初中數(shù)學(xué)因式分解的方法歸納

蒲建英

【摘要】因式分解是指把一個多項式在一個范圍內(nèi)分解，這種式子的變形即為因式分解，是初中數(shù)學(xué)中一個重點(diǎn)知識，同時也是一個難點(diǎn)問題，也是中考數(shù)學(xué)的常考知識點(diǎn).一般來說，因式分解主要有提公因式法、分組分解法，十字相乘法，求根公式法等，但要想快速準(zhǔn)確解答相關(guān)問題，還需要掌握一定的技巧，本文將通過舉例的方式介紹幾種常用的技巧，以提高同學(xué)們的解題能力，提升解題效率.

【關(guān)鍵詞】因式分解;解法歸納;解題能力

1 裂項法

裂項法體現(xiàn)的是分類與組合的思想，指的是將式中的某些項進(jìn)行分解，然后重新組合進(jìn)而求解，當(dāng)式子中自變量的指數(shù)是從高到低連續(xù)排列時，就可以利用裂項的手段分解因式.

具體步驟為：

①根據(jù)題目式子的特點(diǎn)，分析是否裂項，如何裂項;

②將裂項后的式子利用常見方法因式分解即可.

例1 分解因式：x3+9x2+26x+24.

剖析 本題直接分解因式較難，需要對原式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，由觀察可知，原式可分為三組，每組兩項，進(jìn)而利用提取公因式法、十字相乘法正確解答.

解 原式=x3+9x2+26x+24

=x3+2x2+7x2+14x+12x+24

=x2x+2+7xx+2+12x+2

=x+2x2+7x+12

=x+2x+3x+4.

2 添項拆項法

添項拆項法包括添項和拆項，拆項就是將多項式中的某一項拆分成兩項或多項;而添項就是指在多項式中添加兩個只與題目中的項相反的項.添項和拆項的目的都是使多項式能將原式利用分組分解法進(jìn)行因式分解.

具體步驟為：

①分析原式特點(diǎn)，確定添項或拆項;

②直接將添項或拆項后的式子利用分組分解法分解因式即可.

例2 分解因式：x4+5x3+15x-9.

剖析 觀察可知，原式缺少一個x2項，故使用添項法，且該項在中間，添加項和拆分項都一樣，還必須保證前后成比例.

解 原式=（x4+5x3-3x2）+（3x2+15x-9）

=x2（x2+5x-3）+3（x2+5x-3）

=（x2+5x-3）（x2+3）.

3 整體思想法

當(dāng)原式是結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜的多項式時，就可以利用整體思想法求解，將原式中的某一部分視為一個整體，實現(xiàn)明朗多項式結(jié)構(gòu)，化繁為簡的目的.

整體思想是數(shù)學(xué)中的常用思想，就是指從問題的整體性質(zhì)出發(fā)，突出分析和改造問題的整體結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)問題的整體結(jié)構(gòu)特征，對原式進(jìn)行有目的，有意識的整體處理.

具體步驟為：

①分析多項式結(jié)構(gòu)，確定整體結(jié)構(gòu);

②化簡多項式，并利用相應(yīng)的方法分解因式.

例3 分解因式：x2-4xy+4y2-x+2y-2.

剖析 根據(jù)本題多項式的結(jié)構(gòu)可以發(fā)現(xiàn)，原式的前三項等價于x-2y2，故本題可視為整體的部分即為x-2y，將原式轉(zhuǎn)化再求解.

解 原式=x-2y2-x-2y-2

=x-2y-2x-2y+1.

4 配方法

當(dāng)多項式經(jīng)過配方以后滿足平方差的形式，且不僅沒有公因式，也不能使用十字相乘法和公式法等常規(guī)方法分解因式時，就可以利用配方法進(jìn)行求解.

具體步驟為：①觀察多項式，在其中提取二次項系數(shù)并整理;

②將上式配方成為完全平方項，并轉(zhuǎn)化為平方差或和的形式;

③利用完全平方差公式或完全平方和公式進(jìn)行因式分解.

例4 分解因式：2x2y2-7xy+6.

剖析 本題就十分適合利用配方法進(jìn)行求解，將原式整理，將整理后的式子配方并轉(zhuǎn)化為完全平方差的形式，即可進(jìn)行因式分解.

解 原式=2x2y2-72xy+4916+6-498

=2xy-742-18

=2xy-742-116

=2xy+74+14xy-74-14

=2xy-32xy-2

=2xy-3xy-2.

5 換元法

換元，包括整體換元，局部換元等方式，因式分解主要利用局部換元，利用輔助元代換原式中的某些相同且較復(fù)雜的部分，實現(xiàn)降次減項，化難為簡的目的.

具體步驟為：

①分析多項式特點(diǎn)，假設(shè)輔助元進(jìn)行代換;

②將換元后的式子進(jìn)行因式分解;

③將輔助元代換為原結(jié)構(gòu)即可.

例5 因式分解：（xy-1）2+（x+y-2）（x+y-2xy）.

剖析 分析本題結(jié)構(gòu)可知，本題可以將x+y、xy這兩部分進(jìn)行換元，將原式因式分解之后解除換元.

解 令x+y=A、xy=B，

故原式=B-12+A-2A-2B

=B2-2B+1+A2-2A-2AB+4B

=B2+2B+1+A2-2A-2AB

=B+12-2AB+1+A2

=B+1-A2

=xy+1-x-y2.

6 待定系數(shù)法

當(dāng)多項式分解為幾個因式，但不能確定這幾個因式中的某些系數(shù)時，就可以利用待定系數(shù)法求解.

具體步驟為：

①根據(jù)多項式特點(diǎn)進(jìn)行因式分解;

②根據(jù)題意列方程或方程組求解系數(shù);

③將系數(shù)代入分解的因式，即為所求式.

例6 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3.

剖析 觀察可知，本題的x2+3xy+2y2=x+2yx+y，此時將原式進(jìn)行因式分解，則存在兩個一次項因式x+2y+m、x+y+n，利用待定系數(shù)法計算解得m、n的值，順利求解.

解假設(shè)原式=（x+2y+m）（x+y+n）

=x2+3xy+2y2+m+nx+m+2ny+mn

將等式兩邊對應(yīng)項的系數(shù)列式：m+n=4m+2n=5mn=3，

故得 m=3、n=1，

因此，原式=x+2y+3x+y+1.

7 結(jié)語

因式分解是初中數(shù)學(xué)計算題的重要內(nèi)容，對培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和計算能力有重要作用.

對于因式分解的題目，除了要掌握常規(guī)的分解方法外，還需要掌握相應(yīng)的分解技巧，才能快速準(zhǔn)確求解.