應用型本科離散數學課程分層教學改革與實踐

李娟 黃承寧

摘要：針對應用型本科的離散數學進行分層教學改革，分析了當前離散數學教學遇到的問題，以分層教學思想為引導，從教學對象、分層教學的操作和教學評價三個方面進行分層，并闡述了具體的實施方法。

關鍵詞：離散數學；教改；分層教學；計算機；應用型

中圖分類號：G642? ? ? 文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2022）30-0131-03

開放科學（資源服務）標識碼（OSID）：

離散數學主要研究離散對象的存在，計數、結構及其相互關系的一門課程，它是計算機科學與技術專業的核心基礎課之一[1]，能夠鍛煉學生的邏輯思維和推理能力，并對計算機專業的其他課程提供一定的基礎。離散數學不僅對計算機專業的其他課程如數據結構與算法、計算機組成原理有承上啟下的作用，而且在計算機人工智能領域也有應用。

南京工業大學浦江學院是一所應用型本科院校，離散數學的授課對象有普通本科學生也有專升本的學習，學生的基礎參差不齊，吸收知識的能力也有差異，學習積極性差，難以堅持。

主要表現在以下幾個方面：

（1）教學內容單一。偏重理論的講解，欠缺計算機相關聯的實踐操作。

（2）學生兩極分化嚴重。好的學生存在“吃不飽”的現象，差的學生上課聽不懂，很難激發他們的學習興趣。

（3）考核手段單一。通過平時統一布置的作業難以衡量學生的實際水平。

因此對現有的授課模式必須做出調整，才能發揮這門課的價值。

1 分層教學理念

分層教學是指教師根據學生的現有知識、能力水平和潛力傾向把學生科學地分成幾組各自水平相近的群體并區別對待，這些群體在教師恰當的分層策略和相互作用中得到最好的發展和提高，從而達到因材施教的目的。分層教學這一教學理念和因材施教殊途同歸。這一理念在我國存在的歷史非常悠久，比如孔子提倡的“因材施教”的教育思想[2]。在共同的教育目標下，根據學生的個體差異特點，有的放矢，因勢利導地采用不同的教育措施。蘇聯教育家維果斯基提出“最近發展區”理論，每個學生有兩種發展水平：一是個體的現有水平，即由一定的已經完成的發展系統所形成的心理機能的發展水平，二是即將達到的發展水平，即借助他人的啟發幫助可以達到的較高水平，這兩種水平之間的區域即“最近發展區”。教學應從學生現實的發展水平開始，不斷創造新的“最近發展區”，讓學生經過努力就能夠得著，把學生的現有發展水平轉化為最近發展區，并不斷創造出更高水平的最近發展區，不斷促進學生的發展。20世紀初分層教育被引入學校教學以來，眾多科目采納了這一思想，比如“高等數學課程分層教學改革探究” [3]“MOOC背景下《大學計算機基礎》Python實驗螺旋分層教學設計” [4]“體育教學中實施分層教學模式創新”，且都產生了良好的效果。

受到上述教學思想的啟發，2020年秋以專升本這屆學生共109名學生作為改革試點，將分層教學思想引入“離散數學的”課堂教學中。與上述方法不同的是，本文從離散數學的特殊地位出發，它是連接數學和計算機橋梁，在分層教學的過程中，教學內容與計算機軟件設計、編程等相關能力結合[5]，同時對課程評價方式也做了相應的改革。在試題難度相當的情況下，通過學期末的評估，學生的學習興趣，學習風氣，學習習慣，總體成績都有較大的提高。

2 分層教學理念在離散數學中的應用

2.1 教學對象的分層

結合離散數學這門學科的特點，既有講授數學的基本原理和方法，也有利用計算機解決實際問題的算法實現，所以首次分層采用問卷調查的方式，問卷調查的內容涉及以上兩個維度，讓學生自主選擇所在的層次，同時老師也可以根據問卷調查情況適當地給予引導調整。問卷調查表設計如表1所示。

在學習離散數學的過程中，學生在自我評價的基礎上可以隨時提出申請，或者教師在平時的成績監控中發現學生的進步程度，提醒學生提出升層申請，從而達到各層次學生遞進流動。具體劃分的層次見表2。

A層：拔高層，即能力較高層，該層的學生理論知識扎實，自學能力強，善于動手實踐。在本門課程之前所修的高等代數分數在75分以上，具備良好的數學基礎知識和素養，具備良好的數學建模能力；程序設計語言C/C++/Java/Python中分數在75分以上；對數據結構與算法有一定的了解；參與過具體的項目。

B層：發展層，即能力中等層，該層的學生基本掌握理論知識，熟悉基本的編程規范。在本門課程之前所修的高等代數分數在65～75之間；程序設計語言C/C++/Java/Python中分數在65～75之間；具備一定的學習興趣，但是學習較為懶散，沒有較好的自制力，考前突擊型，缺乏自主學習的能力。

C層：基礎層，即學習習慣差，學習沒有明確的目標，上課不聽講，經常抄襲作業。在本門課程之前所修的高等代數分數在65以下；程序設計語言C/C++/Java/Python中分數在65分以下。

2.2 分層教學的操作

2.2.1 教學內容分層

教學內容的分層設計是整個分層教學改革的核心內容，是分層教學改革的成敗關鍵。分層設計的過程見圖1。

以教學大綱為指導，結合課程總體教學目標對教學內容進行分解和細化，對可以分層的內容進行挖掘和識別，最終形成五個模塊的教學內容。

學校現階段使用的教材是屈婉玲、耿素云等人編寫的“離散數學”，此教材符合B層次的學生對教材的需求，對C層的學生而言，一些定理的證明和推理過于抽象晦澀，因此需要對這一個層次的學生降低難度，但對于A層次的學生，這本教材缺乏一些離散數學解決實際問題的實例且與計算機學科聯系的實例較少，使得A層的學生得不到最大限度地鍛煉。因此再搭配一本稍高層次的教材美國Kenneth H.Rosen編寫的“Discrete Mathematics and Its Applications” [6]，現以離散數學中的關系這章為例來說明教學內容分層設計，見表3。

2.2.2提問分層

顯性分層可能會給學生的自尊心帶來負面影響，適當地采用隱形分層策略，即只有授課老師和學生個體清楚所在的層級，學生之間是封閉狀態，以達到最大程度減少分層帶來的心理落差甚至厭學。因此，提問的問題應該面向全體學生，應設計出有層次的、靈活多樣的問題，使不同學習水平的學生都有話可說。提問時要注意必要的鋪墊，形成階梯，以有利于學生給出答案。對A類同學的提問，難度可以稍微大點，側重于培養學生的思維能力；對B類同學的提問，注重開發學生的潛能；對C類學生，以鞏固基礎知識的基本技能為主，重點在于掌握與鞏固，要保護他們的自尊心和積極性。

2.2.3 分層練習

離散數學的作業分為理論題和實驗操作兩大部分，對理論題要針對學生的差異，結合教學內容的分層，從題庫選擇對應的題目進行分層布置作業，在作業量方面，也要體現適度的分層，基礎不牢固的學生適當增加基礎題，吸收知識較快的同學增加難度稍大的題型。對實驗操作采用的是分組合作的方式，為了讓每個層級的學生能有互相學習的機會，取長補短，每個組內的同學都有A、B、C層次的學生。以圖論這章的內容為例。實驗目的：理解圖論的基本概念，圖的矩陣表示，圖的連通性，圖的遍歷，以及求圖的連通分支方法。通過實驗，讓學生把離散數學中的概念、性質和運算以及邏輯思維能力融入用計算機具體求解問題中去；通過實驗讓學生領悟編程設計的思想，通過完成簡單的算法設計和分析增強自己的自信心、夯實自己的專業基礎課。同時提交的實驗報告也鍛煉了學生總結實驗結果的能力。通過實驗報告的編寫，掌握目錄、頁碼等文檔編輯技巧。見表4。

通過幾個流程，不同層次的同學參與的側重點也有所不同，結合實驗的難易程度，分工可以有所調整。也利用各個層級之間的動態流動。

2.3 教學評價的分層

分層的教學不是一種目的，而是一種教學的理念[7]。只有針對不同層級的學生給予不同層次的評價機制，才能使分層教學得到落實和監督。分層教育注定評價的方式要多樣化，傳統的評價方式過分重視靜態的、可量化和淺層次的學習成果， 評價內容片面、評價方式單一， 不利于學習者的全面發展[8]。為了能夠實現評價的分層，采用過程性評價。評價主體上，以教師評價為主，學生自評、同學互評為輔。評價內容上主要包含學生的課前預習，課堂表現，課后表現。其中課堂預習主要以中國大學生慕課國家精品課程為導學和線上提供的預習資料為主。課堂表現主要包括課堂考勤、課堂熱身提問、課堂討論、回答問題、作業展示、課堂測驗等。課后表現主要包含課后布置的作業，線上討論參與的互動情況。以檔案為主，觀察表、評測表實時測評各個層級的表現，及時調整層級的流動，實現從低層到高層的提升，使分層教學形成一個閉環。

過程性評價得分細則：

學生的成績如公式（1）所示：

[][G=i=1nwigi]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（1）

其中G為課前、中、后總成績，i表示項數標號（[1≤i≤N]）， [gi]表示第i項的成績，[wi][wi]表示第i項的權重，通過下表給出評價的細則[gi]，設置好各項的權重，可以由學習通自動計算結果。

過程性評價中需要注意：

（1）制定完善的激勵制度，合理地設置每項評價指標的權重。

（2）使用網絡教學平臺、精品課程平臺進行大數據評價。

（3）制定每個層級的學習路徑圖和層級轉化路徑圖。

（4）定期對收集的測評數據進行分析，喚醒每個層級學生轉化與之能力匹配的等級。

（5）作業形式多樣化。作業主要分為兩個部分，一部分是教師統一準備作業本，主要包含基礎概念，基本計算，基本證明，主要以教材【屈婉玲】的課后習題為主，另一部分是上機實驗題，主要包含實際應用的求解或者算法實現的作業，視具體的作業難易程度，組織形式可以多樣化，比如小組，自由組合，作業計入總成績。

3 結束語

分層教育的教學方法已經在英語、數據、物理等基礎課程取得了很好的教學效果，但應用到具體學校的離散數學課程中還存在諸多問題。要綜合考慮學生的基礎學科素養的差異和課程本身的結構特性，制定適合自己的課程分層設計。但通過一學期的觀察和實踐，學生對離散數學的認識從以前的枯燥、乏味到對課程感興趣、愿意聽、樂意動手操作，不失為一種教學改革的進步。下一步計劃繼續挖掘專業內涵，從學科發展前沿的技術引入到課程中來，在分層教學中與引入的教學手段相結合，讓學生真正地做到學有所得，學有所用。

參考文獻：

[1] 屈婉玲，耿素云，張立昂[著].離散數學[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2] 彭懷祖，楊建新.基于分層教育理論的榜樣教育實效性研究[J].思想教育研究，2010（11）：88-91.

[3] 李偉彬，許有平.現代教育語境下大學英語隱性分層教育研究[J].外國語文，2011，27（S1）：159-161.

[4] 劉瑜，杜晶，楊玫.MOOC背景下《大學計算機基礎》Python實驗螺旋分層教學設計[J].計算機工程與科學，2019，41（S1）：114-118.

[5] 王曉英，黃維通，劉曉靜，等.面向西部高校計算機專業的離散數學教改實踐[J].計算機教育，2011（20）：43-48.

[6] Kenneth H.Rosen.“Discrete? Mathematics and Its Applications”[M].北京：機械工業出版社，2011.

[7] 胡琨，程愷.分層教學法在軍隊院校計算機教育實踐能力培養中的應用[J].計算機工程與科學，2014，36（S2）：6-9.

[8] 上超望，韓夢，楊梅.基于大數據的在線學習過程性評價設計研究[J].現代教育技術，2018，28（10）：94-99.

【通聯編輯：光文玲】