例談初中數學二次函數問題的解答

生紅

【摘要】二次函數是初中數學的難點.相關習題能很好地檢驗學生的理解以及分析問題的能力.初中數學教學中應在為學生系統講解基礎知識的同時，注重提升學生解答二次函數習題的能力，為其數學學習成績的有效提升奠定堅實基礎.本文圍繞二次函數與方程問題、二次函數與實際問題、二次函數綜合問題展開論述，以供參考.

【關鍵詞】初中數學;二次函數;問題解答

1 二次函數與方程問題

例1 已知二次函數y=ax2+bx-1的最小值為-2，則方程|ax2+bx-1|=2的不相同實數根的個數為（）.

（A）2.（B）3.（C）4.（D）5.

該題較為典型，間接地考查了二次函數圖象問題.解題時需要構建已知條件與要求解問題之間的內在聯系，能夠聯系所學的二次函數圖象畫出帶有絕對值二次函數圖象，通過觀察圖象的交點得出根的個數.

解析 求方程|ax2+bx-1|=2根的個數，可將其看成函數y=|ax2+bx-1|和y=2圖象的交點個數.

其中y=|ax2+bx-1|圖象可由y=ax2+bx-1位于x軸下方的部分向上翻折得到.

因二次函數y=ax2+bx-1過定點（0，-1），且其最小值為-2，則可大致畫出其圖象，如圖1，則y=|ax2+bx-1|圖象的圖象如圖2：

y=2是和x軸平行的直線，由圖2可知兩個函數圖象的交點個數為三個，即有三個不等實根，選擇B項.

2 二次函數與實際問題

例2 如圖3所示，某建筑物的截面圖由拋物線和矩形OAA′B構成，其中矩形的長、寬分別為16m、4m，構建圖中坐標系，則拋物線可表示為y=-116x2+bx+c表示，其中CD為一排和地面平行的燈帶.若燈帶的長度至少為12m，求燈帶和拋物線頂點的距離.

用二次函數解決實際問題是各類測試以及中考的重要考點.解答該類問題的關鍵在于能夠充分吃透題意，提煉出題干中的有用信息，通過合理的抽象將實際問題轉化為數學問題，運用二次函數的性質定理求解.

解析 因為OB=16，OA=4，可知拋物線過點（0，4），（16，4），將其代入解得c=4，-16+16b+4=4，b=1，則y=-116x2+x+4.

因為y=-116x2+x+4=-116（x-8）2+8，

當x=8時，拋物線取得最大值8.

因燈帶至少為12m，則可求得C點的橫坐標為16-122=2.

將其代入到拋物線方程中可得

y=-116（x-8）2+8=-116×36+8=5.75，

即，C點坐標為（2，5.75），則燈帶和拋物線頂點的距離為8m-5.75m=2.25m.

3 二次函數綜合問題

例3 如圖4所示，二次函數y=-x2+bx+c的圖象和x軸交于點A（-3，0），B（1，0）和y軸交于點C（0，3），其中C、D是二次函數圖象上一對對稱點，一次函數圖象經過B、D兩點.（1）寫出二次函數值小于一次函數值x的取值范圍.（2）設點E為直線BD和y軸的交點，連接AD、AE，求△ADE的面積.

函數綜合問題考查的知識點較多，難度較大.解答該類問題不能有知識漏洞，同時還需要具體問題具體分析，注重運用數形結合思想，降低計算復雜度，尤其應大膽的想象，通過做出合理的輔助線，確保問題得以順利解決.

解析 問題（1）由圖可知B點坐標已知，則需要求出點D坐標.點C、D均在拋物線上則其關于拋物線的對稱軸對稱.

因拋物線過點A（-3，0），B（1，0），代入y=-x2+bx+c解得b=-2，c=3，即，y=-x2-2x+3，則其對稱軸為直線x=-1，

由C點坐標為（0，3），則D的坐標為（-2，3），則滿足條件的x的取值范圍為x<-2或x>1;

問題（2）設直線BD方程為y=kx+b，B（1，0）、D（-2，3）兩點坐標已知，代入求得k=-1，b=1，則直線BD的方程y=-x+1，則點E的坐標為（0，1）.

S△ADE=S△ABD-S△ABE

=12×AB×yD-12×AB×yE

=12×4×3-12×4×1

=6-2

=4.

4 結語

綜上所述，結合具體例題探討二次函數常見習題類型的解答過程，不僅鞏固了學生所學，加深了學習者對二次函數知識的理解，而且使其掌握了不同題型的突破思路以及在解題過程中應把握的細節，幫助其積累一定的解題經驗，達到了預期的教學目標.

參考文獻：

[1]許志國.運用數形結合思想解決初中數學二次函數問題[J].試題與研究，2021（25）：15-16.

[2]沈達峰.初中數學二次函數問題的解題方法與技巧簡析[J].中學數學，2021（14）：71-72.

[3]崔亞江.初中數學二次函數的解題技巧探析[J].現代中學生（初中版），2021（08）：11-12.

[4]孫光琪.初中數學中“二次函數”的教學策略初探[J].天津教育，2020（17）：91-92.