從木棒的滑動說起

李先兵中學高級教師，慈溪市名師，市教壇新秀一等獎，曾公派赴澳大利亞為期100天的學習.對解題和命題深有研究，多次參與統考試題命制，曾參與2013年寧波市中考卷的命制，原創命題比賽多次在寧波市獲得一等獎，多篇論文在貴刊發表。

1 情境展示、初探端倪

圖1

著名畫家達芬奇不僅畫藝超群，同時他還是一個數學家、發明家.他曾經設計過一種圓規如圖1所示，有兩個互相垂直的滑槽（滑槽寬度忽略不計），一根沒有彈性的木棒的兩端A，B能在滑槽內自由滑動，將筆插入位于木棒中點P處的小孔中，隨著木棒的滑動就可以畫出一個圓來.若AB=20cm，則畫出的圓的半徑為cm.

思路 不妨設互相垂直的滑槽的交點為O，則∠AOB=90°，連接OP，因為P是AB的中點，所以OP是直角△AOB斜邊中線，根據“直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半”可得

OP=AB2=10cm.

2 順勢而上、通法引路

例1 圖2

如圖2，矩形ABCD放置于∠MON內.∠MON=90°，AB=8，BC=3，求OD的最大值.

思路 取AB的中點M，顯然 MO=AB2=4，

MD=5，

故當O，M，D共線時，OD取得最大值，

故OD的最大值為9.

圖3

例2 如圖3，等邊△ABC的邊長為3，兩頂點分別在坐標軸正半軸上滑動，C在第一象限，連接OC，則OC的最大值為.

思路 取AB的中點M，連接CM，顯然

MO=AB2=32，

MC=332，

故當O，M，C共線時，OC取得最大值，

故OC的最大值為3+332.

注 木棒在直角滑槽上滑動的問題，可抽象為定長線段在直角上滑動，在運動的過程中，線段中點與直角頂點間的距離為定值.上面的兩個例題中將線段改變為矩形和等邊三角形，亦或其他的固定圖形，都會保持放置于直角兩邊上的線段長為定值，進而該線段中點到所求線段兩端點的距離都為定值，當該線段中點在所求線段上時，即達最大值.

3 追根溯源、探究本質

例3 圖4

如圖4，∠AOD=30°，邊長為3的等邊△ABC的頂點A在x軸的正半軸上移動，頂點B在射線OD上隨之移動，則頂點C到原點O的距離最大值為.

思路 此問題是例2的變式拓展，即將直角改為了30°角.仿照上面的解題思路，取AB的中點M，顯然MO的長度不是定值，上述的方法行不通.為了解決這個問題，我們退回到最初的問題，△ABC退化為線段AB.

圖5

如圖5，∠AOB=30°，若AB為定長，會有定性的結論嗎？分析△ABO不難發現，∠AOB為定值，而對邊AB亦為定值，如果我們“反客為主”，將圖形理解為AB固定，頂點O運動，顯然O的運動軌跡是弧.

圖6圖7

如圖6，以AB為邊在點O 同側作等邊△ABP，以P為圓心BP為半徑畫弧BOA，顯然O點的軌跡即為BOA.同理即可解決上述問題，如圖7，作△ABO的外接圓，圓心為P.

因為∠AOB=30°，

所以△ABP為等邊三角形.

顯然PO=3，PC=33，

故當O，P，C共線時，OC達到最大值，OC的最大值為33+3.

注 一方面，當遇到問題難以解決時，我們可以退回到初始問題，將問題簡化尋求思路.另一方面，當動態元素偏多，靜態元素偏少時，我們可以利用“反客為主”，將動態的圖形理解為靜止不動，原來靜止不動的圖形運動起來，或許也可以尋得思路.例3中的問題，是將∠AOB=90°推廣到∠AOB=30°，將問題串起來發現，當∠AOB=90°時，AB的中點其實就是△AOB的外心，只是外心很容易被發現，而推廣到30°角的時候，外心就難易被發現，這也是例1和例2做起來比較順手，而例3就很難入手的原因.推而廣之，固定圖形放置于固定角度∠AOB內滑動問題，都可以利用反客為主，角的頂點軌跡即為△AOB的外接圓上一部分.