初中幾何題中面積法的巧妙運用

袁會娟

【摘要】在初中數學教學中，幾何問題是學生需要重點掌握的內容.面積法是解決一些幾何問題的解題方法，對提高學生解題速度與準確率具有重要作用.因此，本文將以幾何問題為例，從“利用面積的唯一性”、“利用面積的可加性”、“利用面積的可比性”三個方面講述面積法的巧妙運用，期望能夠幫助學生提高自身的解題能力.

【關鍵詞】初中幾何;面積法;解題能力

1 利用面積的唯一性解題

對于面積大家并不陌生.幾何學的產生，源于人們對土地面積測量的需要.幾何學從一開始便與面積結下不解之緣.而且面積很早就成為人們認識幾何圖形性質和證明幾何定理的工具.因此，在遇到與幾何相關的問題中，教師們可以引導學生利用面積的唯一性進行解題.

例1 如圖1所示，已知在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D、E，求證CD=BE.

解析 在該例題中，教師們需要引導學生通過證明三角形全等的方式證明CD=BE.為了使得證明過程更加簡潔，教師可以引導學生借助面積法進行解題.

證明 因為S△ABC=12AB·CD，

S△ABC=12AC·BE，

所以AB·CD=AC·BE，

又因為AB=AC，

所以CD=BE.

例2 如圖2所示，在Rt△ABC中，AD是BC上的高，AB=5，AC=12，求AD.

解析 例2與例1相似，如果借助三角形相似進行解題就會使得整個解題過程較為復雜，如果使用面積法進行解題就會使得過程變得很簡單.

解 在△ABC中，BC= AB2+AC2=13，

因為S△ABC=12AB·AC=12BC·AD，

所以5×12=13×AD，

所以AD=6013.

在例1與例2的兩個幾何問題中，利用同一個圖形“面積的唯一性”解題，簡單、便捷，所以，數學教師可以在講解相關知識點時就向學生滲透面積法，促使學生在解題時應用面積法進行解題.

2 利用面積的可加性解題

平面幾何證明題的最大難處是輔助線的添加，而面積法的特點是把已知和未知量用面積公式及有關的性質定理聯(lián)系起來，從而把幾何關系轉變?yōu)閿盗筷P系，通過數量運算來得到求證結果.

例3 如圖3所示，在△ABC中，AB=AC，點D為BC上任一點，DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB，垂足分別為E、F、G，求證DE+DF=CG.

解析 在本例題中假如使用三角形全等進行證明就會影響學生答題的效率.但是從面積方面進行考慮，只要將AD進行連接，使得△ABC分為兩個三角形△ABD和△ACD，這兩個三角形的面積表達式都容易求得.

證明 因為S△ABC= S△ABD+ S△ACD，DE⊥ AB，DF⊥AC，CG⊥ AB.

所以12AB·CG=12AB·DE+12AC·DE，

因為AB=AC，

所以CG=DE+DF.

例4 如圖4所示，在△ABC中，AB=AC=BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，求證DE+DF+DH為定值.

解析 本題若先探求定值，將點D取在A處，可以知道D到△ABC三邊的距離之和為AG，然后再證明DE+DF+DH=AG.如果用其他方法，很繁雜，若用面積法證明，則很簡單.

證明 作AG垂直BC于G，連接AD、BD、CD，

因為S△ABC=S△ABD+S△ACD+S△BCD，

DE⊥ AB，DF⊥AC，DH⊥BC，

所以12AB·DE+12AC·DF+12BC·DH=12BC·AG，

因為AB=AC=BC，

所以DE+DF+DH=AG.

3 利用面積的可比性解題

我們都知道在有關三角形的幾何問題中等底等高的三角形面積相等，因此就會有三角形面積相等，等底必等高，等高必等底.因此，教師可以引導學生借助面積的可比性進行解題.

例5 如圖5所示，在平行四邊形ABCD中，AE和CF相交于G，且AE=CF，求證∠AGB=∠CGB.

解析 同樣的在該例題中，面積法可以實現高效解題的目的.

證明 連接BF、BE，過點B作BH⊥AE于H，BI⊥CF于I.

因為12SABCD=S△AEB=S△BFC，

所以12AE·BH=12CF·BI，

因為AE=CF，

所以BH=BI，

即點B在∠AGC的角平分線上，

所以∠AGB=∠CGB.

4 結語

綜上所述，面積法在幾何證明題中的應用較為廣泛，教師們可以引導學生借助面積的唯一性、可加性和可比性進行解題.這樣不僅能夠有效提高學生解題的效率，還能夠提高學生解題的準確率.