求二次函數(shù)圖象變換后的解析式

劉巍中學(xué)高級(jí)教師，理學(xué)學(xué)士，多年從事初三教學(xué)工作，曾獲市優(yōu)秀班主任，區(qū)級(jí)骨干教師、優(yōu)秀教師稱號(hào)，主要研究幾何畫板與數(shù)學(xué)課堂的有機(jī)整合。

二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）圖象的平移、旋轉(zhuǎn)和翻折，求這三種變換后的解析式是中考中常見(jiàn)的問(wèn)題，問(wèn)題解決并不難，只需要明白拋物線是由無(wú)數(shù)點(diǎn)構(gòu)成的，變換實(shí)際是點(diǎn)的坐標(biāo)變換，為方便大家理解并掌握此類題型的正確解法，現(xiàn)將有關(guān)解題方法總結(jié)如下.

1 拋物線的平移變換

拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）先向右平移m個(gè)單位，再向上平移n個(gè)單位，所得拋物線解析式是

y=a（x-m）2+b（x-m）+c+n（a≠0），

下面進(jìn)行簡(jiǎn)單證明.

圖1

證明 如圖1，設(shè)點(diǎn)A（x，y）是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）上任意動(dòng)點(diǎn)，再設(shè)點(diǎn)A（x，y）平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′（x′，y′），因?yàn)閽佄锞€y=ax2+bx+c（a≠0）先向右平移m個(gè)單位，再向上平移n個(gè)單位，

所以x+m=x′，y+n=y′，

即x=x′-m，y=y′-n，

將其代入拋物線解析式中，得

y′-n=a（x′-m）2+b（x′-m）+c（a≠0），

整理，得

y′=a（x′-m）2+b（x′-m）+c+n（a≠0），

所以y=a（x-m）2+b（x-m）+c+n（a≠0），

拋物線向其他方向平移可以同理證明，這里不再贅述.

規(guī)律：上加下減常數(shù)項(xiàng)，左加右減自變量.

例1 把拋物線y=2x2+3x-4先向下平移3個(gè)單位，再向左平移2個(gè)單位，所得拋物線解析式是.

解 依據(jù)口訣，平移后的拋物線解析式為

y=2（x+2）2+3（x+2）-4-3，

整理，得y=2x2+11x+7.

2 翻折變換

拋物線的翻折變換常見(jiàn)的是沿坐標(biāo)軸翻折.

（1）沿x軸翻折

拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）沿x軸翻折后解析式是y=-ax2-bx-c（a≠0），下面進(jìn)行簡(jiǎn)單證明.

圖2

證明 如圖2，設(shè)點(diǎn)A（x，y）是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）上任意動(dòng)點(diǎn)，再設(shè)點(diǎn)A（x，y）沿x軸翻折后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′（x′，y′），所以x=x′，y=-y′，將其代入拋物線解析式中，得

-y′=ax′2+bx′+c（a≠0），

整理，得 y′=-ax′2-bx′-c（a≠0），

所以y=-ax2-bx-c（a≠0）.

規(guī)律：拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）沿x軸翻折后解析式，x不變，只需把y變成相反數(shù)即可.

（2）沿y軸翻折

拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）沿y軸翻折后解析式是y=ax2-bx+c（a≠0），

下面進(jìn)行簡(jiǎn)單證明.

證明 如圖3，設(shè)點(diǎn)A（x，y）是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）上任意動(dòng)點(diǎn)，再設(shè)點(diǎn)A（x，y）沿y軸翻折后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′（x′，y′），所以x=-x′，y=y′，將其代入拋物線解析式中，得

y′=a（-x′）2+b（-x）′+c（a≠0），

整理，得

y′=ax′2-bx′+c（a≠0），

所以y=ax2-bx+c（a≠0）.

規(guī)律：拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）沿y軸翻折后解析式，y不變，只需把x變成相反數(shù)即可.

例2 將拋物線y=2x2+4x-3按下列要求進(jìn)行翻折變換，求翻折后所得拋物線的解析式：

（1）沿x軸翻折;（2）沿y軸翻折.

解 （1）沿x軸翻折后解析式為

-y=2x2+4x-3，

整理，得y=-2x2-4x+3;

（2）沿y軸翻折后解析式為

y=2（-x）2+4（-x）-3，

整理，得y=2x2-4x-3.

3 旋轉(zhuǎn)變換

在初中階段，拋物線的旋轉(zhuǎn)一般是指旋轉(zhuǎn)180°，旋轉(zhuǎn)中心常見(jiàn)的是原點(diǎn)和拋物線的頂點(diǎn)，本文只研究繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn).

將拋物y=ax2+bx+c（a≠0）線繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后解析式為y=-ax2+bx-c（a≠0）.

證明 設(shè)點(diǎn)A（x，y）是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）上任意動(dòng)點(diǎn)，再設(shè)點(diǎn)A（x，y）繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′（x′，y′），所以x=-x′，y=-y′，將其代入拋物線解析式中，得

-y′=a（-x′）2+b（-x）′+c（a≠0），

整理，得

y′=-ax′2+bx′-c（a≠0），

所以y=-ax2+bx-c（a≠0）.

規(guī)律：拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后解析式，把x，y都變成相反數(shù)即可.

例3 將拋物線y=-3x2+6x-5繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，所得拋物線解析式是.

解 -y=-3（-x）2+6（-x）-5，

整理，得y=3x2+6x+5.

練習(xí)

將拋物線y=-2x2+3x-5按下列要求進(jìn)行變換，求變換后所得拋物線的解析式：

（1）先向上平移5個(gè)單位，再向右平移2個(gè)單位;

（2）繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°;

（3）沿y軸翻折;

（4）沿x軸翻折.

答案

（1）y=-2x2+11x-14;

（2）y=2x2+3x+5;

（3）y=-2x2-3x-5;

（4）y=2x2-3x+5.