在實驗中抽象 在經驗上推理

劉煒

摘? 要：為落實核心素養的培養，以數學實驗為情境，以數學經驗為向導，以人教A版教材中“空間向量基本定理”為例設計并實踐了“在實驗中抽象，在經驗上推理”的教學思路，從而對命題教學提出了一些建議：用一般觀念引領探究活動，用數學實驗創設問題情境，用理性精神細化學習過程.

關鍵詞：數學實驗;數學推理;命題教學;教學設計

一、引言

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）指出，通過“空間向量與立體幾何”的學習，運用向量的方法研究空間基本圖形的位置關系和度量關系，體會向量方法和綜合幾何方法的共性和差異;運用向量方法解決簡單的數學問題和實際問題，感悟向量是研究幾何問題的有效工具. 其主要方法就是利用空間向量將立體幾何代數化（坐標化），用解析幾何方法論去解決立體幾何的問題.

如何才能保證代數化（坐標化）的嚴謹？利用空間向量基本定理. 很多教師把空間向量基本定理當成“橋梁”，但是并沒有把“基本”理解透徹，在教學中走過場，這是不可取的. 雖然空間向量是無窮的，但它們都可以表示成三個不共面向量所組成的基底的線性組合，這樣就可以利用這個基底表示空間圖形中的任意元素，并使這些元素之間建立起標準化的聯系，從而可以通過代數運算解決立體幾何問題. 這個過程是程序化的，從理論上講，只要我們根據問題中幾何圖形的特征選定基底，那么任何幾何問題都可以得到解決. 這就是空間向量基本定理的“基本”之所在.

空間向量基本定理的“基本”可以進一步從以下幾個角度來理解. 其一，知識的基本，空間中任一向量都可以表示成三個不共面向量的線性組合，這個結論是基本的;其二，方法的基本，即程序化操作，多將向量的共線比例關系改寫成基底的線性組合形式，不僅復習了向量的線性運算，也為向量的坐標表示做了鋪墊;其三，思想的基本，只要選定基底，任何幾何問題都可以得到解決，這種“以少表多”的轉化思想是十分重要的，同時將空間向量問題轉化為基底的運算，充分體現了數學的簡潔性;其四，模型的基本，剝離代數的結構形式，從幾何角度來審視空間向量基本定理，即在平行六面體中研究面對角線、體對角線，將三維降到二維、一維，這種降維的經驗也十分基本.

如何充分體現空間向量基本定理的“基本”？這是值得一線教師思考與研究的話題. 在蘇州市拔尖創新聯盟活動中，筆者設計并實踐了這一課題，確定了“在實驗中抽象，在經驗上推理”的教學思路，試圖將“基本”兩個字凸顯出來，落實《標準》的精神.

二、教學實踐

1. 學情分析

本節課使用的教材是人教A版《普通高中教科書·數學》選擇性必修第一冊（以下統稱“教材”），授課對象是江蘇省震澤中學高二某班學生，筆者是借班上課. 通過課前交流，筆者發現該班學生思維比較活躍，基礎比較扎實，對平面向量有較好的理解，為開展“類比、聯系、推廣”的教學實踐活動提供了較好的前期活動經驗.

由于空間向量與平面向量同構，因此可以采用類比的方法讓學生體會兩者的共性與差異. 空間向量基本定理揭示了空間中三個不共面向量構成三維空間的一個基底，其承接空間向量的線性運算，也開啟了基底法的使用，學生可以在邊學邊用中了解空間向量基本定理及其意義，掌握空間向量正交分解及其坐標表示. 恰如引言所論述，這個基本定理不僅在知識結構上起著承前啟后的作用，也在思想方法上有著光前裕后的影響.

2. 教學實錄

（1）課堂引入.

PPT展示：如果代數與幾何各自分開發展，那么它們的進步將十分緩慢，而且應用范圍也很有限. 但若兩者相互結合共同發展，就會相互加強，并以快速的步伐向著完美化的方向猛進.（拉格朗日語）

師：代數與幾何是數學研究中兩個重要的主題，它們相互溝通可以摩擦出新的火花. 在以往的學習內容中，你覺得什么可以稱為溝通代數與幾何的精靈？

生1：向量.

師：從平面向量拓展到空間向量，發現向量的定義、運算都沒有大的變化. 按照平面向量的研究路徑，如何將向量坐標化？用什么定理加以保證？

學生交流后得到定理的名稱，即平面向量基本定理.

師：這個定理的作用是什么？

生2：用兩個向量來表示平面內的任一向量.

師：你說得很好. 也就是用最少的向量線性表示所有的向量，這就是“以少表多”的典型. 現在，我們已經把向量從平面推廣到空間了，若要坐標化，理論上就需要空間向量基本定理. 這就是今天要研究的課題.

【評析】借鑒平面向量的研究路徑，在一般觀念的基礎上，用基本活動經驗引導整個課堂的走向，從而真正做到讓學生提出問題、解決問題. 事實上，此舉也交代了本節課的主旨，即為什么要研究這個課題.

（2）數學實驗.

實驗（復制向量）：泡沫板上插著一支竹簽（有向線段），不通過平移，能否在另一個泡沫板上插上一支竹簽（有向線段），使得兩者是相等的向量？

教師幫助每個小組準備直尺1把、泡沫板1個、竹簽若干，引導學生在合作交流的基礎上實施操作，希望學生在3分鐘內完成探究.

師生活動：學生討論，也有學生到講臺上觀測;教師巡視，與部分學生交流想法.

師：時間到，請展示作品.

通過比對，發現學生出現了測量誤差，與預期不一致.

師：很遺憾發生了誤差，你能談談你的實驗設計嗎？

生3：先向下作垂線，測量高度，然后將斜足與垂足連接起來，再過斜足、垂足作泡沫板邊沿的平行線，測量長度，確定垂足與斜足的相對位置.

師：設計很合理. 那么就是操作中產生了誤差，所以在實踐中還要思考如何才能減小誤差. 事實上，古人就有這樣的方位感. 例如，著名詩人白居易在《錢塘湖春行》中寫道“孤山寺北賈亭西，水面初平云腳低”，就很好地刻畫了方位.

接下來，筆者引導學生將這種立體位置關系抽象出來，如圖1所示. 同時，用表1表示主要教學過程.

【評析】筆者不想采用“是否用兩個向量表示任意向量”所制造的矛盾沖突，因為該沖突與平面向量基本定理幾乎等價，比較抽象. 由此設計讓學生探究如何表示一個空間向量，需要學生從三個維度上確認向量的同一性，也為后續的正交分解奠定基礎. 事實上，正交分解是物理中學習矢量的十分重要的方法，也是人們研究問題比較常見的思維，這與教材先特殊后一般的思路是契合的，也符合學生的認知過程.

師：不難發現，可以用空間中的這樣一組特殊的向量來表示空間中的任一向量，而且不能減少任何一個向量，否則就落在平面內了. 只有代數表示與幾何形式具有一致性時，數組才能表示向量，請大家考慮一下，這樣的表示唯一嗎？

生4：由共線定理與平面向量基本定理（共面定理）保證唯一性.

師：你理解得很好！如何證明呢？以往有什么證明唯一性的經驗嗎？在初中是如何證明垂足的唯一性的？

生5：用反證法.

學生口述，教師板書：設另外一組數[x′，y′，z′∈R]，使得[OP=x′i+y′j+z′k]，從而[xi+yj+zk=x′i+y′j+z′k]，整理，得[x-x′i+y-yj+z-z′k=0]，因此就有[x=][x′]，[y=y]，[z=z′].

師：理由是什么？

生6：零向量在三個分量上都是零向量，所以各自相等.

師：如果這樣可以的話，那么直接分解也是唯一的. 再想想，如何從空間向平面轉化？如何說明兩者相等（也就是兩者之差是0）？

生7：還用反證法.

學生口述，教師板書：設[z=z′≠0]，則有[k=][-1z-z′x-x′i+y-yj]，說明[k]與[i，j]共面，矛盾. 因此[z=z′]. 同理，[x=x′]，[y=y].

師：由此唯一性得以證明，從而獲得下面的結論，進而將有序數組與向量一一對應.

結論：設[i，j，k]是空間中三個兩兩垂直的向量，對于任意一個空間向量[p]，存在唯一的有序實數組[x，y，z]，使得[p=xi+yj+zk].

【評析】事實上，空間向量的大小是確定的、可測量的，但是空間向量的方向需要參照系，即可以用一組數來表示. 唯一性可以保證數組與向量的一致性，真正實現空間向量的代數化. 因此，論證唯一性的工作是十分重要的，不僅為后續知識的學習提供了理論基礎，也為嚴格論證提供了可靠經驗，是培育學生理性思維的重要契機.

（3）數學抽象.

師：從剛才的數學實驗到數學結論，在空間中可以找到三個向量，任意向量可以用它們唯一地線性表示. 這三個向量是特殊的，能否一般化呢？請大家看看我的這個操作.

教師將竹簽放在長方體（吸管為棱，用棉線串聯）的體對角線位置，表示這一向量可以用互相垂直的三個向量線性表示;然后將長方體擠壓變成平行六面體，竹簽依舊放置在體對角線的位置;最后將長方體“拍扁”在講臺上，使得所有向量皆在講臺平面內（包括竹簽）.

師：可以線性表示空間中任意向量的三個向量應該是什么關系？

生8：不共面.

師：很好，由此可以抽象出空間向量基本定理，它與平面向量基本定理比較類似. 請同學們類比敘述.

教師用PPT呈現平面向量基本定理，學生類比平面向量基本定理說出空間向量基本定理.

平面向量基本定理：如果[a，b]是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量[p]，有且僅有一對實數[x，y]，使得[p=xa+yb]. 我們把[a，b]叫做表示這一平面內所有向量的一個基底.

空間向量基本定理：如果三個向量[a，b，c]不共面，那么對于任意一個空間向量[p]，存在唯一的有序實數組[x，y，z]，使得[p=xa+yb+zc]. 我們把[a，b，c]叫做空間的一個基底（base），[a，b，c]都叫做基向量（base vectors）.

師：如果有四維空間，或者說[n]維空間，需要多少個向量構成基向量？

生9：四維空間需要四個向量構成基向量.

【評析】“拍扁實驗”可以幫助學生十分自然地將正交基底推廣成一般基底，但語言敘述的準確性是學生的難點，因此在實驗的基礎上，指導學生類比平面向量基本定理的語言加以描述，真正體現一般觀念的照搬. 在此基礎上，發現從一維到三維具有一致性，還可以推廣到一般的線性空間.

（4）數學理解.

師：空間中可以選擇不同的基底，其要求就是不共面.

例1 （教材第15頁習題1.2第2題）若[a，b，c]構成空間的一個基底，則下列向量不共面的是（? ? ）.

（A）[b+c，b，b-c]

（B）[a，a+b，a-b]

（C）[a+b，a-b，c]

（D）[a+b，a+b+c，c]

學生研究發現選項A、選項B和選項D都是共面的，所以選擇選項C.

師：好. 我們再來驗證一下.

設向量[p=a+b，q=a-b，r=c]，若向量[c]與向量[p，q]共面，即存在[λ，μ]，使得[c=λp+μq=λa+b+][μa-b=λ+μa+λ-μb]，說明向量[c]與向量[a，b]共面，這與[a，b，c]是空間的一個基底矛盾，說明[p，q，r]是空間的一個基底.

師：同時發現，[a=12p+q，b=12p-q，c=r]. 是否意味著一個基底可以用另一個基底線性表示？的確. 證明留給大家課后做.

練習：（教材第15頁習題1.2第1題）如果向量[a，b]與任何向量都不能構成空間的一個基底，那么[a，b]間應有什么關系？

生10：共線.

師：的確. 極端的情況就是其中存在零向量. 事實上，這也隱含了基底都是非零向量.

【評析】一般來說，空間向量基本定理可以在坐標化之后“功成身退”，但是對其本身的理解是十分重要的. 本環節設計的定理的理解基于兩個方面的考慮：其一，理解向量不共面是選擇基底的唯一標準，也隱含了基底都是非零向量;其二，不同的基底之間是可以相互轉化的，這樣才可能并需要選擇“好的”基底，即為“單位正交基”的選取提供了理論基礎.

（5）數學應用.

師：空間向量基本定理就是用基底來線性表示空間中的向量. 下面我們來看看如何用基底來線性表示空間中的向量.

例2 （教材第12頁例1）如圖2，[M]是四面體[OABC]的棱[BC]的中點，點[N]在線段[OM]上，點[P]在線段[AN]上，且[MN=12ON，AP=34AN]，用向量[OA， OB， OC]表示[OP].

生11給出解法：[OP=OA+AP=OA+34AN=OA+][34ON-OA=14OA+34ON=14OA+3413OB+13OC=14OA+][14OB+14OC].

師：做得很好. 利用物理中位移的觀點，用加法運算將所求向量逐步向基向量的方向轉化. 借用平面向量的經驗，應該也可以將向量的共線比例關系寫成基底形式. 由[AP=34AN]，得[AO+OP=34AO+ON]，即[OP=][14OA+34ON]. 因為[NM=12ON]，所以[NO+OM=][12ON]，即[ON=23OM]. 因為[OM=12OB+OC]，所以[OP=][14OA+OB+OC].

由此，用基底來表示空間向量，主要做的工作就是線性運算，可以將向量的共線比例關系加以分解，也可以借助幾何直觀進行分解. 我們知道，點[M]是線段[BC]的中點，點[N]應該是[△OBC]的重心，那么大家覺得點[P]是四面體的什么呢？

生12：物理重心.

師：的確，四面體的重心在線段[AN]的四等分點處，可以用物理的觀點來解讀. 分解完畢，就可以思考如下問題，以下哪種基底更便于計算？

問題1：如果[OA， OB， OC]兩兩所成角為60°，且模長為2，求[OP]的模.

問題2：如果[OA， OB， OC]兩兩所成角為90°，且模長為2，求[OP]的模.

問題3：如果[OA， OB， OC]兩兩所成角為90°，且模長為1，求[OP]的模.

通過現場調查，個別學生選擇了問題1，幾名學生選擇了問題2，多數學生選擇了問題3. 因此，教師讓選擇問題1和問題2的學生來陳述理由.

學生給出理由：問題1的幾何體很好，是正四面體. 問題2中所給向量的模長為2，取各線段的中點后所得線段的長度依舊是整數.

師：喜歡是感性的，無須理由;但是數學是理性的. 應該從什么角度來考慮呢？

師生一起給出下面的推理：假設[p=xa+yb+zc]，那么[p2=x2a2+y2b2+z2c2+2xya · b+2yzb · c+2zxc · a]. 不難發現，如果向量[a，b，c]互相垂直，那么[a · b]，[b · c]和[c · a]都等于0，則有[p2=x2a2+y2b2+z2c2]，如果向量[a，b，c]的模長為1，那么向量[p]的長度的平方就可以表示為[p2=x2+y2+z2]，此時只與系數有關.

因此，互相垂直且長度為1的基向量就是“好基”. 特別地，如果空間的一個基底中三個基向量兩兩垂直，且長度都為1，那么這個基底叫做單位正交基底，常用[i，j，k]表示. 由空間向量基本定理可知，空間中的任意向量[a]均可以分解為三個向量[xi，yj，zk]，使得[a=xi+yj+zk]. 像這樣，把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正交分解.

【評析】常見的線性表示是空間向量基本定理的一種呈現. 類比平面中三角形的重心，提出空間四面體的重心，將平面問題類比到空間. 思考的幾個問題，試圖逐層遞進，最終推向呼喚“好基”，也就是獲得“單位正交基”. 該內容既為向量的坐標表示埋下伏筆，也拓展了課堂的時空.

三、教學建議

在教學設計時，筆者根據《標準》所提倡的理念，研究教材內容、整合教材資源組織教學. 通過教學實踐，對以實驗為引導、經驗為基礎的數學命題教學又有了新的認識，特給出如下建議.

1. 用一般觀念引領探究活動

章建躍博士早在2014年就指出，數學教學中的講“理”關鍵是要有一般觀念的引領. 從教材邏輯體系來說，通常是按照“背景（實際背景、數學背景）—定義（內涵，表示）—分類（以要素為標準）—性質（要素、相關要素的相互關系）—特例（性質和判定）—聯系（應用）”的邏輯展開的，是科學研究的思路和方法，為學生學習和教師教學提供了一般觀念，從而形成富有數學思想的知識經驗. 教材的章首語也是通過回顧平面向量及其應用的學習，引導學生類比思考空間向量的探究，即不斷強化一般觀念在大單元主題教學中的作用.

針對本節課，可以類比平面向量基本定理，探究空間向量基本定理的作用與價值，研究空間向量基本定理的方法與思想. 因此，平面向量研究中的活動經驗對于空間向量的研究起著重要的支撐作用. 雖然一切都是類比平面向量，但是將二維平面類比到了三維空間，這對于學生來說就是創新. 在教學過程中，如果能夠堅持用這種類比的思想，那么可以讓學生積累很多創新的經驗，在遇到具體問題時能夠有足夠多的想法去解決問題. 同時，在類比的過程中，學生可以發現一維、二維和三維具有高度的一致性，也就是章建躍博士提出的“研究對象在變，研究套路不變，思想方法不變”. 這是體現一般觀念的具體案例，從而可以讓學生感受一般觀念，落實大單元的主題教學，提升教學的深度與厚度.

2. 用數學實驗創設問題情境

數學實驗是指通過動手、動腦“做”數學的一種數學學習活動，是學生運用有關工具（如紙張、剪刀、模型、測量工具、作圖工具及計算機等）在數學思維活動的參與下進行的一種以人人參與的實際操作為特征的數學驗證或探究活動. 事實上，數學實驗契合了杜威“從做中學”的教學理念，即從活動中學，在經驗中學，在情境中學. 這與《標準》是契合的.《標準》中提到“情境”一詞158次，可見“情境”是落實《標準》十分重要的指針.

為順應學生先特殊再一般的思維，契合教材從具體到抽象的思路，在探究“用較少向量線性表示平面內所有向量”這一問題時，設計了數學實驗——復制向量. 該實驗的目的在于讓學生在確定向量的過程中，感知確定向量的兩個要素，感悟確定方向的三個維度，從而通過橫、縱、豎三個方向的測量，實現復制向量的目標，建立空間向量基本定理的雛形. 如此設計的數學實驗，其實就是創設一種問題情境，由情境引發學生思考，從文化催生學生想象，通過環環相扣的問題和貫穿始終的活動，幫助學生理解空間向量基本定理，落實學生“做中學”的理念.

筆者認為，情境是思維和認知的起點. 思維和認知只有在特定的情境中才有意義，不存在非情境化的學習. 戴維·H.喬納森認為，個體認知心理常常產生于構成、指導和支持認知過程的環境中，認知過程的本質由情境決定，情境是一切認知活動的基礎;知識存在于個體和群體的行動中，是隨著個人參與到新的情境中并在基于新情境的協商中產生的. 由此可見，理想的數學教學就應該為學生創設“足夠好”的情境. 其中，數學實驗就是一種“好”的形式，能夠很好地調動學生眼、手、腦的協作與配合，著眼于學生能主動地探索與建構. 在完成實驗的過程中，掌握數學知識，積累活動經驗，培養創新精神，落實《標準》的理念.

3. 用理性精神細化學習過程

數學教學中如何做到立德樹人？進行德育滲透才是立德樹人嗎？筆者認為，德育滲透是立德樹人的顯性形式，而理性精神才是立德樹人的內隱形式. 何謂理性精神？理性精神包括了對真理的追求，以及對人們必然能認識世界的堅定信念及理智判斷是非的標準. 如此，才能讓學生形成積極向上的性格、追求卓越的品格和獨立自主的人格.

在本節課中，學生通過實驗抽象出空間向量正交分解的存在性，通過思辨確定了正交分解的唯一性，這種抽象意識與嚴謹思維就是培養理性精神十分重要的載體與形式. 特別地，唯一性的判斷為坐標系的建立奠定了堅實的基礎，為代數化的使用注入了嚴謹的思維;唯一性的證明是降維轉化思想的典型案例，是邏輯推理素養的培養路徑. 基于此，學生不僅學到了單個的知識和方法，更重要的是提升了獲取知識和判斷是非的能力，實現了“從知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”的跨越.

M.克萊因在他的名著《西方文化中的數學》中指出：數學是一種精神，一種理性的精神. 這種精神非“言傳”所能達成，而是要通過“身教”，要在學習過程中體會數學的理性精神. 具體而言，在教學設計和實施的過程中，要充分重視數學的嚴謹性，培養學生深度思考的能力;要重視數學的系統性，培養學生整體建構的能力;要重視數學的生長性，培養學生合作創新的能力. 由此，通過細化的學習過程，充分培養學生的數學核心素養，實現立德樹人.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2]章建躍. 利用幾何圖形建立直觀通過代數運算刻畫規律：“空間向量與立體幾何”內容分析與教學思考[J]. 數學通報，2021，60（6）：1-6.

[3]章建躍. 一般觀念的思維引領作用[J]. 中小學數學（高中版），2014（3）：66.

[4]喻平，董林偉，魏玉華. 數學實驗教學：靜態數學觀與動態數學觀的融通[J]. 數學教育學報，2015，24（1）：26-28.

[5]戴維·H.喬納森. 學習環境的理論基礎[M]. 鄭太年，任友群，譯. 上海：華東師范大學出版社，2002.

[6]于道洋，寧連華. 試論墨家的理性精神及其對數學教育的啟示[J]. 數學教育學報，2021，30（5）：87-91.