勾股定理在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用舉例

李念祖 王鵬程

李念祖現(xiàn)任教于金昌市第三中學(xué)，高級(jí)教師。于2017年9月被甘肅省人民政府授予“甘肅省優(yōu)秀班主任”、“園丁獎(jiǎng)”，主持參與省級(jí)課多項(xiàng)，撰寫(xiě)論文多篇。

王鵬程現(xiàn)任教于甘肅省金昌市第三中學(xué)，中學(xué)高級(jí)教師，教育碩士學(xué)位。擔(dān)任中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)及班主任工作二十年，有豐富的理論知識(shí)和教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，曾在國(guó)內(nèi)知名期刊上發(fā)表論文二十余篇。

勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，把數(shù)與形統(tǒng)一了起來(lái)，利用勾股定理可以解決實(shí)際生活中的許多問(wèn)題，從數(shù)學(xué)應(yīng)用的角度使學(xué)生了解到數(shù)學(xué)的發(fā)展主要依賴(lài)于生產(chǎn)實(shí)踐.本文通過(guò)以下幾種類(lèi)型的實(shí)例說(shuō)明勾股定理就在我們的身邊，數(shù)學(xué)與實(shí)際生活是緊密相連，融于一體的.

類(lèi)型1 構(gòu)造直角三角形直接應(yīng)用勾股定理

例1

如圖1所示，甲貨船以16海里/小時(shí)的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一輪船乙以12海里/小時(shí)的速度從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開(kāi)港口3小時(shí)后，甲、乙兩輪船相距多少海里？

解 如圖2所示，

因?yàn)閮纱旭偟姆较蚴菛|北方向和東南方向，

所以∠BAC=90°，

在Rt△BAC中，

AB=16×3=48，

AC=12×3=36，

所以BC=AB2+AC2

=482+362

=60（海里）.

所以甲、乙兩輪船相距60海里.

例2 八（2）班小明和小亮同學(xué)學(xué)習(xí)了勾股定理之后，為了測(cè)得風(fēng)箏的高度CE，如圖3，他們進(jìn)行了如下操作：

①測(cè)得BD的長(zhǎng)度為15米;（注：BD⊥CE）

②根據(jù)手中剩余線(xiàn)的長(zhǎng)度計(jì)算出風(fēng)箏線(xiàn)BC的長(zhǎng)為25米;

③牽線(xiàn)放風(fēng)箏的小明身高1.6米.

求風(fēng)箏的高度CE.

解 在Rt△CDB中，

由勾股定理，得

CD=CB2-BD2=252-152=20，

所以CE=CD+DE=20+1.6=21.6（米），

故風(fēng)箏的高度CE為21.6米.

注 利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，首先找出直角三角形，把實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)值轉(zhuǎn)化為直角三角形的三邊長(zhǎng)，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而用勾股定理解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.

類(lèi)型2 構(gòu)造直角三角形，連續(xù)應(yīng)用勾股定理

例3如圖4，一架2.5m長(zhǎng)的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上，這時(shí)AO為2m，如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m嗎？

解 由題意有

∠AOB=90°，

在Rt△AOB中，

OB=AB2-BO2

=2.52-22

=1.5，

因?yàn)锳C=0.5，

所以O(shè)C=OA-AC=2-0.5=1.5，

在Rt△ODC中，

OD=CD2-OC2

=2.52-1.52

=2，

所以BD=OD-OB=2-1.5=0.5（m），

所以梯子底端也外移0.5m.

例4 如圖5所示，有一根長(zhǎng)70cm的木棒，要放在長(zhǎng)、寬、高分別是50cm，30cm，40cm的長(zhǎng)方體木箱中，能放進(jìn)去嗎？為什么？

圖5圖6

解 能放進(jìn)去，理由如下：

如圖6所示，連接A1C1，AC1，

在Rt△A1B1C1中，

A1C21=A1B21+B1C21

=502+302

=3400，

在Rt△AA1C1中，

AC21=AA21+A1C21

=402+3400

=5000，

因?yàn)?000>702，

所以A1C1>70，

所以70cm長(zhǎng)的木棒能放進(jìn)木箱中.

注 解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，連續(xù)運(yùn)用了勾股定理，通常通過(guò)第一次在其中一個(gè)三角形中應(yīng)用勾股定理，求出另一個(gè)直角三角形邊長(zhǎng)，為下一次應(yīng)用勾股定理創(chuàng)造了的條件.

類(lèi)型3 構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用勾股定理列方程

例5 小明想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面還多1米，當(dāng)他把繩子的下端拉開(kāi)5米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，求旗桿的高度.

圖7

解 如圖7，設(shè)旗桿的高AB為x米，則繩子AC的長(zhǎng)為（x+1）米，

在Rt△ABC中，

BC=5，

因?yàn)锳B2+BC2=AC2，

所以x2+52=（x+1）2，

解得x=12，

所以AB=12.

所以旗桿的高是12米.

例6 這是一道成書(shū)于公元前一世紀(jì)，距今約兩千年的《九章算術(shù)》中記錄的一道古代趣題：

原題：“今有池，方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺.引葭赴岸，適與岸齊，問(wèn)水深、葭長(zhǎng)各幾何？”

圖8

這個(gè)問(wèn)題的意思是：如圖8所示，有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為1丈（10尺）的正方形，在水池的中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面，請(qǐng)問(wèn)這個(gè)水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度各是多少？

圖9

解 如圖9所示，由題意可知

AC=1，

AB=5，

OB=OC.

設(shè)OA=x，則

OB=OA+AC=x+1.

在Rt△OAB中，

OA2+AB2=OB2，

所以x2+52=（x+1）2.

解得x=12.

所以x+1=12+1=13，

所以水深12尺，蘆葦長(zhǎng)13尺.

注 利用勾股定理求線(xiàn)段的長(zhǎng)時(shí)，往往利用勾股定理中的等量關(guān)系列出方程來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題.另外，當(dāng)問(wèn)題中沒(méi)有給出直角三角形時(shí)，常常通過(guò)作輔助線(xiàn)構(gòu)造直角三角形，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問(wèn)題.

類(lèi)型4 把立體圖形側(cè)面展開(kāi)成平面圖形后應(yīng)用勾股定理

例7 圖10

一個(gè)圓柱形油罐，如圖10所示，要從A點(diǎn)環(huán)繞油罐建梯子到B點(diǎn)，B點(diǎn)在A點(diǎn)的正上方，已知油罐的周長(zhǎng)為12m，AB長(zhǎng)為5m，問(wèn)：所建梯子最短需多少米？

解 把圓柱形油罐的側(cè)面沿AB展開(kāi)成平面圖形，連接AB，如圖11所示是展開(kāi)圖的一部分，圖11

因?yàn)锳C=12，

BC=5，

所以AB=AC2+BC2

=122+52

=13（m），

所以梯子最短需要13m.

圖12

例8 如圖12所示，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)為4cm，寬為2cm，高為5cm.若一只螞蟻從P點(diǎn)開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面爬行一圈到達(dá)Q點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短路徑長(zhǎng)是cm.

解 如圖13所示，把長(zhǎng)方體的側(cè)面沿PQ展開(kāi)成平面圖形，

因?yàn)殚L(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為2和4，高為5. 圖13

所以PA=4+2+4+2

=12，

QA=5，

所以PQ=PA2+QA2

=122+52

=13（cm）.

所以螞蟻爬行的最短路徑長(zhǎng)為13cm.

注 解決此類(lèi)為題的關(guān)鍵是把立體圖形展開(kāi)成平面圖形，根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短確定最短路線(xiàn)，從而利用勾股定理解決問(wèn)題.