初中數學“最短路徑問題”分類探究

武芳

【摘要】考試中，學生看到最短路徑這一問題時，常會存在較為恐懼的心理，計算過程中更是常常出現一些錯誤.本文系統性的為學生總結相關題型及解題方法，能夠有效提高學生的解題效率.

【關鍵詞】最短路徑;解題方法;解題效率

1 平面幾何中的最短路徑問題

在“最短路徑問題”的題目中，與平面幾何知識進行結合考察是最為常見的一類.這一類問題往往是給定一個平面圖形，在此基礎上，存在動點，求動點到某點的最短距離.

在這類問題的解答中，學生需要掌握平面圖形的一系列問題，因為其最短路徑的考察往往是與幾何知識進行緊密聯系的，在此基礎上確定距離最短時動點所在的位置，而后通過準確的計算便可有效地解決問題.

例1 如圖1所示，在菱形ABCD中，AC=62，BD=6，E是BC邊的中點，P、M分別為AC、AB上的動點，連接 PE，PM，則 PE + PM的最小值為（）.

（A）6.（B）33.

（C）26.（D）4.5.

本題作為將動點問題與平面幾何進行結合求最值的問題，是平面幾何知識考察中常見的一種方式，在解答這一類型的題目時，一定要準確分析圖形的特點，找出所求距離所在的位置，而后進行計算.

通過分析可以發現，本題的最終目的是在線段AC之上找到一點P，使PM+PE的值最小，同時，M點為動點，這增加了學生的解題難度.此時，就需要學生結合外部菱形的性質進行思考，AC作為菱形的一條對稱軸，此時，無論M點運動到任意位置，都可以在AD邊上找到對稱的點，如此，便可以根據菱形的相關定理展開計算.

解 已知四邊形為菱形，其中AC=62，BD=6，那么菱形的面積S=12AC×BD=182.

由于菱形的兩條對角線互相垂直且平分，可以得到菱形的邊長

AB=BC=CD=AD=32+（32）2=33，

此時，當ME′為線段AB與CD之間的距離時，PE+PM的值最小.

根據菱形的面積公式可以得到DC×ME′=182，其中CD=33，則ME′=26，即PE + PM的最小值為26，正確答案選C.

2 立體幾何中的最短路徑問題

在對立體幾何知識的考察中，也經常會考察最短距離的問題，相較于平面幾何，這類問題往往伴隨著正方體、圓柱體等立體圖形，給學生的觀察及思考帶來了一定的挑戰性，問題的難度有所提升，更加重視對學生空間思維能力及計算能力的考察.需要學生將其逐步轉變為平面幾何中最短距離的求解問題，在此基礎上進一步解答相關問題.

例2 如圖2所示，在一高為14cm、底部周長32cm的圓柱形中，現在距離杯底5cm內部有一點B，杯壁外距離頂部3cm處有一點A，則從A到B最短距離為多少cm？

解 如圖3所示，作點A關于直線EF的對稱點A′，此時，根據題意可得

AC+CB=A′C+CB=A′B，

AE=A′E=DF=3cm，

A′D=EF=16cm，

BF=14-5=9cm，

DB=DF+FB=3+9=12cm.

在Rt△A′BD中，由勾股定理可得，A′B=A′D2+DB2=20cm，

所以，螞蟻吃到蜂蜜的最短距離為20cm.

3 函數中的最短路徑問題

在考試中，一般會將函數與其他知識進行綜合考查，以考查學生的綜合能力，最短距離問題則是函數最為容易考查的一點.

在這類試題中，一般伴隨著較為復雜的圖象，解題時首先需要學生掌握函數相關的各種基礎知識，其次充分挖掘題目中給出的關系，找出對應的關系，而后進行計算.

例3 已知二次函數y=x2-2mx+m2-1，當m=2時，該拋物線與 y 軸交于點C，頂點為 D，此時x軸上是否存在一點P，使PC+PD最短？

解 根據題意，在m =2時，y=x2-2mx+m2-1變為y=x2-4x+3，最終化簡可以得到y=（x-2）2-1，

當y=0時，x=3，所以C點坐標為（0，3），頂點D坐標為（2，-1）.

此時，就可以根據關系式畫出函數圖象如圖4，通過觀察可以發現，C、D兩點位于x軸的兩側，此時連接C、D兩點，其PC+PD距離最短，與x軸的交點即為P點.

連接CD，并且過點D作垂直于y軸的垂線，使DE⊥y軸，

根據計算可以得到，CO=3，CE=4，ED=2，

并且，△CED與△COP相似，

因此COCE=OPED，

將上述數字代入可以得到OP=32，

所以此時P點的坐標即為（32，0）.

4 結語

為了解決學生們存在的問題，本文根據實際情況，對相關知識進行了系統性的總結，將最短路徑與平面圖形、立體圖形及函數進行結合的題型進行了系統的分析與講解，以便于學生掌握相關知識.