA+∠OCA=90°，

所以OC⊥PC，

所以PC是⊙O的切線.

（2）因為AB=3PA，

所以PB=4PA，

OA=OC=1.5PA，

PO=2.5PA，

因為OC⊥PC，

所以PC=PO2-OC2=2PA，

因為△PAC∽△PCB，

所以ACBC=PCPB=2PA4PA=12.

題型4 切線的性質和判定的綜合應用

例4 圖5

如圖5，AB是⊙O的直徑，過點A作⊙O的切線AC，點P是射線AC上的動點，連接OP，過點B作BD∥OP，交⊙O于點D，連接PD.

（1）求證：PD是⊙O的切線;

（2）當四邊形POBD是平行四邊形時，求∠APO的度數.

分析 （1）要證PD是⊙O的切線，應證明OD⊥PD，而由已知得∠PAO=90°，可考慮證明△PAO≌△PDO.

（2）根據全等得出PA=PD，根據平行四邊形的性質得出PD=OB，求出PA=OA，再求出答案即可.

圖6

解 （1）如圖6，連接OD，

因為PA切⊙O于點A，

所以PA⊥AB，

即∠PAO=90°，

因為OP∥BD，

所以∠DBO=∠AOP，

∠BDO=∠DOP，

因為OD=OB，

所以∠BDO=∠DBO，

所以∠DOP=∠AOP.

在△AOP和△DOP中，

AO=DO，∠AOP=∠DOP，PO=PO，

所以△AOP≌△DOP（SAS），

所以∠PDO=∠PAO，

因為∠PAO=90°，

所以∠PDO=90°，

即OD⊥PD，

所以PD是⊙O的切線;

圖7

（2）由（1）知：

△AOP≌△DOP，

所以PA=PD.

因為四邊形POBD是平行四邊形，

所以PD=OB，

因為OB=OA，

所以PA=OA，

因為∠PAO=90°，

所以∠APO=∠AOP=45°.

上述幾種題型答題的核心問題是：

1.切線的判定方法有三種：①利用切線的定義，即與圓只有一個公共點的直線是圓的切線;②到圓心距離等于半徑的直線是圓的切線;③經過半徑的外端，并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

2.證明一條直線為圓的切線時，必須兩個條件缺一不可：①過半徑外端點;②垂直于這條半徑.

3.常用輔助線的添加方法：①有切點連圓心，證垂直;②無切點作垂直，證相等.

4.利用切線的性質構造直角三角形，利用直角三角形的性質（勾股定理、三角函數等）進行計算.