巧借輔助圓簡化初中數學解題

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【摘要】在初中數學的解題過程中存在很多的幾何論證型題目，這些題目難以以常規思路解決.因此我們需要借助圓所具有的特征，結合題目的具體情況加以論證和解答.本文簡單介紹了幾種巧解輔助圓簡化初中數學解題的思路，希望能給學生帶來啟示.

【關鍵詞】輔助圓;幾何解題;初中數學

1 利用圓周角定理構建輔助圓

通過對圓周角性質的學習，我們可以知道圓周角具備多重性質，包括圓周角定理：圓內相同一段弧或弧長相等的兩道弧所對的圓周角等于其所對圓心角的一半.在遇到一些使用一般的幾何方法難以解決的問題時，學生可以開闊思維習慣，利用圓周角定理和其各項引申定理進行輔助圓構造，從而發現隱藏條件解決幾何問題.

例1 如圖1，已知H是△ABC三條高的交點，連接DF、 DE、EF，求證：H是△DEF的內心.

分析 分別由B、D、H、F，C、D、H、E四點共圓，得∠FBH=∠FDH=∠ECH=∠EOH，DH為∠FDE的平分線.

證明 在四邊形BDHF中，因為∠BDH=∠BFH=90°，故B、D、H、F四點共圓，所以∠DFH=∠DBH，同理，A、F、H、E四點共圓.

所以∠HFE=∠HAE，

因為∠DBH和∠HAE都與∠ACB互為余角，所以∠DBH=∠HAE，即：∠DFH=∠HFE，

同理可證得：∠FEH=∠HED，

所以，點H是△DEF內角平分線的交點，因此，H是△DEF的內心.

題后反思 分析本題要求可以發現，如果用常規思路求解證明原結論較為困難.因此，我們可以通過構建輔助圓的形式，利用圓周角定理和三角形內切圓的性質證明原結論.

2 利用圓的內外角和圓周角的關系構建輔助圓

圓內角指一個頂點在圓內，其兩邊與圓均相交的角，同理，圓外角是指一個頂點在圓外，其兩邊都與圓相交的角.圓內角與圓外角都較易與圓周角構建數量關系，因此在實際解題過程中，我們要善于構建輔助圓，并找到圓的內外角與圓周角之間的聯系，以此找到解題突破口.

例2 如下圖2，點P在⊙O內時，∠APB是AB所對的一個圓內角，延長AP交⊙O于點C，延長BP交⊙O于點D，若設∠AOB=m°，CD所對的圓心角為n°，則∠APB= .

分析 ∠ADB=12∠AOB=12m°，由

∠PAD=12∠COD=n2°，

∠APB為△ADP的外角，即可求解.

解答 如上圖3，連接AD，OC，OD.

因為∠ADB是AB所對的圓周角，

且∠AOB=m°，

所以∠ADB=12∠AOB=12m°.

因為∠COD=n°，

所以∠PAD=12∠COD=12×n°=12n°，

因為∠APB為△ADP的外角，

所以∠APB=∠ADB+∠PAD

=12（m°+n°）.

故答案為12（m°+n°）.

題后反思 本題為圓的綜合題，主要考查了外角定理、圓心角和圓周角的關系，這種探究類的題目，通常按照圓的內外角與圓周角的關系求解，難度不大，但需要學生準確發現題目中的隱藏條件和關系.

3 利用弦切角定理構建輔助圓

弦切角定理是圓中應用的較為廣泛的定理，它指出弦切角的度數等于它所夾的弧所對的圓周角的度數，也等于它所夾的弧所對的圓心角的度數的一半.對于有些難以用常規方法解決的幾何數量型題目，我們可以利用弦切角定理通過構建輔助圓的形式解決實際問題.

例3 如圖4，CF是的直徑，CB是⊙O的弦，CB的延長線與過點F的⊙O的切線交于點P.

（1）如圖①，若∠P=45°，PF= 10，求⊙O的半徑長;

（2）如圖②，若E是BC上的一點，且滿足PE2=PB·PC，連接FE，并延長交⊙O于點A，求證：點A是弧BC的中點.

分析 對于（1），可由切線的性質定理知△PCF是等腰直角三角形，因此求出CF的長，進而求出半徑;對于（2），利用弦切角定理，可以求出兩個三角形中有一組角對應相等，然后利用相似三角形的判定及性質，可證出AC與AB所對的圓周角相等，從而證出點A是弧BC的中點.

解答 （1）因為PF是⊙O的切線，CF是直徑，故△PCF是直角三角形.

又因為∠P=45°即PF=CF.設圓O的半徑為r，則2r=PF=10，解之r=5，故圓O的半徑為5.

（2）證明：如圖5，連接FB.因為FP是圓O的切線，故∠PFB=∠FCB.

又∠P=∠P，則△PBF與△PFC相似.故PFPB=PCPF，即PF2 =PB·PC;

又因為，PE2=PB·PC，即PF2=PE2，

故PF=PE，即∠EFP=∠FEP.

因為∠EFB=∠EFP-∠BFP，

∠CFE=∠FEP-∠FCB，

即∠EFB=∠CFE.

故點A為弧BC的中點.

題后反思本題主要考查了弦切角定理地綜合應用，同時考查了相似三角形的判定與性質以及圓周角定理.是一道綜合性較強的幾何題，學生需要具備較強的知識遷移能力.

總的來說，在幾何問題的解決過程中，我們可以巧借輔助圓以應對解決一些條件較為隱晦、難以用常規思路解決的綜合性問題.在解答數學問題過程中，學生應當將自己的解題思路打開，靈活遷移各個章節的知識點，優化解題思路，掌握更多的解題方法，提高自己的解題能力.