轉(zhuǎn)換思維，解決初中數(shù)學(xué)題中的最值問題

陳煒煒

【摘要】幾何圖形的最值問題是初中數(shù)學(xué)中常見的問題，旨在考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力以及如何轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思維的能力.教學(xué)中，教師要注重分類，讓他們轉(zhuǎn)化思維，進(jìn)而提升解決問題的能力.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);解決問題;最值問題

最值問題是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的部分內(nèi)容，教師要通過這一專題的訓(xùn)練，讓學(xué)生形成一定的數(shù)學(xué)思想，掌握一定的解題思路，進(jìn)而促成數(shù)學(xué)素養(yǎng)的生成.最值問題涉及的內(nèi)容比較多，需要運(yùn)用的認(rèn)知也多，大多時候題目在表面上就呈現(xiàn)出很復(fù)雜的樣子.教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會轉(zhuǎn)換，以促進(jìn)問題的解決.

1要讓學(xué)生掌握基本的原理與圖形

一般來說，初中幾何涉及到的最值問題它最基本的原理就兩個，一個是兩點(diǎn)之間，線段最短：另外一個是點(diǎn)線之間，垂線段最短.所以教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生從這兩個原理出發(fā)，再一步步地漫溯.萬變不離其中，所有復(fù)雜的問題都會轉(zhuǎn)到這兩個原理上來.基于這兩個原理，學(xué)生要掌握兩個對應(yīng)的基本圖形.如圖1、圖2示.

當(dāng)然就兩個原理而言，可以派生出多種情況來，比如說，由兩點(diǎn)之間，線段最短可以派生出三角形兩邊之和大于第三邊：點(diǎn)圓之間，點(diǎn)心線截距最短.由點(diǎn)線之間，垂線段最短可以派生出平行線之間，垂線段最短：線圓之間，心垂線截距最短等.除了對原理進(jìn)行轉(zhuǎn)化之外也要對題目的問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，比如在中，圓的半徑為6，，AC是的切線，則 CD的最小值是多少.

學(xué)生是這樣轉(zhuǎn)化題目問題的，由就知道弧AD是一定的，也就是說 D是定點(diǎn).同時學(xué)生由題目的意思知道 C是直線AC上的動點(diǎn)，他們這樣轉(zhuǎn)化著，題目要求的就是定點(diǎn) D到定線 AC的最短路徑，換言之就是要求 CD⊥AC.可以這樣說，抓住圖與基本原理就是解決最值問題的核心.學(xué)生首先要能對原理有理性的認(rèn)識，再將其轉(zhuǎn)化為圖，形成一定的感性認(rèn)知.

2學(xué)生可通過平移的方法解題

在求最值時，學(xué)生有時候會運(yùn)用到幾何中平移的概念.也就是說，他們在計(jì)算具體題目時，可將平移的認(rèn)知運(yùn)用到題目的解決中，進(jìn)而促成問題的化解.例如：如圖4所示，的半徑為1，AB=1，若點(diǎn) A，B都在直線上，AB=1，記線段 AB到的"平移距離，為d1，求d1的最小值.

學(xué)生首先要理解平移的概念，接著要將最小值轉(zhuǎn)化為求具體的線段，再接著要將平移之后相應(yīng)的線段求出來，進(jìn)而推出要求的結(jié)果.也就是說，學(xué)生可先作等邊△OEF，由點(diǎn) E 在 x 軸上，求得：OE=EF=OF=1.再接著學(xué)生創(chuàng)造性使用條件，設(shè)直線交x軸于 M，交 y軸于 N.得出 M（ -2，0），當(dāng)學(xué)生過點(diǎn) E作EH⊥MN于 H時，他們就知道 EH 就是要求的最短距離.他們先是得出 OM=2，，進(jìn)而得出，最終得出 EH=EM . .對于平移方法來說，學(xué)生首先要能理清其基本的含義，其次要能將平移的性質(zhì)運(yùn)用起來，以讓他們將平移前移后的數(shù)據(jù)融合起來，相互求證，促成問題的轉(zhuǎn)化.

3學(xué)生可通過創(chuàng)設(shè)假想圓解題

在求幾何圖形中的最小值時，教師可引導(dǎo)學(xué)生將相關(guān)的條件放到圓中去.因?yàn)榉胖脠A中，就能在點(diǎn)圓之間得出，點(diǎn)心線截距最短的結(jié)論;在線圓之間就能得出垂線截距最短的結(jié)論;在圓與圓之間就能觀察到連心線截距最短.換言之，如果學(xué)生就著原圖假想出圓，相關(guān)的結(jié)論就更容易發(fā)現(xiàn).

例如：

對于第一問，學(xué)生先是猜測可能相等，接著如圖5所示，他們過點(diǎn)A作AMLFD交FD的延長線于點(diǎn)M ，進(jìn)而證明四邊形AEFM是矩形.再接著學(xué)生由“AAS”就可以證明△AEB AAMD，進(jìn)而推出BE-DM，AE=AM.進(jìn)一步地，學(xué)生可推出矩形AEFM是正方形﹐因此EF= MF，MF=DF+ DM，EF一DF+BE.教師創(chuàng)設(shè)第一問也是減輕第二問的難度，給最值問題以鋪墊.

對于第二問，他們先是如圖6所示，取AB中點(diǎn)O，連接OC，由勾股定理可求OC=5.接著他們就假想出一個圓來，即，點(diǎn)E在以О為圓心，OB為半徑的圓上，進(jìn)而可以推斷當(dāng)點(diǎn)E在OC上時，CE有最小值.具體地說，由，推出，再進(jìn)一步推出.同時由二AEB一90°，能假想出點(diǎn)E在以О為圓心，OB為半徑的上.因?yàn)橛羞@樣的假想，所以當(dāng)點(diǎn)E在OC上時，CE有最小值.對于最值問題，學(xué)生在心中首先要有一個盤算，即一般有哪些問題，需要運(yùn)用到哪些認(rèn)知，進(jìn)而再對著具體的題目，進(jìn)行充分地想象，要將最值問題放到最適合的圖像中去.

4學(xué)生可通過轉(zhuǎn)換線段解題

在求某某線段最值的時候，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)直接求解是很困難的，教師可指導(dǎo)學(xué)生將相關(guān)的線段進(jìn)行轉(zhuǎn)換，以使問題變得簡單，以使結(jié)論昭然而來.

5小結(jié)

本文從四個方面對初中幾何中的最值問題進(jìn)行了粗淺的研究.學(xué)生要掌握一些常見的思維轉(zhuǎn)化的方法，要將復(fù)雜的問題簡單化;要將間接的結(jié)論直接化;要將孤立的圖形關(guān)聯(lián)化.總而言之，就是通過最值這一系列的題目實(shí)現(xiàn)學(xué)生思維的轉(zhuǎn)換，進(jìn)而促進(jìn)他們能力的提升.