重本夯基追本溯源固本開新

石先兵

筆者近期參與了本地區九年級多校聯合考試數學試卷的閱卷工作，批改的是一道幾何解答題，共兩小問。第（1）問源于課本，考查用“邊邊邊”證明兩個三角形全等，第（2）問考查用無刻度直尺作圖。兩小問的組合考查基于核心素養，全方位考查學生對幾何知識的綜合應用能力，引起筆者強烈的研究興趣。

一、題目呈現

（1）圖1是一個測角儀器，其中MA=NA，MC=NC?，F將點A與角的頂點重合，AM和AN沿角的兩邊放下，沿AC畫出射線AP，試證明射線AP是這個角的平分線。

（2）圖2是10×7的方格紙，紙中每個小方格都是完全相同的正方形，∠EOF（點O在格點上）畫在方格紙上，請利用格點和無刻度直尺作出∠EOF的角平分線。

二、特色解讀

（一）源于教材，高于教材

本題第（1）問源于人教版八年級上冊第十二章全等三角形中12.3“角平分線的性質”的思考，由角平分儀的工作原理引入作一個已知角的角平分線的依據：由“邊邊邊”判定兩個三角形全等從而得到角平分線，也為第（2）問用無刻度直尺作圖提供了方向——通過構造全等三角形（邊邊邊）尋找角平分線。第（2）問是要求在方格紙中用無刻度直尺作出角平分線，考查學生的遷移能力和應用意識，除了要知道格子中隱含的幾何元素的關系：線段的位置關系（平行或垂直）和數量關系（相等），還要從已有的知識、方法、經驗積累中找到解決問題的源頭。最后的統計數據中第（1）問的得分率達到了95%，第（2）問的得分率不到30%，可以看出第（2）問對學生的思維能力提出了挑戰，這也恰恰是目前作圖題的命題趨勢。

（二）打破傳統，考查素養

直尺是用來作直線，而圓規是用來作等長的線段，尺規作圖就是通過作等長的線段來達成目的。而用無刻度直尺作圖實際上是進一步約束條件：只用直尺作圖，雖然失去了圓規的助力，卻把尺規作圖中的操作與思維結合起來，把幾何直觀和邏輯推理融合。用無刻度直尺作圖是基于尺規作圖，除了考查學生的動手操作能力，也需要學生在已有的知識、方法基礎上，在自己思維的最近發展區，通過聯想建構達到解決問題的目的。在整個解決問題的過程中，第（1）問考查了幾何直觀、空間觀念、推理能力等核心素養，第（2）問更是全面考查了數學核心素養。

（三）升華題型，凸顯本質

第（1）問到第（2）問是從常規的幾何證明題到用無刻度直尺作圖，也要求學生從明確解題目標到明確解題方向過渡。傳統的尺規作圖往往明確要求只需用一種或多種基本作圖就可以作出圖形。而用無刻度直尺作圖，需要學生根據題中已知信息結合圖形的幾何特征來確定兩個點或一個點（另一個點已知），再利用“兩點確定一條直線”這一基本事實用直尺畫出圖形。雖說平時的教學中不要求學生寫出作圖過程，但學生只有對作圖原理了然于心，才能順利解決問題。因此在教學中，教師除了要教會學生如何尺規作圖，還要教會學生論證為什么這樣尺規作圖。這樣學生才會靈活運用所學知識和原理，提升思維能力，才能深入思考，促進深度學習。

三、思路分析及解法

如圖3，方格中角的兩邊上有P1、P2、P3、P4、P5、O和Q這7個格點，特別是點Q是方格中OF邊上唯一的格點，利用直角三角形可知OQ和OP1的長度都是5個單位長度。第（2）問用無刻度直尺作角平分線，在點O的基礎上需要再找到一個到點Q和點P1距離相等的格點就可以了。但如何從表格中眾多的格點找到適合條件的格點呢？

不妨先動手畫出角平分線的草圖（鉛筆畫出），以縮小探究的范圍，結合得到的條件OQ=OP1，鎖定目標格點，再結合已有的知識加以驗證。有哪些與角平分線有關的知識或方法呢？追本溯源，可知：①利用尺規作圖中作一個已知角的角平分線的依據：構造三角形全等;②等腰三角形“三線合一”的性質;③菱形的對角線性質;④等腰三角形和平行四邊形的組合可以得到角平分線;等等。

基于以上的分析，第（2）問生成了多種解法。

解法1：考慮到OQ=OP1且OP1是水平的線段，取水平線段CQ=OP1，如圖4，用無刻度直尺作出射線OC即可。這里利用CQ=OQ且CQ//OP1得到∠QCO=∠QOC，∠QCO=∠COP1，從而∠QOC=∠COP1，即射線OC為∠EOF的角平分線。也可以如圖構造菱形OQCP1，根據菱形對角線的性質也可以得到射線OC為∠EOF的角平分線。

解法2：考慮到OQ=OP1，可知△OQP1為等腰三角形，利用等腰三角形“三線合一”找出底邊的中點即可得到頂角的角平分線。利用格子中的平行線和相等線段可以構造平行四邊形，也可以通過平行線構造相似找到QP1的中點。

利用相似，構造基本圖形和I是線段QH的中點得到線段QP1的中點D。射線OD即為∠EOF的角平分線。

解法3：利用格子中水平豎直的線段構造全等的三角形，得到∠EOF的角平分線。

四、教學思考

（一）注重教材，夯實基礎，掌握基本技能

作為教學和學習的第一手材料，教材應引起教師和學生的高度重視。尺規作圖作為中考常考的題型，年年中考試題雖各不相同，但考查的主要內容基本一致。除了要求掌握的五種基本作圖外，教材在部分幾何內容中也有涉及尺規作圖，如三角形全等判定中的探究活動，求作等腰三角形，作一些特殊的正多邊形等，教學中教師可以加以利用，也可作適當拓展，如用尺規作圖作出等邊三角形、平行四邊形，過圓外一點作出圓的兩條切線等，這樣既可以使學生熟練掌握基本技能，又可以提高學生學習數學的興趣。

（二）回歸知識，追本溯源，發展綜合能力

對于尺規作圖問題，教師在教學過程中不僅要教學生怎么尺規作圖，還要剖析尺規作圖的原理，明白為什么這樣作?！包c”是構成幾何圖形的最基本元素，尺規作圖是通過“確定點”來實現的，因此解答尺規作圖題需根據題意分析確定的點應滿足怎樣的條件，并運用尺規作圖的本質——作等長的線段確定相應的點，而用無刻度直尺作圖就是用來畫直線、射線、線段的。教師在教學過程中要引導學生構建知識體系，歸納總結解決問題的知識或方法源頭，如本題中可以歸納總結和角平分線有關的知識或方法：①構造全等三角形得到相等的角也包括角平分線的判定定理;②菱形的對角線平分每一組對角;③等腰三角形“三線合一”;④等腰三角形和平行線的組合可得到相等的角;等等。明白了問題的本質，探尋到解決問題的知識源頭，形成解決問題的方法，這就是培養學生解決問題的綜合應用能力。

（三）逆推綜合，固本開新，促進深度學習

近幾年中考的尺規作圖題靈活多變，不再直白要求作什么，往往需要綜合分析題意才明白需要怎么作出圖形。本題用無刻度直尺作角平分線，就需要認真分析。第一步，根據題目觀察特殊的格點特別是角的兩邊上的格點，如點Q，從而關注線段OQ=OP1;第二步，可以用鉛筆直接畫出角平分線的草圖，結合OQ=OP1分析在假設的角平分線上的格點如何通過無刻度直尺畫出，結合幾何圖形的性質得到該格點就是角平分線上的點;第三步，用直尺畫出需要的直線或線段并加以驗證。其中第二步需要學生在假設的角平分線上先鎖定目標格點，再綜合已有的知識和方法，結合已知條件，找到目標格點符合條件的作法，這就是逆向推理，然后再理順思路，從條件出發，作出符合條件的圖形。這是在數學解題中常用的方法。分析后再綜合，從結論到條件，再從條件到結論，這對學生的思維能力提出了更高的要求。教師在教學過程中就需要通過對所學內容或方法進行有機整合、整體設計，這樣學生既能加深對知識的理解和體會，還能將所學知識和方法遷移和應用，從而促進深度學習。

注：本文系福建省教育科學“十三五”規劃2020年度教育教學改革專項課題“基于初小銜接的數學教材梳理與校本作業設計研究”（Fjjgzx20-009）的研究成果。