初中數學因式分解的方法歸納

蒲建英

【摘要】因式分解是指把一個多項式在一個范圍內分解，這種式子的變形即為因式分解，是初中數學中一個重點知識，同時也是一個難點問題，也是中考數學的常考知識點.一般來說，因式分解主要有提公因式法、分組分解法，十字相乘法，求根公式法等，但要想快速準確解答相關問題，還需要掌握一定的技巧，本文將通過舉例的方式介紹幾種常用的技巧，以提高同學們的解題能力，提升解題效率.

【關鍵詞】因式分解;解法歸納;解題能力

1 裂項法

裂項法體現的是分類與組合的思想，指的是將式中的某些項進行分解，然后重新組合進而求解，當式子中自變量的指數是從高到低連續排列時，就可以利用裂項的手段分解因式.

具體步驟為：

①根據題目式子的特點，分析是否裂項，如何裂項;

②將裂項后的式子利用常見方法因式分解即可.

例1 分解因式：x3+9x2+26x+24.

剖析 本題直接分解因式較難，需要對原式進行轉化，由觀察可知，原式可分為三組，每組兩項，進而利用提取公因式法、十字相乘法正確解答.

解 原式=x3+9x2+26x+24

=x3+2x2+7x2+14x+12x+24

=x2x+2+7xx+2+12x+2

=x+2x2+7x+12

=x+2x+3x+4.

2 添項拆項法

添項拆項法包括添項和拆項，拆項就是將多項式中的某一項拆分成兩項或多項;而添項就是指在多項式中添加兩個只與題目中的項相反的項.添項和拆項的目的都是使多項式能將原式利用分組分解法進行因式分解.

具體步驟為：

①分析原式特點，確定添項或拆項;

②直接將添項或拆項后的式子利用分組分解法分解因式即可.

例2 分解因式：x4+5x3+15x-9.

剖析 觀察可知，原式缺少一個x2項，故使用添項法，且該項在中間，添加項和拆分項都一樣，還必須保證前后成比例.

解 原式=（x4+5x3-3x2）+（3x2+15x-9）

=x2（x2+5x-3）+3（x2+5x-3）

=（x2+5x-3）（x2+3）.

3 整體思想法

當原式是結構較為復雜的多項式時，就可以利用整體思想法求解，將原式中的某一部分視為一個整體，實現明朗多項式結構，化繁為簡的目的.

整體思想是數學中的常用思想，就是指從問題的整體性質出發，突出分析和改造問題的整體結構，發現問題的整體結構特征，對原式進行有目的，有意識的整體處理.

具體步驟為：

①分析多項式結構，確定整體結構;

②化簡多項式，并利用相應的方法分解因式.

例3 分解因式：x2-4xy+4y2-x+2y-2.

剖析 根據本題多項式的結構可以發現，原式的前三項等價于x-2y2，故本題可視為整體的部分即為x-2y，將原式轉化再求解.

解 原式=x-2y2-x-2y-2

=x-2y-2x-2y+1.

4 配方法

當多項式經過配方以后滿足平方差的形式，且不僅沒有公因式，也不能使用十字相乘法和公式法等常規方法分解因式時，就可以利用配方法進行求解.

具體步驟為：①觀察多項式，在其中提取二次項系數并整理;

②將上式配方成為完全平方項，并轉化為平方差或和的形式;

③利用完全平方差公式或完全平方和公式進行因式分解.

例4 分解因式：2x2y2-7xy+6.

剖析 本題就十分適合利用配方法進行求解，將原式整理，將整理后的式子配方并轉化為完全平方差的形式，即可進行因式分解.

解 原式=2x2y2-72xy+4916+6-498

=2xy-742-18

=2xy-742-116

=2xy+74+14xy-74-14

=2xy-32xy-2

=2xy-3xy-2.

5 換元法

換元，包括整體換元，局部換元等方式，因式分解主要利用局部換元，利用輔助元代換原式中的某些相同且較復雜的部分，實現降次減項，化難為簡的目的.

具體步驟為：

①分析多項式特點，假設輔助元進行代換;

②將換元后的式子進行因式分解;

③將輔助元代換為原結構即可.

例5 因式分解：（xy-1）2+（x+y-2）（x+y-2xy）.

剖析 分析本題結構可知，本題可以將x+y、xy這兩部分進行換元，將原式因式分解之后解除換元.

解 令x+y=A、xy=B，

故原式=B-12+A-2A-2B

=B2-2B+1+A2-2A-2AB+4B

=B2+2B+1+A2-2A-2AB

=B+12-2AB+1+A2

=B+1-A2

=xy+1-x-y2.

6 待定系數法

當多項式分解為幾個因式，但不能確定這幾個因式中的某些系數時，就可以利用待定系數法求解.

具體步驟為：

①根據多項式特點進行因式分解;

②根據題意列方程或方程組求解系數;

③將系數代入分解的因式，即為所求式.

例6 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3.

剖析 觀察可知，本題的x2+3xy+2y2=x+2yx+y，此時將原式進行因式分解，則存在兩個一次項因式x+2y+m、x+y+n，利用待定系數法計算解得m、n的值，順利求解.

解假設原式=（x+2y+m）（x+y+n）

=x2+3xy+2y2+m+nx+m+2ny+mn

將等式兩邊對應項的系數列式：m+n=4m+2n=5mn=3，

故得 m=3、n=1，

因此，原式=x+2y+3x+y+1.

7 結語

因式分解是初中數學計算題的重要內容，對培養學生的邏輯思維能力和計算能力有重要作用.

對于因式分解的題目，除了要掌握常規的分解方法外，還需要掌握相應的分解技巧，才能快速準確求解.