讓數學實驗操作更富有智慧

馮居加

[摘 要]動手操作是新課程的一大特色，真正數學化的操作探究應該是引導學生在觀察對比中進行理性思考，而不是停留在對游戲現象的思考。因此，數學操作實驗應成為學生數學思考的載體，應凸顯實驗的學科性和專業性。

[關鍵詞]實驗操作;經驗;大數據;習題

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2022）14-0052-03

[教學片段]

師：下面我們通過實驗探究錐形玻璃容器體積的求法。先在錐形玻璃容器中裝滿太空沙，再將裝好的太空沙倒入一個圓柱形玻璃容器中，重復操作，看看需要幾次才能裝滿。各小組分工合作。

師：圓柱形玻璃容器裝滿太空沙需要幾次？錐形玻璃容器和圓柱形玻璃容器的體積有什么關聯？

生1：圓柱形玻璃容器裝滿太空沙需要3次。我覺得圓柱形玻璃容器的體積是錐形玻璃容器的3倍。

生2：我們組得出的結論也是3次，這說明錐形玻璃容器的體積是圓柱形玻璃容器體積的三分之一。

生3：我們一共需要4次。我們組認為錐形玻璃容器的體積是圓柱形玻璃容器體積的四分之一。

生1：我們組支持三分之一，反對四分之一。

生4：我們組與他們的都不一樣！我們的結果是不到3次。

師：三分之一？四分之一？不到三分之一？真相到底是什么？老師帶大家一起來揭曉，大家不要眨眼，先將錐形玻璃容器裝滿太空沙，然后倒入已被清空的圓柱形玻璃容器。一次，二次，裝滿了，二分之一？這次又不一樣。這是怎么回事？

生5：老師用的錐形玻璃容器是特大號的，每次裝的沙子要多一些。

（教師改用學生所用的小號錐形玻璃容器重復實驗，結果3次可倒滿。）

師：在什么情況下才能說錐形玻璃容器的體積是圓柱形玻璃容器體積的三分之一呢？

生6：等底等高時。

生7：嚴格來說，應該是錐形玻璃容器體積是與它等底等高的圓柱形玻璃容器體積的三分之一。

師：這下就知道剛才的“二分之一”“四分之一”是哪里出了紕漏了。

（學生議論紛紛）

上述教學很傳統：首先確定操作方法和規程，然后讓學生照做，最后學生自行歸納總結錐形玻璃容器體積的計算方法。這樣的教學設計自動屏蔽了學生的原始經驗，貿然用實驗代替圖形推理，跳過常用的幾何性質推導法，讓學生一頭霧水。因為教師沒有制造必要的認知沖突，沒有激發學生的探究動機，也沒有擺明探究的根本原因。為什么非得采用倒沙的方法，還有沒有其他方法？這樣不由分說地強制實施，沒有任何解釋和交代，會讓學生十分迷惑，他們根本不知操作的意義何在。小學生的天性會促使他們去操作，但是這種天性使然的操作只是貪玩，學生的好奇心只是集中在為何倒的次數不一樣上，而沒有轉移到對圓錐體積的反思。真正數學化的操作探究應該是引導學生在觀察對比中進行理性思考，而不是停留在對游戲現象的思考。因此，數學操作實驗應成為學生數學思考的載體，應凸顯實驗的學科性和專業性。為此，筆者進行了大力改進。

一、設計實驗應該考慮學生的經驗基礎

學生在長期的數學操作活動中形成了一定的反思能力，這是寶貴的教學資源。教師在教學時應善加利用。比如，在學習“錐形玻璃容器的體積”之前，學生積累了將圓柱轉化成長方體求體積的經驗，在六年級上學期也見識過用排水法求不規則形狀物品的體積，兩種方法都向學生傳遞了等積變換的思想。對此，教師不妨“舊事重提”，既能回顧舊知，重溫等積變換的思想，又體現了解決問題方法的多樣性。

【教學改進1】

師（拿出一個泥塑圓錐體）：誰能設法算出這個泥塑圓錐體的體積？

生1：不妨將這個泥塑圓錐體揉捏成長方體、正方體、圓柱體等規則幾何體，雖然形狀改變，但是體積卻是不變的。這樣再求體積就有現成的公式可用了。

生2：還可以將其置入水槽中，這樣升高的液柱體積就是泥塑圓錐體的體積。

師：都是好辦法，無非就是轉化一下，變形成其他規則形體再求體積，是嗎？

生3：沒錯，正是如此。

師：看來你們已經無師自通，這還沒正式開場呢，真厲害！

經過小小的改變，學生各種奇謀頻出，教師順著學生的思維繼續引導，順其自然制造認知沖突，突破學生知識邊界。在后續教學中，教師可通過問題“如果這個圓錐體不是泥塑的，而是鐵制的怎么辦？如果這個鐵制的圓錐體的體積很大，又該如何是好？”顯然新的情境是合情合理的，而且學生剛給出的兩種方法已經失靈，學生產生了認知沖突，尋求新的方法成為迫切的需要。認知的沖突激發了學生的探究動機和學習欲望，為學生后續操作鋪好了路。

操作不是盲目動手，是帶著某種指導思想去行動，去積極探索有意義的實驗方法，而這種探索不是教師獨斷專行，將所有實驗流程和步驟和盤托出，然后要求學生一步步嚴格按照要求來做。這樣一來，學生是不多加思考的，即便教師告訴他們實驗原理和實驗目的，他們也無法形成自己的數學思想，例如直接教學生用圓錐形容器裝沙后不斷倒入圓柱形容器中，這種做法的基本思想是什么，學生不知道，為什么要等底等高才能對比，學生也渾然不覺;而將圓錐換成泥塑的，學生就會想到通過揉搓變形，轉化成其他規則幾何體。這既體現了轉化思想，又體現了等積變換的思想。兩大思想被激活后，就能形成合力，當遇到新的情境——鐵制的圓錐（無法變形），體積很大（無法溢水）時，學生就會想到要運用轉化思想和等積變換思想。

二、結論驗證離不開大數據排查

當探究“是否可以找到錐形玻璃容器與圓柱形玻璃容器之間的幾何聯系，然后利用這種關系進行轉化，間接求得錐形玻璃容器的體積”這一問題時，通常做法是直接出示兩個等底等高的圓柱形玻璃容器和錐形玻璃容器，然后進行倒沙實驗，驗證兩個容器體積存在1∶3的比例關系。這些都是強制學生為操作而操作。既然要操作，為何還要限制那么多，為何不索性放手讓學生按照自己的真實意愿操作呢？因此，筆者做了大幅度改動，還給學生足夠的探究自主權。首先準備了多組等底等高的圓柱形玻璃容器和錐形玻璃容器，其他普通的圓柱形容器和圓錐體容器也混雜其中，一一編號，以示區別，然后放手讓學生隨意裝填太空沙，隨意更換容器，交叉配對，唯一的要求就是如實記錄實驗數據，尤其是配對的容器編號與裝沙的轉換次數，以及推測出的體積倍數關系，均要一一記錄，在獲得大量真實的數據后，還要整理歸納，概括出實驗結論。

【教學改進2】

1.大膽猜想

（1）初步猜想：錐形玻璃容器的體積可能與哪些因素有關？到底是什么樣的數量關系？

（2）觀察實驗現象，二次猜想。

2.實驗驗證

（1）學生分組實驗，填寫實驗報告（如表1）。

（2）匯報交流。

（3）實踐操作、歸納總結：從實驗現象中看出了什么？得出什么結論？

這樣的實驗過程才真實的。從大量的真實的現象中尋找規律，這些規律是沒有經過人工篩選的，才能令學生信服。而且學生的實驗過程充滿了選擇權，所有的可能被考慮進去，等底等高不再是一種硬性要求，不等底不等高也不會成為干擾，一切都由學生自行區別和辨析，學生分析研究實驗數據的能力大大增強。

鐵質的巨大圓錐既無法輕易變形，又無法利用排水法，那么只能采用別的辦法，但是不論采用什么辦法，都必須等積變換，將不規則的圓錐轉化成其他規則幾何體，這一轉化是倒沙模型的思想基礎。可將太空沙堆出和鐵質的圓錐相同的模型，然后將太空沙倒入圓柱形容器中，再進一步轉化，縮小模型，將圓錐假想成空心的容器，裝沙后轉入圓柱形容器中。此時，圓柱形容器和其他規則形狀的容器并無不同，是一個隨機選擇。通過一次次實驗，學生慢慢摸索出需要控制變量才能準確計算出圓柱與圓錐的轉化比，這個唯一可控的變量就是底面面積，恰好，圓錐的底面與圓柱的底面都是同種形狀，因此，利用它們的底面積建立轉化是最佳選擇。

三、實驗結論的應用習題應該有梯度

教師如果只是不停地仿制或者重復習題訓練，就會阻礙學生的思維發展，束縛學生的思想，磨滅學生的問題意識，扼殺學生的創新精神。教師可以將習題設置成升級闖關模式，讓學生不斷地接受挑戰，不斷尋求新的刺激，不斷滿足新的求知欲，不斷嘗到成功的喜悅，還可以讓學生通過反思完成自我提升。

【教學改進3】

“錐形玻璃容器的體積”檢測題

1.一個錐形玻璃容器的體積是21毫升，和它等底等高的圓柱形金屬容器的體積是___________。

2.把一塊圓柱形木料削切成一個最大的圓錐形陀螺，則削去的木屑的體積與陀螺的體積比是___________，削去的木屑的體積是圓柱形木料體積的_______________。

3.沙漏是我國古時候常用的計時器，其實就是一個帶有時間刻度的圓錐形容器，已知該設備底面半徑是2分米，高是6分米。沙漏中裝滿鐵砂，如果每小時流出7升鐵砂，那么沙漏中的鐵砂全部漏出代表時間過了多久？

4.巧克力專賣柜里擺放著同一種原料制成的巧克力，它們都有著統一大小的圓形底座。一種巧克力是圓錐形，每塊5角錢;一種巧克力是圓柱體，每個1元錢。如果你有1元錢，買哪種巧克力更實惠？

通過操作概括出圓柱體積與和它等底等高的圓錐的體積關系式后，得到的只是一個刻板的公式，學生在應用時大多不去考究這個公式的來歷，直接套用。其實，這個操作實驗滲透的不僅是轉化思想，也不是僅僅為了揭示圓錐體積公式中[13]究竟從何而來，而是通過整個操作過程來訓練學生思維的靈活性和培養學生的空間觀念。學生會發現，一個形狀的容器可以去丈量另一種形狀的容器，一種容器的容積恰好可以是另一種容器的容積的整倍數，不規則物品的體積只要進行疊加就能得出規則物品的體積……還有各種有趣的比例關系，比如用圓柱形木料削成一個最大的圓錐體，削去的部分、整體與圓錐之間存在比例關系，削去的木屑占2份，圓錐占1份。又如，一個體積是9立方分米的圓錐形鋼坯，熔鑄成一個和原型等底等高的圓柱，圓柱形鋼坯的高是多少？此時，就需要熟練靈活運用等積變換規律。

通過習題的梯度設計，以及在習題中不斷增加新元素和新的思維結構，促使學生不斷去創新方法來應對不斷出現的新變化，形成創造性解決問題的能力。學生在爬坡式練習中，既可以增加學習興趣，又可以產生成就感和自信心，還能獲得不同級別的提升。同時教師從中能更好地了解學生的差異，由此實施分層教學。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 劉怡.數學實驗助力小學數學課堂教學[J].新教育，2021（29）：44-45.

[2] 陳燕.淺談小學數學實驗工具的開發和利用[J].小學教學研究，2021（10）：60-61.

[3] 周勝丹.小學數學實驗教學的創新組織[J].學苑教育，2021（17）：35-36.

[4] 梁春梅.數學實驗“數學化”途徑探索[J].基礎教育研究，2021（5）：70-71.

（責編 黃春香）