初中數(shù)學應用題的解題技巧

羅夢漪

【摘要】應用題是初中數(shù)學一類非常重要的題型，對學習者的理解以及分析問題的能力要求較高，是日常測試以及中考的熱門考點，且相關習題占有較高分值.初中數(shù)學教學中為使學生掌握不同應用題題的解題技巧，提高學生解答不同類型應用題的能力，應做好應用題題型的總結，并做好解題示范，使其能夠在以后的解題中以不變應萬變，促進應用題解題能力以及數(shù)學成績的有效提升.

【關鍵詞】初中數(shù)學;應用題;解題技巧

初中數(shù)學應用題的題型較多，根據(jù)經(jīng)驗可將其分為二元一次方程的應用題、分式方程類應用題、不等式類應用題、三角函數(shù)應用題、二次函數(shù)應用題[1].不同類型應用題的解題思路、解題技巧有所不同，教學實踐中應做好相關解題技巧理論的灌輸，并展示如何運用相關技巧解題，給學習者以后解題帶來良好啟發(fā).

1 二元一次方程類應用題解題技巧

二元一次方程的應用題解題技巧為：認真審題，在充分理解題意的基礎上尋找相關參數(shù)之間的邏輯關系，在此基礎上選擇恰當?shù)囊暯窃O出合理參數(shù)，構建二元一次方程組，最終運用二元一次方程組知識求解參數(shù).需要注意的是解答二元一次方程的應用題時應確保最終的結果符合實際情況.教學實踐中為使學習者能夠全面地考慮問題，把握解答二元一次方程類應用題的相關細節(jié)，實踐中可為學習者講解如下.

例題 小明為班級購買書籍，回校后向班主任匯報說：“我買了兩種書，合計30本，單價分別為20元，24元.買書前的700元，現(xiàn)在還剩38元”.班主任算了一下說：“你肯定搞錯了”.

（1）班主任為什么說小明搞錯了？運用所學進行解釋;（2）小明拿出購物發(fā)票，發(fā)現(xiàn)其確實搞錯了，其還購買了一個筆記本，但筆記本的單價不清晰，僅辨認出其為不滿10元的整數(shù)，如果單價為20元的書多于24元的書，則筆記本的單價是多少元？

該應用題創(chuàng)設的情境較為常規(guī)，題意也較容易理解.其中該題的第一問較為簡單，構建二元一次方程組，不難解答.第二問難度較大，需要能夠大膽的設出參數(shù)，并根據(jù)題意確定參數(shù)之間的大小關系，通過分析、確定最終的結果.

對于問題（1）根據(jù)兩本書的總本數(shù)以及所花的錢數(shù)，夠構建二元一次方程，設20元，24元書籍購買的本數(shù)分別為x，y，則可列出方程組x+y=3020x+24y=700-38，解得x=14.5y=15.5，x，y為整數(shù)，因此，可認為小明搞錯了.

對于問題（2）設20元的數(shù)為a本，則24元的書為（30-a）本，筆記本的價格為b元，根據(jù)題意a>30-a，即，a>15.則依據(jù)總錢數(shù)可得20a+24（30-a）+b=700-38，解得a=14+2+b4>15，由b為不滿10的整數(shù)可知b=6，即，筆記本的單價為6元.

2 分式方程類應用題解題技巧

分式方程類應用題解題技巧為：認真閱讀題干內(nèi)容，了解題干描述的情境，結合自身學習以及生活經(jīng)驗確定題干中參數(shù)之間的潛在關系，確定以哪個參數(shù)列方程.求解列出的方程后還應注重檢驗結果是否正確.初中數(shù)學能夠運用分式方程解決的應用情境較多，如路程問題、追擊問題、工程量問題等，因此，為提高解題正確率應注重要求學習者牢記常見的應用題情境以及相關公式，為盡快的找到解題突破口做好鋪墊.授課中可為學習者講解如下.

例題 小明家和科技館相距1900米，一天騎步行去科技館看表演，走到路程的一半發(fā)現(xiàn)忘記帶門票，此時離表演開始還有23分鐘，于是其立刻步行回家取票.然后騎車趕往科技館.若小明騎車到科技館比其步行到科技館少用20分鐘，且騎車的速度是步行的5倍，小明進家取票的時間共用4分鐘.請你判斷小明能否在表演開始前趕到科技館，通過計算說明理由.

通過審題可知該題需要構建路程、速度、時間之間的分式方程.求出小明步行以及騎車的速度，而后結合剩余的時間、路程，通過計算進行判斷.

設小明步行的速度為x米/分鐘，則騎車的速度為5x米/分鐘.根據(jù)步行、騎車的時間關系可列方程：1900x-19005x=20，解得x=76.經(jīng)檢驗x=76是原分式方程的解，即，小明每分鐘步行速度為76米/分鐘.根據(jù)題意需要計算小明返回和騎車的總時間，即12×190076+19005×76+4=21.5分鐘，小于23分鐘，因此，小明能夠在表演開始前到達科技館.

3 不等式類應用題解題技巧

初中數(shù)學講解的不等式主要為一元一次不等式，因此，相關應用題也圍繞一元一次不等式知識設問.解答該類應用題技巧為：審題時把握構建不同關系的關鍵詞，如“不多于”、“不少于”、“不超過”等.另外，如題干中涉及的參數(shù)為兩個時，應明確哪個參數(shù)為主元，而后結合所學知識進行分析，尤其當相關參數(shù)的取值范圍不確定時應注重準確劃分討論的界限進行分類討論.授課中為使學習者掌握上述技巧，增強其解答相關應用的自信，可為學習者講解如下.

例題 某商店準備購進A、B兩種商品，每件A商品進價比每件B商品多5元，且用800元購進A商品和用400元購進B商品的數(shù)量相同.若共購買這兩種商品100件，且購進資金不少于800元，不多于850元，則商店有幾種購進方案？若銷售A商品的利潤為m元，銷售B商品的利潤為（6-m）元，則怎樣采購才能獲得最大利潤？（商品售價不低于成本價）.

該應用題題干較為簡單，但是對學習者的理解能力要求較高.解答該應用題時需要明確先求解A、B兩件商品的進價，而后根據(jù)“不少于”、“不多于”構建不等式關系，確定參數(shù)的取值范圍.同時，寫出有關利潤的表達式，分析表達式中各參數(shù)的取值范圍，聯(lián)系一次函數(shù)性質(zhì)，求出其最大利潤.

根據(jù)題意先計算出每件A、B商品的進價，而后列出對應的不等關系，便可確定購進方案.根據(jù)題意構建有關利潤的一元一次函數(shù)，借助一元一次函數(shù)性質(zhì)進行分析.設每件A商品的進價為a元，則每件B商品的進價為（a-5）元，易得800a=400a-5，解得a=10，則每件A、B商品的進價分別給為10元，5元.設購進A商品為x件，購進B商品為（100-x）件，即，800≤10x+5（100-x）≤850，解得60≤x≤70，因為x只能為整數(shù)，則x的值為60到70之間的整數(shù)，共11個，即，共有11種購進方案.由銷售A商品的件數(shù)為x件，則銷售B商品的件數(shù)為（100-x），由單價、件數(shù)以及利潤之間的關系可得總利潤Q=mx+（6-m）（100-x）=（2m-6）x+600-100m，因m>0，則當0

4 三角函數(shù)應用題解題技巧

初中數(shù)學中學習的主要是銳角三角函數(shù)，主要有正弦、余弦、正切、余切[2].解答三角函數(shù)應用題的技巧為：認真審題、讀圖，明確要求解的問題.同時運用所學幾何知識嘗試著構建直角三角形，必要情況下做出輔助線向銳角三角函數(shù)靠攏.求解參數(shù)時應注意不同三角函數(shù)中線段之間的關系，不能搞錯.實踐中，為提高學習者解答三角函數(shù)應用題熟練程度，積累相關經(jīng)驗，可在課堂上與學習者一起分析如下.

例題 在一次課外活動中，小明測量小山AF的高度，如圖1，山底有一長為60m的斜坡CE，通過測量斜坡CE的坡角為30°，小明從點E沿斜坡走到斜坡的中點D處，在D處測得山頂A的仰角為53°，坡頂C和小山的距離BC=100m，求小山AF的高度，結果精確到0.1m.（參考數(shù)據(jù)：tan53°≈1.33，3≈1.73）

審題后在明確要求解問題的基礎上進行逆向推理，尋找要求解的參數(shù).而后根據(jù)經(jīng)驗作出輔助線輔助分析，尋找角度以及角度、線段之間的關系，認真計算不難得出結果.

根據(jù)題意，過點C作CG⊥FE于點G，延長GC和AD交于點H，過點H作HP⊥AB于點P，過點D作DQ⊥CG于點Q，如圖所示，則四邊形PBQC和四邊形BFGC為矩形，DQ∥GE.根據(jù)題意∠CEG=∠CDQ=30°，∠HDQ=∠AHP=53°，則CG=12CE=30m，則CQ=QG=15m，DQ=3CQ=153m，HQ=DQtan53°=1.33×153≈34.51m，PH=BC=100m，AP=PHtan53°=100×1.33=133m，則小山的高AF=AP+HQ+QG=133+34.51+15≈182.5m.

5 二次函數(shù)類應用題解題技巧

二次函數(shù)類應用題是初中數(shù)學的難點題型，解答該題的技巧為：在認真審題的基礎上，根據(jù)題干描述以及經(jīng)驗構建二次函數(shù)關系.同時，因自變量范圍影響二次函數(shù)的取值，需要正確確定自變量范圍.教學實踐中為使學習者掌握上述解題技巧并在解題中靈活應用，應注重做好經(jīng)典例題講解，并組織學習者開展專題訓練活動.課堂上可為學習者展示如下習題，對其進行訓練：

例題 一土特產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為每盒60元，為了解市場情況，準備先試銷一段時間，試銷期間銷售單價不低于成本價，且獲利不得高于40%.銷售量y（萬盒）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)圖象如圖2所示，當銷售價為多少元時，銷售利潤達到最大，最大利潤為多少萬元？

解答該題需要在充分理解題意的基礎上，結合圖象，聯(lián)系所學一次函數(shù)知識確定售價和銷售量之間的關系.同時，根據(jù)成本、利潤、銷售量，構建二次函數(shù)，運用二次函數(shù)性質(zhì)便可求出最大利潤.

由圖采用待定系數(shù)法不難求出銷售單價和銷售量之間的函數(shù)關系，并根據(jù)題干描述找到自變量的取值范圍，而后根據(jù)利潤、銷售價、銷售量之間的關系構建二次函數(shù)，運用二次函數(shù)性質(zhì)求出最大利潤.將圖中的點（70，50）、（63，57）兩點代入得到y(tǒng)=-x+120，而60≤x≤60（1+40%），即，60≤x≤84，則其利潤Q=（x-60）（-x+120）=-x2+180x-7200=-（x-90）2+900（60≤x≤84），二次函數(shù)的對稱軸為x=90，其開口向下，取值范圍在其左側，Q隨著x的增大而增大，則當x=84時獲得的利潤最大，最大利潤為864萬元.

6 結語

初中數(shù)學應用題類型較多，實踐中既要為學習者認真講解技巧，又要展示技巧的應用.同時，鼓勵學習者做好聽課總結，及時彌補學習中的不足，尤其結合專題訓練活動，鼓勵其將學習到的技巧應用到實踐中，積累豐富的應用題解題經(jīng)驗，提高應用題解題水平.

參考文獻：

[1]錢進陸.初中數(shù)學應用題解題策略探究[J].數(shù)理化解題研究，2019（26）：6-7.

[2]鄧玉貞.淺談初中數(shù)學應用題的教學策略及解題技巧[J].試題與研究，2019（24）：30.

[3]潘元淑.初中數(shù)學應用題解題技巧分析[J].中學課程輔導（教師通訊），2021（08）：86-87.