從一題多解看中點的常見用法

杜會久石家莊市第四十中學數學學科一級教師，區骨干教師，所帶的學生多次在希望杯、華杯賽中獲獎，在各類國家級、省級刊物中發表多篇文章。

“中點”是初中階段幾何題目中非常常見的一個已知條件，它的用法比較多，也比較靈活，相關的基本圖形也比較多.下面借助一道幾何題目的多種解法來對中點的各種用法進行簡單的介紹.

圖1

例 如圖1，已知AB=AC=BE，CD為△ABC中AB邊上的中線，求證：CE=2CD.

1 倍長中線，構造中心對稱的全等三角形

證法1

如圖2，延長CD至點F，使DF=CD，連接AF，則

CF=2CD，圖2

在△ADF和△BDC中，

AD=BD，∠ADF=∠BDC，CD=DF，

所以△ADF≌△BDC，

所以AF=BC，

∠FAD=∠CBD，

所以AF∥BC，

所以∠ FAC+∠ACB=180°，

因為AB=AC，

所以∠ ABC=∠ ACB，

又因為∠ ABC +∠CBE=180°，

所以∠ FAC=∠CBE，

又因為AF=BC，AC=BE，

所以△FAC≌△CBE，

所以CF=CE，

又因為CF=2CD，

所以CE=2CD.

圖3

證法2 如圖3，延長CD至點F，使DF=CD，連接BF，則

CF=2CD，

在△ADC和△BDF中，

AD=BD，∠ADC=∠BDF，CD=DF，

所以△ADC≌△BDF，

所以BF=AC=BE，

∠CAD=∠FBD，

所以BF∥AC，

所以∠ FBC+∠ ACB=180°，

因為AB=AC，

所以∠ ABC=∠ACB，

又因為∠ ABC+∠EBC=180°，

所以∠ FBC=∠EBC，

又因為BF=BE，BC=BC，

所以△FBC≌△EBC，

所以CF=CE，

又因為CF=2CD，

所以CE=2CD.

2 倍長已知線段得第二個中點，構造中位線

證法3 圖4

如圖4，延長AC至點F，使CF=AC，連接BF，則

AF=2AC=2AB，

因為AB= BE，

所以AF=AE，

在△ABF和△ACE中，

AB=AC，∠A=∠A，AF=AE，

所以△ABF≌△ACE，

所以BF=CE，

因為AD=DB，CF=AC，

所以BF=2CD，

所以CE=2CD.

（本證法中也可以借助△BCF≌△CBE來證明BF=CE）

圖5

證法4 如圖5，延長BC至點F，使CF=BC，連接AF，

因為AD=DB，

CF=BC，

所以AF=2CD，

因為AB=AC，

所以∠ABC=∠ACB，

所以∠EBC=∠ACF，

在△EBC和△ACF中，

BE=AC，∠EBC=∠ACF，BC=CF，

所以△EBC≌△ACF，

所以CE=AF，

又因為AF=2CD，

所以CE=2CD.

3 取第二個中點，構造中位線

證法5 圖6

如圖6，取CE的中點F，連接BF，

因為AB=BE，

CF=FE，

所以BF=12AC=12AB，

又因為BD=12AB，

所以BF=BD，

因為AB=AC，

所以∠ABC=∠ACB，

因為AB=BE，CF=FE，

所以BF∥AC，

所以∠CBF=∠ACB，

所以∠CBF=∠ABC，

在△CBF和△CBD中，

BF=BD，∠CBF=∠ABC，BC=BC，

所以△CBF≌△CBD，

所以CF=CD，

又因為CE=2CF，

所以CE=2CD.

圖7

證法6 如圖7，取AC的中點F，連接BF，

因為AB=BE，

AF=FC，

所以BF=12CE，

因為AB=AC，

所以∠ABC=∠ACB，

因為BD=12AB，

CF=12AC，

所以BD=CF，

在△DBC和△FCB中，

BD=CF，∠ABC=∠ACB，BC=CB，

所以△DBC≌△FCB，

所以CD=BF，

又因為BF=12CE，

所以CE=2CD.

4.過已知中點作平行線，構造平行線等分線段定理的基本圖形

證法7 如圖4，過點B作BF∥DC交AC的延長線于點F，

因為AD=DB，BF∥DC，

所以AC=CF，

所以AF=2AC=2AB=AE，

在△ABF和△ACE中，

AB=AC，∠A=∠A，AF=AE，

所以△ABF≌△ACE，

所以BF=CE，

因為AD=DB，CF=AC，

所以BF=2CD，

所以CE=2CD.